Автореферат (1137324), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вторая глава содержит доказательство теоремы гомотопической инвариантности и её следствия. Перед тем, каксформулировать основные результаты этой главы, дадим необходимые определения.Рассмотрим подгруппу R2 (k) свободной группы на точках проективной прямой Q[P1 (k)], порожденную элементами [0], [∞] и комбинациями5X(−1)i [r(y1 , . . . , ŷi , .

. . , y5 )],i=17где (y1 , . . . , y5 ) — всевозможные пятерки различных точек проектив(a − b)(c − d)обозначаной прямой P1 (k), а символом r(a, b, c, d) =(c − b)(a − d)ется двойное отношение четырех точек. Группа B2 (k) определяетсякак следующий фактор:B2 (k) :=Q[P1 (k)].R2 (k)Образ элемента [x] в факторе обозначим символом {x}2 .Рассмотрим отображениеδ : Q[P1 (k)] −→ k × ∧ k × ,переводящее базисный элемент [x] ∈ Q[P1 (k)] в x ∧ (1 − x).

Можнопоказать, что δ равно нулю на группе R2 (k).Определение 1. Группой HGn−1,n (k) мы будем называть ядро отображенияnn−2^^× δk −→ k × .B2 (k)⊗an−2n−2V ×VЗдесь символом B2 (k)⊗ak обозначен фактор группы B2 (k)⊗Zk × по подгруппе, порожденной элементами вида {x}2 ⊗ x ∧ x1 ∧ .

. . ∧xn−3 для некоторых x, x1 , . . . , xn−3 ∈ k, а отображение δ задаётсяформулойδ({x}2 ⊗ x1 ∧ . . . ∧ xn−2 ) = x ∧ (1 − x) ∧ x1 ∧ . . . ∧ xn−2 .С каждой абелевой группой A можно связать её рационализациюAQ = A ⊗Z Q. Первой целью диссертации является доказательствоследующей теоремы о гомотопической инвариантности:Теорема 2. Для произвольного поля F следующая последовательность точна:M n−2,n−1⊕∂P0 −→ HGn−1,n (F )Q −→ HGn−1,n (F (t))Q −→HG(FP )Q −→ 0.P 6=∞8Здесь символом P обозначена точка проективной прямой P1 (F ), aFP — соответствующее поле вычетов. Далее, инъективное отображение индуцировано вложением поля F в поле F (t), а сюръективное есть прямая сумма отображений вычета.Из утверждения этой теоремы несложно вывести усиленный законвзаимности Суслина.Следствие 3.

Для гладкой проективной кривой X над C отображение полного вычетаRes : HGn−1,n (C(X ))Q −→ HGn−2,n−1 (C)Q ,определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкамкривой X , тождественно равно нулю.Перед тем как сформулировать еще одно следствие, напомним некоторые определения из теории равносоставленности многогранниковв пространстве Лобачевского H3 .3Определение 4.

Группа P(H ) — это абелева группа, заданная образующими [T ], соответствующими гиперболическим многогранникам T, возможно, с вершинами на абсолюте, и следующими соотношениями. Во-первых, [T1 t T2 ] = [T1 ] + [T2 ], если внутренности многогранников T1 и T2 не пересекаются. Во-вторых, элементы группы,соответствующие изометричным многогранникам, совпадают.Каждому комплексному числу z ∈ C соответствует элемент [z] ∈3P(H ), отвечающий тетраэдру с вершинами на абсолюте, имеющимикоординаты ∞, 0, 1, z в модели Пуанкаре в верхнем полупространстве.3У каждого элемента группы [T ] ∈ P(H ) однозначно определен гиперболический объем V ol(T ) ∈ R и инвариант Дена D(T ) ∈ R ⊗ZR/2πZ. Для многогранника с длинами рёбер li и соответствующими двуграннымиуглами αi инвариант Дена определяется формулойPD(T ) = li ⊗ αi .9Неформально содержание следующего результата можно описать так:по каждой тройке обратимых мероморфных функций на компактнойгладкой кривой можно построить класс равносоставленности гиперболического многогранника.

Полученное отображение полилинейнои антисимметрично. Инвариант Дена полученного многогранникавыражается через значения одних функций в нулях и полюсах других, а гиперболический объем выражается как интеграл по кривойот некоторой явно заданной дифференциальной формы. Желаниедоказать существование подобной конструкции и было первоначальной мотивировкой данной работы.Обозначим через p проекцию C× ∧ C× −→ R ⊗ R/2πZ, заданнуюформулой p(z ∧ w) = z ∧ w − z ∧ w. Нетрудно проверить, что D([z]) =p(z ∧ (1 − z)).Следствие 5. Для гладкой проективной кривой X над C существует линейное отображениеH : C(X )× ∧ C(X )× ∧ C(X )× −→ P(H)со следующими свойствами:P1. [Инвариант Дена] D ◦ H =p ◦ ∂P ,P ∈XP2.

H(f ∧ (1 − f ) ∧ g) =ordP (g) · [f (P )],P ∈XR13. [Объем] V ol◦H(f1 ∧f2 ∧f3 ) = 2πir2 (f1 , f2 , f3 ), где r2 (f1 , f2 , f3 )−X (C)−− это следующая форма на кривой:11Alt3log |f1 | d log |f2 | ∧ d log |f3 | − log |f1 | darg(f2 ) ∧ darg(f3 ) .62Содержание главы 3. Третья глава посвящена доказательству целочисленной версии гипотезы Штайна.Определение 6. Сбалансированным графом {Γ, B} мы будем называть пару, состоящую из трехвалентного графа Γ и функции B,10сопоставляющей каждому ориентированному ребру Γ пару целых2−адических чисел и удовлетворяющую следующим свойствам, которые мы будем называть условиями балансировки:• Для каждой пары ориентированных ребер e+ и e− , отвечающих одному и тому же неориентированному ребру e, выполненоследующее равенство:B(e+ ) + B(e− ) = (0, 0).• Для каждой тройки ориентированных векторов e1 , e2 , e3 , начинающихся в одной и той же вершине графа, выполнено следующее равенство:B(e1 ) + B(e2 ) + B(e3 ) = (0, 0).Индексом m(v) вершины v мы будем называть 2−адическое нормирование определителя, образованного из координат векторов B(e1 )и B(e2 ).

Иначе говоря,m(v) = ν2 (Bx (e1 )By (e2 ) − By (e1 )Bx (e2 )) .Из определения сбалансированного графа следует равенство B(e1 )+B(e2 ) + B(e3 ) = (0, 0), откуда легко заключить, что данное вышеопределение не зависит от того, какие именно два ребра выбирать.Заметим, что индекс вершины не обязательно конечен.Второй целью диссертации является доказательство следующей теоремы об индексах вершин сбалансированного графа:Теорема 7. У произвольного сбалансированного графа число вершиннаименьшего индекса четно.Опишем приложение этой теоремы.Определение 8.

Назовем многоугольник сбалансированным, еслиего стороны можнно разбить на пары таким образом, чтобы в каждой11паре соответствующие векторы были противоположны друг другу.Назовем многоугольник целочисленным, если координаты всех еговершин целочисленны в некоторой аффинной системе координат наплоскости.Из утверждения теоремы о четности числа вершин минимальногоиндекса несложно вывести целочисленную версию гипотезы Штайна.Следствие 9.

Целочисленный сбалансированный многоугольник нельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так,чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.В частности отсюда следует, что целочисленный сбалансированныймногоугольник нечетной площади нельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так, чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.ЗаключениеАвтор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. К.

Ландо за помощь в написании диссертации и А. М.Левину за внимательное чтение рукописи и ценные советы. Оченьважным для автора было общение с А. Б. Гончаровым, А. А. Суслиным и А. А. Бейлинсоном во время написания этой работы.12Публикации автора по теме диссертации1. Rudenko D. On equidissection of balanced polygons // 851. Записки научных семинаров ПОМИ им. В.А.Стеклова Российскойакадемии наук. 2012. Т.

403. С. 142-158.2. Руденко Д.Г. Об усиленном законе взаимности Суслина и егоприложениях к вопросам равносоставленности гиперболическихмногогранников // Функциональный анализ и его приложения.2016. Т. 50 вып.1. С. 79-84.3. Rudenko D. Arithmetic of 3-valent graphs and equidissections offlat surfaces [Электронный ресурс]// Working papers by CornellUniversity. Series math «arxiv.org».

2014.URL:http://arxiv.org/abs/1409.7996.4. Rudenko D. Scissor Congruence and Suslin reciprocity law [Электронный ресурс]// Working papers by Cornell University. Seriesmath «arxiv.org». 2015. URL:http://arxiv.org/pdf/1511.00520..

Характеристики

Список файлов диссертации