Автореферат (1137764), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В диссертациипредложена классификация. Построение системы формализмов остаётся за пределаминастоящего исследования.133случайными процессами может быть установлена в терминах информационнойэнтропии. Мы для этого используем меру расстояния S по Хеллингеру –Мацусите – Бхаттачарье (Hellinger – Matsushita – Bhattacharya). Положительноезначение S свидетельствует о наличии взаимосвязи между случайнымивеличинами (финансовыми переменными) x и y. Чем выше значение S, темсильнее эта взаимосвязь.Данная мера подходит именно для случая двух разных переменных, вотличие от расстояния по Кульбаку – Ляйблеру. В случае последнего, речь идёт оразличии между двумя распределениями на одном и том же обучающем массивенаблюдений.В исследовании проведён анализ существующих подходов к оценкесправедливой цены сложного продукта как в научной литературе, так и впрактике финансовых институтов.

По результатам анализа выделены два подхода:использование модификаций модели Блэка – Шоулза, которая основана нагауссовском распределении; использование вычислительных процедур типаметода Монте-Карло (или других численных методов) для приближённогоопределения цены. Модификации модели Блэка – Шоулза, в свою очередь, можноразделить на три группы по способу оценки сложного продукта: оценка в видесовокупной (либо же чистой – в зависимости от спецификации функции выплатпродукта) премии, как суммы теоретических цен деривативов – составных частейпродукта, каждая из которых оценивается на основе своего одномерногогауссовского распределения; оценка на основе произведения одномерныхгауссовских распределений вероятностей цен составных частей продукта; оценкана основе многомерного гауссовского распределения вероятностей цен составныхчастей продукта.По результатам решения задач, поставленных в первой главе, сделаны дваосновных вывода:– выявленные лакуны в структуре существующих сложных финансовыхпродуктов (в первую очередь, слабая взаимосвязь между базовыми активами)требуютвполнеопределённыхструктурированных14деривативов,которыеудовлетворили бы ряд непокрытых потребностей рынка с учётом егофундаментальных законов;– существующие подходы к оценке сложных финансовых продуктов неучитывают нелинейную корреляцию базовых активов, а также ключевуюхарактеристику финансового рынка – негауссовский характер ценовых процессов.В связи с этим рынку требуется именно аналитическая оценка справедливойстоимости структурированных деривативов, которая основывалась бы намногомерных(вчастности,двумерных)негауссовскихраспределенияхвероятностей цен базовых активов.Потребность в разработке финансового продукта и аналитической оценкеегосправедливойценыэквивалентнанеобходимостипредложитьсоответствующий формальный метод, чему, собственно говоря, и посвященаследующая глава диссертационного исследования.Во второй главе предложен новый универсальный (инвариантный к видупроизводного финансового инструмента) теоретический подход к аналитическойоценке справедливой стоимости структурированных деривативов, зависящих отдвух случайных процессов, который сводится к следующему алгоритму:– установить форму уравнения Лиувилля с частными производными первогопорядка в спецификации И.

Пригожина и Г. Николиса (далее – «уравнениеПригожина») для весовой функции w(x,y), которая понимается как функцияплотностисовместногонегауссовскогоасимметричногораспределениявероятностей цен двух базовых активов сложного продукта;– установить в уравнении Пригожина правые части уравнений движения(динамической системы), которые описывают эволюцию во времени цен базовыхактивов сложного финансового продукта;– решить уравнение Пригожина методом разделения переменных (получитьфункцию плотности w(x,y));– построить на степенных моментах полученной функции плотности w(x,y)систему ортонормированных по двум переменным полиномов γ(x,y) – двумерных15базисных функций, которые обеспечивают эволюцию во времени справедливойстоимости сложного финансового продукта;– получить спектральные значения λ как собственные значения матрицы,элементы которой – попарные произведения базисных функций γ(x,y), т.е.двойные интегралы.

Спектр определяет скорость и направление изменениясправедливой стоимости сложного финансового продукта;– с учётом установленных функции плотности w(x,y), базисных функций γ(x,y) исобственных значений λ, а также заданных функции выплат сложного продуктаФ(x,y) и области интегрирования получаем функцию F(x,y,t), которая определяетэволюцию во времени справедливой стоимости структурированного дериватива:+∞xb K1F(x, y, t) = ∑ (γn (x, y) ∙ e−λn (T−t) ∙ ∫ ∫ γn (x, y) ∙ w(x, y) ∙ Φ(x, y)dx dy) ,n=0(1)yK2 aгде γn (x, y) – собственные (базисные) функции; λn – собственные значения, соответствующиесобственным функциям γ(x,y); n – номер собственной функции γ(x,y) и соответствующего ейсобственного значения λ; T – момент исполнения контракта; t – отрезок времени от моментазаключения контракта до момента Т исполнения контракта; w(x,y) – весовая функция; Φ(x, y) –yфункция выплат в момент Т исполнения контракта; K1x и K 2 – разделённые цены исполнения(цена исполнения по переменной x и отдельно по переменной y, из которых складывается ценаисполнения К по контракту); a – минимальное значение переменной x в рассматриваемомпериоде (включая некоторый предшествующий моменту заключения контракта период); b –максимальное значение переменной y в рассматриваемом периоде (включая некоторыйпредшествующий моменту заключения контракта период).– подставляя значения котировок базовых активов в момент t в функцию F(x,y,t),получаем цену сложного продукта в некоторый момент t+ε, с учётом временнойзадержки в обработке данных участниками рынка.В соответствии с формализмом Фейнмана – Каца функция F(x,y,t) служитобщим решением обратного уравнения Колмогорова (инфинитезимальногооператора Дынкина, уравнения Дынкина) с конечным условием F(x, y, T) = Φ(x, y).Уравнение Дынкина является основным формализмом для оценки производныхфинансовых инструментов, и, применительно к сложным продуктам с двумябазовыми активами, содержит две пары параметризующих функций (функциимгновенной диффузии и функции мгновенного смещения).16Удобнее всего, не зная характер диффузии ценового процесса (мы не можемвыявитьединственнуюфункциюмгновеннойдиффузии),установитьприближение эволюции плотности распределения вероятностей цен базовыхактивов сложного финансового продукта в терминах уравнения Пригожина, тоесть с помощью динамической системы для логарифмов наблюдаемых на рынкесредних значений цен финансовых инструментов.В качестве правых частей уравнений движения выбрана типичнаянелинейность,обеспечивающаябифуркациюрождения(исчезновения)предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы(бифуркацию Пуанкаре – Андронова – Хопфа).В связи с этим в диссертационной работе поставлены и решены дваважнейших формальных вопроса: о связи между уравнением Дынкина иуравнением Пригожина; о виде правой части динамической системы.Важно подчеркнуть, что функция плотности вероятности w(x,y), базисныефункции γ(x,y) и собственные значения λ определяются экзогенно по отношениюк уравнению Дынкина.

С учётом установленной взаимосвязи между уравнениемДынкина и Пригожина, обеспечивается возможность получения обширногосемейства функций мгновенной диффузии σ1 2 (x, y), σ2 2 (x, y)и функциймгновенного смещения μ1 (x, y), μ2 (x, y) из решения уравнения Дынкина приаприори заданных функции плотности вероятности, базисных функций исобственных значений.Таким образом, в отличие от существующих моделей, предложенныйподход:– учитывает негауссовскую природу ценообразования базовых активов;– не предполагает дробление сложного финансового инструмента на составныечасти и определение его справедливой цены как суммы цен составных частей (чтоне учитывает корреляцию базовых активов и, соответственно, искажает оценку).В диссертационной работе проведена оценка теоретических премий поликвидным шестимесячным опционам европейского типа колл и пут на индекс17волатильностиVIXамериканскогосрочногорынка,действовавшимв2010–2015 гг., с помощью:– модели Блэка – Шоулза (Black – Scholes Option Pricing Model), которая основанана гауссовском распределении;– негауссовской модели со смещением, которая основана на функциираспределения Цаллиса (Non – Gaussian Option Pricing Model with Skew);– предложенного нами подхода, но для одномерного случая.Результаты оценок представлены в таблице 1.Таблица 1 – Результаты оценок опционов на индекс волатильности VIX (запериод: 2010–2015 гг.)№п/пСпособ оценки121Средний квадрат отклонениятеоретических цен опционов отэмпирических премий3Модель Блэка – Шоулза1,26Негауссовская модель со смещением, основаннаяна функции распределения ЦаллисаПрименение предложенного нами подхода для3одномерного случаяИсточник: разработано автором2По0,6590,282результатам оценок стандартизированных биржевых контрактов(опционов),зависящихотодногоценовогопроцесса,сформулированыследующие выводы:– предложенный новый негауссовский подход к определению теоретическойстоимости структурированных деривативов обеспечивает бóльшую, в сравнении ссуществующими моделями, точность оценки теоретических премий по опционам,которые служат составными частями ряда разработанных нами сложныхпродуктов;– коль скоро предложенный нами подход и негауссовская модель со смещением,основанная на функции распределения Цаллиса, обеспечивают бóльшую, посравнению с моделью Блэка – Шоулза, точность оценки теоретических премий по18опционам, то данный эмпирический факт служит подтверждением негауссовскойприроды ценообразования базовых активов.Взавершениевторойглавымыопределилитеоретическиеценысуществующих на рынке структурированных деривативов – Dual Digital Options, воснове которых лежат два базовых актива (валютные пары EUR/AUD иEUR/GBP).

В таблице 2 приведены результаты оценок одного из участвовавших вэксперименте Dual Digital Option.Таблица 2 – Результаты оценок сложного финансового продукта Dual Digital callOption (в день заключения контракта 18.03.2015 г.)Оценка поАналитическая оценка смодифицированнойпомощьюмодели Блэка,предложенного нами№Способ оценки \основанной наподхода, основанного нап/пПодход к оценкегауссовскомнегауссовскомраспределениираспределенииFΔkFΔk12345678Эмпирическое значение цены, очищенной от банковской маржи: 10,42%Оценка продукта в виде1 суммы теоретических цен10,54% -0,12%0,999,43%0,99%1,10реплицирующих деривативовОценка продукта на основе2 произведения двух10,45% -0,03%1,009,35%1,07%1,11одномерных распределенийОценка продукта на основе310,43% -0,01%1,008,47%1,95%1,23двумерного распределениягде F – теоретическая премия по опциону Dual Digital call (% от Notional principal amount); Δ –разница между эмпирической и теоретической премиями; k – отношение эмпирическойпремии к теоретическойИсточник: разработано авторомПо результатам оценок существующих на рынке структурированныхдеривативов, зависящих от двух ценовых процессов, сформулированы следующиевыводы:– множество полученных нами с помощью модификаций модели Блэка – Шоулзатеоретических премий по участвовавшим в эксперименте сложным продуктамблизко к ценам реальных сделок, очищенным от маржи.

Характеристики

Список файлов диссертации