Диссертация (1137703), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Метод усреднения рангов с дополнительнымиограничениямиСуществуетдругойподходкрасширениюпредпочтенийучастников, основанный на назначении полезности каждой альтернативеи последующей максимизации ожидаемой полезности. Это известныйподход, предложенный фон Нейманом и Моргенштерном [6].Способ назначения полезностей.U i , принимающаяi Nсуществует функциядействительные значения, такая, чтоP, P Ln ,C ( P) EPi C ( P) xC ( P ) pxU i x yC ( P) p yU i y ,гдеx C (P) , p xвыбран изC (P)– это вероятность того, чтоиy C (P) , p yконечном счете выбран изxбудет в конечном счете– это вероятность того, чтоyбудет вC (P) .Этот способ, очевидно, должен быть дополнен для использованияв практических целях, т.е.
необходимо описать механизм назначенияполезности и процесс присвоения вероятностей. Введем дополнительныеусловия.Каждой альтернативе приписывается полезность в соответствии сместом, которое она занимает в предпочтениях участника. Такимобразом, мы производим ранжирование: наиболее предпочитаемойальтернативе присваивается рангследующей –m 1m(общее количество альтернатив),и т.д. Наименее предпочитаемой альтернативеприсваивается ранг 1 .Все альтернативы в коллективном выборе равновероятны. Такимобразом, полезность набора альтернатив равна средней полезности всехальтернатив, входящих в коллективный выбор.41С учетом названных дополнительных условий данный методупорядочения альтернатив можно назвать методом усреднения рангов.Следует заметить, что этот метод не позволяет сравнивать всеколлективные выборы приm 2.Например, для трех альтернатив пристандартных предпочтениях существуют наборы a, b, c, a, c и b ,которые имеют одинаковую полезность.
Необходимо рассмотретьдополнительные условия устранения несравнимости, т.е. дополнительныеалгоритмы, которые будут накладываться на множества, оставшиесянесравнимымипослеупорядочениявсоответствиисметодомусреднения рангов. Метод усреднения рангов в сформулированном видеранее не использовался для сравнения множеств альтернатив.2.2.3.1. Лексимин и лексимакс дополненияЭтот способ устранения несравнимости предполагает применениелексикографических дополнений на тех наборах, которые имеют равнуюполезность. В частности, для случая трех альтернатив полученныерасширенные предпочтения будут соответствовать предпочтениям,полученным по правилам лексимин или лексимакс, в зависимости отприменяемого метода. Однако, на больших множествах эти два типарасширенных предпочтений не будут совпадать.
Например, для случаячетырех альтернатив и стандартных предпочтений расширенныепредпочтения,построенныепопринципулексимакс,выглядятследующим образом: aEPi a, bEPi a, b, cEPi a, b, c, dEPi a, b, dEPi a, cEPi a, c, dEPi a, dEPiEPi bEPi b, cEPi b, c, dEPi b, dEPi cEPi c, dEPi d.Расширенные же предпочтения, построенные методом усреднениярангов с дополнением лексимакс, имеют следующий вид (подчеркнутыгруппы наборов с одинаковым средним рангом, к которым применяетсядополнение):42 aEPi a, bEPi a, b, cEPi a, cEPi bEPi a, b, dEPi a, b, c, dEPi a, dEPi b, cEPiEPi a, c, d EP i b, c, d EPi b, d EPi cEPi c, d EPi d .Несовпадение полученных предпочтений очевидно. Аналогичныерезультаты получаются и при обращении к методу лексимин.2.2.3.2.
Вероятностные дополненияЭтот метод заключается в использовании вероятностных дополненийна те множества, которые нельзя сравнить методом усреднения рангов.Например, для четырех альтернатив и стандартных предпочтенийрасширенные предпочтения, построенные методом усреднения рангов сдополнительнымупорядочениемповозрастаниювероятностинаихудшей альтернативы, имеют следующий вид (подчеркнуты группынаборов с одинаковым средним рангом, к которым применяетсядополнение): aEPi a, bEPi bEPi a, b, cEPi a, cEPi a, b, dEPi b, cEPi a, b, c, dEPi a, dEPiEPi a, c, d EP i cEPi b, c, d EPi b, d EPi c, d EPi d .2.2.3.3. Рискофил и рискофоб дополненияДанный метод основан на отношении участника голосования криску, когда известно, что несколько исходов принесут ему одинаковуюожидаемуюполезность.Построениерасширенныхпредпочтенийосновано на том, что сравнивается дисперсия выигрыша.
Склонный криску участник голосования будет предпочитать наиболее рискованныйнабор, несклонный – наименее. Таким образом, подсчет дисперсий иупорядочение по их возрастанию или убыванию позволяет устранитьнесравнимость наборов с одинаковым средним рангом.Для трех, четырех, пяти и шести альтернатив рискофил-дополнениеаналогично методу упорядочения по убыванию вероятности наилучшейальтернативы, а рискофоб-дополнение – методу упорядочения повозрастанию вероятности наихудшей.
Для семи альтернатив такогосовпадения уже не наблюдается.43Приведем пример. Для четырех альтернатив и стандартныхпредпочтений метод усреднения рангов с рискофил-дополнениемупорядочит всевозможные наборы следующим способом (подчеркнутыгруппы наборов с одинаковым средним рангом, к которым применяетсядополнение): a EPi a, b EPi a, c EPi a, b, c EPi bEPi a,b, d EPi a, d EPi a,b, c, d EPi b,cEPiEPi a, c, d EPi b, d EPi b, c, d EPi cEPi c, d EPi d .2.2.3.4. Дополнения в виде упорядочения по мощности6Влияние мощности набора на предпочтение наборов тесно связанос понятием свободы выбора, которое было предложено Амартией Сэноми рассматривалось в [60, 86, 97].
Множественный выбор можетпониматься как некоторое откладывание принятия решения, поэтому,например, агент может желать оставить как можно больше альтернатив,чтобы суметь потом сделать выбор. Рассматриваемый нами способзаключается в упорядочении наборов, имеющих одинаковый ранг, поубыванию или возрастанию мощности. Этот метод основан навозможных предпочтениях участника голосования на наборах содинаковым ожидаемым выигрышем по принципу определенностиитогового выбора. Участник может предпочитать набор из однойальтернативы набору из трех, когда у них одинаковый ранг, так как впервом случае исход голосования известен.
Также возможна и обратнаяситуация, когда участник хочет оставить надежду, что исход будетсостоять из более предпочитаемой альтернативы и, соответственно,предпочитает набор больший по мощности меньшему.Аналогично предыдущему типу дополнения при трех альтернативахнаблюдается совпадение результатов с другими способами. В частности,принцип упорядочения по возрастанию мощности для трех альтернативдает такой же результат, что лексимин и метод усреднения рангов с6Данный метод разработан совместно с Ф.Т. Алескеровым.44дополнением лексимин. Принцип упорядочения по убыванию мощностисовпадет с лексимаксом и методом усреднения рангов с дополнениемлексимакс, соответственно. Однако при увеличении числа альтернативвозникает сразу несколько проблем. Помимо несовпадения расширенныхпредпочтений, построенных по этому методу, с другими способамивозникаетнесравнимость некоторых наборов.
Эта несравнимостьустраняется использованием одного из тех дополнений, которые былиописаны выше.Вкачествепримераприведемрасширенныепредпочтения,построенные методом усреднения рангов с первым дополнением в видеупорядочения по убыванию мощности и вторым дополнением лексимакс(одной чертой указаны множества, к которым применяется первоедополнение; двойной чертой обозначены множества, оставшиесянесравнимыми после применения первого дополнения, и на которыенакладывается второе): a EPi a, b EPi a, b, c EPi a, c EPi bEPi a,b, d EPi a,b, c, d EPi a, d EPi b,c EPiEPi a, c, d EPi b, c, d EPi b, d EPi cEPi c, d EPi d .В данном случае расширенные предпочтения совпадают с методомусреднения рангов с дополнением лексимакс, но на пяти и болееальтернативах данные способы приводят к различным результатам.2.3.
Исследование различных способов расширенияпредпочтенийСформулируем несколько утверждений.Лемма 3. Если обычные предпочтенияPявляются линейнымпорядком, то и расширенные предпочтения, построенные по принципулексимин, лексимакс или любым из вероятностных методов, будутлинейным порядком.ЭтоусловиедляотношенийP,удовлетворяющихантисимметричности, связности и транзитивности, и лексикографических45методовбылопоказановработеОзюртомиСанвером[81].Доказательство леммы в общем виде следует из определения всехспособов.Лемма 4.
Если обычные предпочтенияPявляются линейнымпорядком, то расширенные предпочтения, построенные по методуусреднения рангов с дополнениями, будут являться линейным порядком,если последнее дополнение является лексимин, лексимакс иливероятностным дополнением; последнее дополнение является упорядочением по мощностии количество альтернатив последнеедополнениедополнением иm 3;являетсярискофил/рискофоб-3 m 6.Доказательство. Первый пункт леммы 4 является следствиемлеммы 3, так как если алгоритм позволяет сравнить любые элементымножестваA, то он позволит сравнить и все элементы любого егоподмножества. Второй и третий пункты доказываются последовательнымприменением метода усреднения рангов с необходимым дополнением навсе большем числе альтернатив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
