Диссертация (1137765), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом обеспечивается неотрицательность опционной премии.87Продолжение таблицы 12n – номер собственной функции (ортонормированного полинома δ(y) или γ(x)) исоответствующего ей собственного значения β или λ;T – момент исполнения опциона (свопциона) колл и пут;t – отрезок времени от момента заключения опциона (свопциона) колл и пут до момента Т егоисполнения;w(y) – весовая функция, рассматриваемая как функция плотности вероятности случайнойвеличины y;θ(x) – весовая функция, рассматриваемая как функция плотности вероятности случайнойвеличины x;( ) – чистая опционная премия – цена предложенного продукта (свопциона), оценкастратегии Risk reversal;a – минимальное значение индекса VIX в рассматриваемом периоде (включая некоторыйпредшествующий моменту заключения опционных контрактов период);b – максимальное значение индекса VSTOXX в рассматриваемом периоде (включаянекоторый предшествующий моменту заключения опционных контрактов период).Источник: разработано автором с использованием формализма (7)Сделаемодноважноезамечание.Вконтекстегеометрическогоброуновского движения французские учѐные К.
Профета, Б. Ройнэ и М. Йор(C. Profeta, B. Roynette и M. Yor) [47] связывают цены опционов пут европейскоготипа, помноженные на цены их исполнения и на экспоненциальное выражение свременем до момента исполнения, с функцией распределения ψ в пространстве[0,1]× [0,+∞) в том смысле, что знание функции распределения ψ тождественнознанию о совокупности цен европейских опционов пут.
Другими словами,существует ли функция распределения(где M – мартингал) в пространстве[0,1] × [0,+∞) такая, что для каждой цены исполнения,- и t ≥ 0соблюдается следующее равенство:0() 1(,-,-) ?(26)К примеру, выражение для теоретической цены (чистой опционной премии)стратегии – продукта на одномерный ценовой процесс из таблицы 12:88()(( )∑)(∫( )( )∫( )∫( )( )(27)((( )∫( )( ),))можно рассматривать как функцию распределения в пространстве [0,b] × [0,+∞).Это весьма интересное направление в финансовой науке – «option prices asprobabilities» [47] – можно развивать не только в отношении экзотическихдеривативов (к чему, собственно говоря, авторы [47] и призывают научноесообщество), но и применительно к сложным продуктам, связывая их цены смногомерными распределениями. Оставим реализацию этой идеи для нашихпоследующих исследований.Рассмотрим сначала аналитическую оценку структурированного деривативана примере Structured Volatility Risk reversal call Swaption.
Затем сведѐмрезультаты всех полученных оценок предложенных продуктов в таблицу и на еѐоснове сделаем ключевые выводы нашего исследования.Расстояние S по Хеллингеру – Мацусите – Бхаттачарье (1) составляет 0,71,что свидетельствует о сильной зависимости между финансовыми переменными xи y, которые описывают динамику индексов волатильности VIX и VSTOXXсоответственно.Предположим, что структурированный шестимесячный Risk reversalсвопцион колл заключѐн 20.11.2014, дата исполнения – 20.05.2015.
Ценаисполнения: 44 процентных пункта.Функция плотности w(x,y) СНАР вероятностей, которая служит решениемдвумерногоуравненияПригожина(9)сдинамической системы, приняла следующий вид:заданнымиправымичастями89()()()()()Правые части уравнений движения (10) описывают эволюцию во временииндексов волатильности VIX и VSTOXX:()()()()()()()()Первые пять базисных функций γ(x,y), построенных на степенных моментахфункции плотности w(x,y), приняли следующий вид:()()Функция выплат для длинной позиции по свопциону колл:(){()(())На рисунке 8 представлены кривые, которые описывают эволюцию вовремени ожидаемой стоимости F(x,y,t) такого свопциона, оценѐнную по:– предложенной нами модели (кривая Aut) на основе функции плотности w(x,y),базисных функций γ(x,y) с помощью формализма (7);– модифицированной модели Блэка – Шоулза (кривая Black) на основе чистойтеоретической премии, как разницы теоретических цен опционов, формирующихстратегию Risk reversal (теоретические цены опционов оценены по стандартноймодели Блэка – Шоулза для одномерных ценовых процессов).На рисунке 8 также представлена кривая Emp, описывающая эволюцию вовремени разницы фактически наблюдаемых на рынке цен:– шестимесячного опциона пут на индекс волатильности VIX с датой заключения20.11.2014, датой истечения 20.05.2015, страйком 25 процентных пунктов – TickerVIX UO 05/20/15 P25 Index (позиция трейдера sell put) [122];– восьмимесячного опциона колл на индекс волатильности VSTOXX с датойзаключения 18.09.2014, датой истечения 20.05.2015, страйком 19 процентныхпунктов – Ticker V2X 05/20/15 C19 Index (позиция трейдера buy call) [122].90По оси ординат – цена продукта в процентных пунктах.10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00,011.
201412. 201401. 201502. 2015Emp03. 2015Aut04. 201505. 2015BlackРисунок 8 – Кривые, описывающие эволюцию во времени цены StructuredVolatility Risk reversal call SwaptionИсточник: разработано автором; [122] – в части эмпирических данныхРезультаты оценок предложенного свопциона тремя способами в каждом издвух подходов сведены в таблицу 13.Таблица 13 – Результаты оценок Structured Volatility Risk reversal call Swaption(отрезок времени: 2014–2015 гг.)№п/пСпособ оценки \Подход к оценке12Оценка продукта ввиде суммытеоретических ценреплицирующихдеривативовОценка на основепроизведения двуходномерныхраспределенийОценка на основедвумерногораспределения123Оценка помодифицированной моделиБлэка, основанной нагауссовском распределенииEσStat3454,33процентногопунктаАналитическая оценка спомощью предложенногонами подхода, основанного нанегауссовском распределенииEσStat6781,490,80(3,0; 4,0)3,63процентногопункта0,380,88(3,0; 4,0)4,29процентногопункта1,470,82(3,0; 4,0)3,60процентногопункта0,370,90(3,0; 4,0)4,28процентногопункта–0,82(3,0; 4,0)3,26процентногопункта–0,96(3,0; 4,0)91где E – матожидание цены продукта; ζ – средний квадрат отклонения отэмпирики (суммы фактически наблюдаемых на рынке премий по реплицирующимдеривативам); Stat – статистическая надѐжность (доверительный интервал)Источник: разработано авторомФункция выплат() по сделкам с предложенным структурированнымсвопционом на индексы волатильности тождественна функции выплат подлинной позиции Structured Risk reversal, объединяющей покупку опциона коллна VSTOXX и продажу опциона пут на VIX; оба опциона с одинаковыми срокамидо момента исполнения.В рассматриваемом примере математическое ожидание разницы фактическинаблюдаемых на рынке цен опционов на VSTOXX и VIX составляет 3,42процентного пункта.
Мы исходим из предположения, что цены опционов близки ксправедливым (рынок знает справедливую цену деривативов на одномерныйценовой процесс, в отличие от сложных продуктов с несколькими базовымиактивами).Как видно из таблицы 13, матожидание теоретической цены, полученной спомощью предложенного подхода на основе двумерного негауссовскогораспределения, составило 3,26 процентного пункта. Матожидание теоретическойцены, определѐнной по модифицированной модели Блэка – Шоулза (как разностьтеоретических цен пута на VIX и колла на VSTOXX), равно 4,33 процентногопункта (так, вероятнее всего, оценил бы наш продукт рынок).
При этом в рамкахнашего подхода, оценки на основе одномерных негауссовских распределенийсоставили 3,63 и 3,60 процентного пункта соответственно.То есть объединение двух сделок со взаимосвязанными активами (покупкаколла на VSTOXX и продажа пута на VIX) в один типовой контракт (StructuredVolatility Risk reversal) привело к удешевлению финансовых инструментов:– на 10% в рамках нашего подхода к оценке (если сравнивать оценкусвопционной премии на основе двумерного распределения и разность премий92пута на VIX и колла на VSTOXX, каждая из которых оценивается на основесвоего одномерного распределения);– на 4,7%, если сравнивать оценку свопционной премии на основе двумерногонегауссовского распределения с разностью фактически наблюдаемых на рынкепремий пута на VIX и колла на VSTOXX.(Таким образом, премии) по сделкам со структурированным(свопционом ниже чистых премий) по опционам, формирующимстратегию Risk reversal, при условии тождественности их [свопциона и Risk(reversal] функций выплат()()и() .
То есть, если()() , то).Кроме того, способ, основанный на двумерном распределении, даѐт гораздоболееточнуюоценкусправедливойстоимостисложногофинансовогоинструмента и с большей надѐжностью:()∑( (∑(( )∑(∑(()∑( ((( )()))∫ ∫(()))∫( )((∫)( )( )()∫(∫ ∫∫(( )( )∫ ∫(( ))∑()( )( )∑(∑(()(( )( )( ))( ),( )( )( )( ))(( )( )( )( ))( )(),(),))( )( ))( )(∫ ∫( ))),( ))Результаты оценок предложенных продуктов сведены в таблицу 14.93Заметим, что оценка валютно – процентного свопциона строилась исходя издопущения, что продукт может быть исполнен лишь в момент истечения срокадействия контракта. Расстояние S по Хеллингеру – Мацусите – Бхаттачарье (1)составило 0,86.Таблица 14 – Результаты оценок предложенных продуктов (отрезок времени:2014–2015 гг.)№п/пСпособ оценкиФинансовыйпродукт123Матожиданиецены продукта4Среднийквадратотклоненияот эмпирики5Статистическаянадѐжность(доверительныйинтервал)6A.
Оценка по модифицированной модели Блэка, которая основана на гауссовскомраспределении123Оценка продукта ввиде суммытеоретических ценреплицирующихдеривативовОценка на основепроизведения двуходномерныхраспределенийОценка на основедвумерногораспределенияI8,1% от Notionalprincipal amount0,5060,78(0,070; 0,080)II12,08процентногопункта7,100,71(10,5; 11,5)III4,33процентногопункта1,490,80(3,0; 4,0)I8,0% от Notionalprincipal amount0,5010,79(0,070; 0,080)II12,07процентногопункта7,090,71(10,5; 11,5)III4,29процентногопункта1,470,82(3,0; 4,0)I8,0% от Notionalprincipal amount–0,81(0,070; 0,080)II12,05процентногопункта–0,72(10,5; 11,5)III4,28процентногопункта–0,82(3,0; 4,0)94Продолжение таблицы 14123456B.
Аналитическая оценка с помощью предложенного нами подхода, основанного нанегауссовском распределении456Оценка продукта ввиде суммытеоретических ценреплицирующихдеривативовОценка на основепроизведения двуходномерныхраспределенийОценка на основедвумерногораспределенияI7,7% от Notionalprincipal amount0,1540,88(0,070; 0,080)II11,72процентногопункта2,700,87(10,5; 11,5)III3,63процентногопункта0,380,88(3,0; 4,0)I7,7% от Notionalprincipal amount0,1530,88(0,070; 0,080)II11,70процентногопункта2,670,88(10,5; 11,5)III3,60процентногопункта0,370,90(3,0; 4,0)I7,3% от Notionalprincipal amount–0,97(0,070; 0,080)II10,52процентногопункта–0,94(10,5; 11,5)III3,26процентногопункта–0,96(3,0; 4,0)где I – The Barrier Bermuda Foreign Exchange EUR/USD INTERESTing Swaption,call; II – Structured Volatility Strangle, call; III – Structured Volatility Risk reversal,call; эмпирика – сумма фактически наблюдаемых на рынке премий пореплицирующим деривативам (в части продукта I матожидание суммыэмпирических премий составляет 7,8%, в части продукта II – 11,22 процентногопункта, в части продукта III – 3,42 процентного пункта)Источник: разработано автором95Порезультатамоценкисформулируемосновныевыводынашегоисследования:– создание единого инструмента, объединяющего несколько сделок совзаимосвязанными активами, значительно удешевляет стоимость деривативов(см.
матожидание цены продукта в таблице 14). Данное обстоятельство позволяетрешить актуальную проблему низкой ликвидности не только сложных продуктов,но и стандартизированных биржевых контрактов, в частности опционов на индексволатильности VSTOXX европейского срочного рынка;– заложив в основу подхода к определению справедливой стоимости сложныхфинансовых продуктов предположение о негауссовском характере ценовыхпроцессов и оценивая продукт на основе совместных двумерных распределений,получаемсущественное снижение теоретических цен по отношению кэмпирическим премиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
