Диссертация (1137765), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Всвязи с этим рынку требуется именно аналитическая оценка равновесной(справедливой)стоимостиструктурированныхдеривативов,котораяосновывалась бы на многомерных (в частности, двумерных) негауссовскихраспределениях вероятностей цен базовых активов.Потребность в разработке финансового продукта и аналитической оценкеегоравновеснойценыэквивалентнанеобходимостипредложитьсоответствующий формальный метод, чему, собственно говоря, и посвященаследующая глава диссертационного исследования.28Глава 2Методология оценки структурированных деривативов на основедвумерного негауссовского распределения вероятностей цен базовыхактивовВо второй главе предложен новый универсальный (инвариантный к видупроизводного финансового инструмента) теоретический подход к аналитическойоценке равновесной (справедливой) стоимости структурированных деривативов,зависящих от двух случайных процессов, который сводится к следующемуалгоритму (схема 1).Схема 1 – Новый теоретический подход к аналитической оценке равновесной(справедливой) стоимости структурированных деривативов, зависящих от двухслучайных процессов1.
Поставить (в зависимости от профиля исполнения продукта) задачу Коши илисмешанную задачу: установить вид двумерного уравнения Дынкина для функции,определяющей эволюцию во времени справедливой стоимости продукта; задать конечноеусловие или конечное и краевые условия2. Установить вид общего решения задачи Коши или смешанной задачи: формализм,включающий в себя функцию плотности совместного негауссовского асимметричногораспределения вероятностей двумерной случайной величины (далее – «СНАР»), двумерныебазисные функции и собственные значения3. Установить форму уравнения Лиувилля, предложенную И.
Пригожиным и Г. Николисом(далее – «уравнение Пригожина»), для функции плотности СНАР и показать, как связанымежду собой уравнения Дынкина и Пригожина4. Установить правые части уравнений движения в уравнении Пригожина. Получитьрешение уравнения Пригожина (функцию плотности СНАР)5. Построить на степенных моментах полученной функции плотности СНАР системуортонормированных по двум переменным полиномов – двумерных базисных функций,которые обеспечивают эволюцию во времени справедливой стоимости продукта6.
Получить спектр собственных значений, определяющих скорость и направлениеизменения справедливой стоимости продукта, на основе вырожденного ядра (как двойнойинтеграл попарных произведений двумерных базисных функций)7. Разложить функцию выплат продукта по двумерным базисным функциям. Получитьсправедливую стоимость продукта из формализма, установленного на шаге 229Источник: разработано авторомВ параграфе 2.1 рассматриваются шаги 1–5. В параграфе 2.2 разбираетсяшаг 6. В параграфе 2.3 рассматривается шаг 7 и приводится пример оценкисуществующего на рынке структурированного дериватива, в основе котороголежат два базовых актива.
В Приложениях А–Д изложены некоторые пояснения идополнения к содержанию второй главы.2.1 Построение базиса, обеспечивающего эволюцию во времениожидаемой стоимости структурированного деривативаОсновным формализмом для оценки сложных продуктов с двумя базовымиактивамислужитобратноеуравнениеКолмогорова(инфинитезимальныйоператор Дынкина). Уравнение содержит две пары параметризующих функций(функции мгновенной диффузии и функции мгновенного смещения) и принимаетследующий вид [32;34]:()((()()))(()(()))()(())()(5)()где F(x,y,t) – искомая функция двух финансовых переменных x и y, описывающих динамикурыночных цен базовых активов, которая определяет эволюцию во времени равновесной( ) и( ) – функции мгновенногостоимости структурированного дериватива;( ) и( ) – функции мгновенной диффузии;смещения;– коэффициенткорреляции; r – вещественное число (безрисковая процентная ставка).Для выделения некоторого определѐнного решения уравнения Дынкина (5)задаются дополнительные условия.
Применительно к оценке деривативов –конечные и/или граничные7условия (regular, exit, entrance, natural поклассификации Feller [36;37]).7Во всякой краевой задаче граничные условия – это учѐт влияния внешней среды. Но в каждойконкретной задаче мы можем вопрос о том, что относить к внешней среде, а что – крассматриваемой системе, решить по собственному усмотрению.
Применительно к оценкесложных производных финансовых инструментов задаются конечное условие и некоторыеграничные условия: к примеру, накопленная разница между «целевым» страйком по валютной30Стандартная постановка задачи – задание конечного условия:()()(6)где ( ) – функция выплат в момент Т исполнения структурированного производногофинансового инструмента.В соответствии с формализмом Фейнмана – Каца мы можем представитьобщее решение двумерного уравнения (5) с конечным условием (6), т.е.
функциюF(x,y,t), которая определяет эволюцию во времени теоретической равновесной(справедливой) стоимости структурированного дериватива, в виде суммыследующего ряда:()∑( ()()∫∫()()(),(7)где ( ) – собственные (базисные) функции;– собственные значения, соответствующиесобственным функциям γ(x,y); n – номер собственной функции γ(x,y) и соответствующего ейсобственного значения λ; T – момент исполнения контракта; t – отрезок времени от момента,- ; w(x,y) – весоваязаключения контракта до момента Т исполнения контракта,функция; ( ) – функция выплат в момент Т исполнения контракта;и– разделѐнныецены исполнения (цена исполнения по переменной x и отдельно по переменной y, из которыхскладывается цена исполнения К по контракту); a – минимальное значение переменной x врассматриваемом периоде (включая некоторый предшествующий моменту заключенияконтракта период); b – максимальное значение переменной y в рассматриваемом периоде(включая некоторый предшествующий моменту заключения контракта период).Построение базисных функций γ(x,y), которые обеспечивают эволюцию вовремени равновесной стоимости структурированного дериватива, в том числевключает в себя получение весовой функции w(x,y).Первая ключевая особенность предлагаемого теоретического подхода каналитическойоценкеравновесной(справедливой)стоимостиструктурированных деривативов состоит в том, что весовая функция w(x,y) вформализме (7) понимается как функция плотности совместного негауссовскогоасимметричного распределения (далее – «СНАР») вероятностей двумернойслучайной величины и служит решением двумерного дифференциальногопаре EUR/USD и ежедневным фиксингом при достижении одной определѐнной границыактивирует возможность исполнения контракта, при достижении другой границы – наоборот,деактивирует.
В таком случае область определения финансовых переменных можно ограничитькраевыми условиями. Так задаѐтся рассматриваемая система. Влияние внешней средыучитывается в краевых условиях.31уравнения Лиувилля с частными производными первого порядка в спецификацииИ. Пригожина и Г. Николиса (далее – «уравнение Пригожина») [17]:(())()(())()()()()(8)после разделения переменных:(()(()))()()()() (()())(9)()) – эволюционирующая во времени искомая функция плотности СНАР вероятностейгде (случайных величин x и y, описывающих динамику рыночных цен базовых активов сложногопродукта; E(x,y) и G(x,y) – правые части уравнений движения (динамической системы); α –собственное значение, соответствующее весовой функции w(x,y); A – произвольная постоянная.Поставим теперь важнейший формальный вопрос: почему же мы вправеиспользоватьрешениеуравненияПригожина(9)дляпредставленияэволюционирующей во времени теоретической стоимости структурированногодериватива (7)?Удобнее всего, не зная характер диффузии ценового процесса (мы не можемвыявитьединственнуюфункциюмгновеннойдиффузии),установитьприближение эволюции плотности распределения вероятностей цен базовыхактивов сложного финансового продукта в терминах уравнения Пригожина, тоесть с помощью динамической системы для логарифмов наблюдаемых на рынкесредних значений цен финансовых инструментов.Уравнение Пригожина (9) представляет собой поле для уравнения Дынкина(5), если некоторая функция ψ(w(x,y),x,y) удовлетворяет двумерному уравнениюГамильтона – Якоби для уравнения Дынкина.
Заданием поля уравнения Дынкинав некоторой области V определяется n-параметрическое семейство решенийуравнения Дынкина такое, что через каждую точку этой области проходит одна итолько одна кривая из этого семейства. Показав, таким образом, что уравнениеПригожина служит полем для уравнения Дынкина (с учѐтом установленнойфункции ψ(w(x,y),x,y), представляющей собой решение уравнения Гамильтона –Якоби), мы вправе заключить, что решение уравнения Дынкина (5) тождественно32выражению (7), в основе которого лежит плотность вероятности w(x,y), какрешение уравнения Пригожина (9).В Приложении А подробно разбирается связь между уравнением Дынкина иуравнением Пригожина в контексте теории поля.Напомним, что получение весовой функции w(x,y) – этап в построениибазиса, который обеспечивает эволюцию во времени равновесной стоимостиструктурированного дериватива.Современныефинансовыерынкихарактеризуютсянегауссовскимхарактером ценовых процессов [49;57;58].
В связи с этим из решения двумерногонеоднородногодифференциальногоуравненияПригожинасчастнымипроизводными первого порядка (9) требуется получить функцию плотностиw(x,y) СНАР вероятностей двумерной случайной величины. Асимметричностьгарантирует сохранение нетривиальных свойств совмещѐнных процессов сучѐтом того, что ожидания x и y принципиально неодинаковые.В структуре уравнения (9) – нелинейные правые части уравнений движения(динамической системы) E(x,y) и G(x,y), описывающие эволюцию во временифинансовых переменных, которые лежат в основе сложного продукта ираспределены не в соответствии с нормальным законом. В нашем исследованиивыработан подход к заданию динамической системы.
Суть подхода сводится кследующему.Ценовой процесс после исключения тренда – нерегулярноциклический и накачественном уровне оказывается ближе всего к процессам Уленбека –Орнштайна, которые учитывают обращение средних по знаку (mean reversion). Вестественных науках используется простейшая форма для описания реальнонаблюдаемых в природе циклических процессов, характеризующихся возвратом ксреднему значению (к примеру, химическая реакция Белоусова – Жаботинского) –типичная нелинейность, обеспечивающая бифуркацию рождения (исчезновения)предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы(бифуркацию Пуанкаре – Андронова – Хопфа [13;14]). Минимальная модель, вкоторой возможна данная бифуркация, должна содержать два уравнения.33Методами теории нормальных форм в типичном случае уравнения приводятся квиду [14;38]:()()(())(())(((())(())(10)))где c, d, m, q, u, v – параметры, определяемые численно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
