Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко - Задачи и упражнения по дискретной математике (1132701), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Сопоставим вектору а плоское дерево, изображенное на рис. 6.10, д. Код плоского корневого дерева можно получить также с помощью обхода; при обходе дерева, начиная с корня, мы проходим каждое ребро дважды (см. рис. 6.11, б). Первый проход вдоль ребра отмечаем нулем, в б в Рис. 6.12 а второй единицей. В результате получаем тот же самый код де- рева,что и при индуктивном способе построения. 3.1.
Построить коды плоских корневых деревьев, изображенных на рис. 6.12. 3.2. Построить плоское корневое дерево по его коду сс 1)а = 0010100111; 2) Й = 00110101000111; 3)а = 0000010011011111; 4) П = 01001000110111; 5)а = 00100010110111, 6)а = 000101110100001011. 3.3. По вектору а установить, является ли он кодом какого-либо плоского дерева: 1) а = 001011; 2) о = 0110; 3) о = 001001; 4) а = 010011; 5) а = 001 11001; 6) а = 0001100111. 3.4. Множество векторов А разбить на классы так, чтобы каж- дый класс состоял из кодов попарно изоморфных плоских корневых деревьев: 1) А = (аз = 0100101101, Пз = 0101000111, оз = 0001110101, сц = 0101001011, оз = 0100011101); 2) А = (аз — — 0100010110111, оз = 000110011101, Оз = 001001011 101, Оч = 01001001011 1, ав = 01000110011 Ц; 3) А = (аз = 0011010011, Нз = 0100110011, оз = 0010110101, оя = 0100101101, оз = 0011001101).
222 Га. 17. Графы и сети 3.5. Доказать по индукции, что для всякого корневого дерева Р с лл, ребрами его код а = (ллл...а „) обладает свойствами 1 и 2, сформулированными в рассмотренном выше примере. 3.6. Показать, что для числа ф(и) попарно различных плоских корневых деревьев справедливы неравенства: Ц л)(п) ( 4', 2) ф(л) ( Сза, 3) ф(п) ( С"'( ' П . З.л. Ц Показать,что для числа ф(и) попарно различных плоских корневых деревьев справедливо рекуррентное соотношение ф(и) = ~~ ул(л — Ц лр(гл — л), лс(0) = лр(Ц = 1. ~=л 1 2') Доказать, что ф(п) = С,"„. ие 1 Яп' 3.8.
11оказать эквивалентность двух определений корневого дерева: Ц корневое дерево есть однополюсная сеть, граф которой связен и не имеет циклов; 2) корневое дерево есть сеть, которую можно получить с помолцью индуктивного построения, описанного выше (см. индуктивное определенив корневого дерева).
3.9. Опираясь на индуктивное определение корневого дерева, доказать следуклщие свойства корневых деревьев: Ц число вершин корневого дерева на единицу больше числа его ребер; 2) любая пара вершин корневого дерева соединена единственной цепью; 3) добавление любого ребра к корневому дереву приводит к появлению цикла. 3.10. Вершину корневого дерева будем называть висячей., если она отлична от корня и имеет степень, равную 1.
Ц Пусть корневое дерево имеет й висячих вершин и не имеет вершин степени 2, отличных от корня. Доказать, что при и > 2 общее количество вершин не превосходит 2Й. 2) Пусть кажда» вершина корневщлл дерева, отличная от корня, имеет степень, нс превосходящую 3, а степень корня не превосходит 2. Доказать, что число висячих вершин не превосходит плл2, где п число вершин корневого дерева. Напомним.
что расстоянием между вершинами и и и связного графа С называется минимальное число рсл(и, и) ребер в цепи, соеди- няющей вершины и и и. Диаметрам связного графа С = ('л', Х) называется число Р(С) = шах ро(и, и). Пентлром связного грач,сЕХ фа С = (1л, Х) называется вершина ис такая, что шакро(ие и) = ш1пшахра(лл., и), ал Х акал ееи Ь'М. Яеревьл и сети 223 а величина Л(С) = п1ахро(ио, о) называется его радиусом. Цепь в юеи графе С назовем диаметральной, если она соединяет вершины и и о такие, что ро(и, и) = Р(С), и имеет длину, равную Р(С).
3.11. Найти количество центров г(Т), радиус ЙТ) и диаметр Р(Т) для каждого корневого дерева Т из тех, что изображены на рис. 6.12. 3.12. 1) Доказать, что радиус Л(С) и диаметр Р(С) графа С связаны неравенствами Л(С) < Р(С) < 2Л(С). 2) Показать, что обе оценки достижимы.
з Р(С) 3) Доказать, что если С вЂ” дерево, то Л(С) = ) [. 2 4) Доказатзь что всякий центр дерева принадлежит каждой его диаметральной цепи. 5) Доказать, что дерево обладает единственным центром в случае, когда его диаметр --. число четное, и обладает двумя центрами, когда его диаметр число нечетное. 3.13. Показать, что в дереве с нечетным диаметром любые две простые цепи наибольшей длины имеют хотя бы одно общее ребро.
3.14. Доказать, что дерево (некорневое) однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается, если заданы все попарные расстояния между его висячими вершинами. Подграф Н связного графа С называется остовным деревом графа С, если Н дерево, содержащее все вершины графа Н. 3.15. 1) Для каждого Н ) 2 указать граф, диаметр которого равен д, а любой связный остовный подграф имеет диаметр, равный 2д.
2) Доказатгь что в любом связном графе С существует остовное дерево, диаметр которого не более чем в два раза превосходит диаметр графа. 2. Двухполюсные сети. Двухполюсная сеть Г = (~а, Ь), С) будет обозначаться кратко чероз Г(а, Ь). Подграфом сети Г будем называть произвольный подграф графа С. Пусть С подграф сети Г(а, Ь), содержащий хотя бы одно ребро. Тогда вершина подграфа С называется граничной, если она либо является полюсом, либо инцидентна некоторому ребру сети, не принадлежащему подграфу С. Подграф сети называется опьростком, осли он обладает единственной граничной вершиной. Подсетью двухполюсной сети называется ее подграф, имеющий ровно две граничные вершины. Эти вершины называются полюсами подсети. Сеть Г(~а, Ь), С) называется связной, если ее граф С является связным.
Тривиальной называется двухполюсная связная сеть, имекзщая одно ребро. Если не оговорено противное, то под цевью двухполюсной сети Г(а, Ь) будет подразумеваться цепь, соединяющая полюса а, Ь. Связная сеть называется сильно связной, если через каждое ребро проходит цепь. Сильно связная цепь называется разлоожимой, если она обладает хотя бы одной 224 Гл. 17.
Графы и сети нетривиальной подсетью. В противном случае сильно связная сеть называется неразлолсимой. Пусть Г(а, 6) — разложимая сеть, С(с, с)) ее нетривиальная подсеть, а Г~(а, 6) сеть, полученная из Г(а, 6) заменой подсети С(с, д) одним ребром (с, И). Тогда в свою очередь сеть Г(а, Ь) может быть получена подстановкой сети С(с, с1) вместо ребра (с, с1) сети Г~(а, 6). Таким образом, разложимая сеть Г(а, 6) может быть задана указанием сети Гз(а, Ь) ребра (с, с)), сети Гз(а, Ь) а ссГ,;>й Ь сс( ~ьД С(с, а) Г(а, Ь) в Ге(а, 6) Рис. 6.13 и сети С(с, д) (рис. 6.13). Такое задание называется разлоэсением сети Г(а, 6).
Сеть Гз(а., Ь) называется внеизней, а сеть С(с, с1) --. внутренней сетью разлолсения. Сеть Г(а, Ь) называется суперпозииией сетей Гз(а, Ь) и С1с, а). Сеть, состоящая из п параллельных ребер, соединяющих полюса а, 6, обозначается через Гг(а, 6) или, короче, Гг. Сеть, граф которой есть простая цепь длины т, соединяющая полюса а, Ь, обозначается через Г,' (а, 6) или, короче, Г.' . Сеть, которая может быть получена из сетей Ггз и Гз применением конечного числа операций подстановки сети вместо ребра, называется параллельно-последовательной сетью или, короче, и-сетью. Петривиальнал неразложимая сеть Г(а, Ь), отличная от Гз(а, Ь) и Г'(а, Ь), называется Н-сетью.
Разложимая сеть называется р-разлолсимой 1соответственно з-разлолсимой), если некоторая внешняя сеть разложения имеет вид Го (соответственно Г,'ь), т > 2. Если некотоРаЯ внешнЯЯ сеть разложения сети Г является Н-сетью, то Г называется Н-разлолсимой. Справедливо утверждение о том, что всякая разложимая сеть является либо рч либо з-, либо Н-разложимой. р-расизеилением сети называется р-разложение, при котором внутренние сети разложения отличны от сетей вида Гз и сетей, являющихся р разложимыми. Аналоги шо определяются в- расщепления.
Заметим, что сети Г', и Г' (к > 3) являются разложимыми, но не допускают р-расщепления. Н-расщеплением называется разложение, внешней сетью которого является Н-сеть. Каждой и-сети Г с гл > 1 ребрами можно сопоставить плоское корневое дорево Т(Г) с т висячими вершинами такое, что: а) каждая вершина дерева Т(Г), отличная от висячей, помечена символом р или в: б) на каждой цепи, идущей от корня к висячей вершине, отметки р и в чередуются; в) вершины, отличные от корня, имеют степень, нс равную 2. Висячие вершины дерева Т(Г) пометок не имеют.
Нерево ТЯ определяется по индукции. Если Г имеет вид Г",„(или Г'), то ТЯ есть дерево, корень которого 225 6'М. Яерееве и ееп»и помечен символом р (соответственно символом е), а остальные гп вершин являются висячими., смежными с корнем и не имеют пометок. Если сеть Г отлична от сетей указанного вида., то она допускает расщепление. Пусть внешняя сеть расщепления имеет вид 1"", (или Г" ), а внутренние сети суть С», Сз, ..., С». Тогда дерево Т(Г) строится следующим образом. Пусть Т(С»), Т(Сз), ..., Т(С») помеченные плоские корневые деревья, соответствующие внутренним сетям рилн е-расщепления. Тогда в качестве корня Т(Г) берется вершина степени 6, помеченная символом р (соотвстственно символом е).
Вершины и», из, ..., е», смежные с корнем и не являющиеся висячими, помечаются символом е (соответственно символом р) и отождествляются с корнями деревьев Т(С»), Т(Сз), ..., Т(С»). Например, я-сети, .~ Ь Г а Т(Г) Г' е Рнс. 6.14 изображенной на рис. 6.14, а, соответствует дерево, изображенное на рис. 6.14,б. Лерево Т(Г) называется диаграммой расщепления я-сети Г. Укажем теперь индуктивное правило построения я-сети с 6 ребрами по заданному корневому помеченному дереву с 6 висячими вершинами, являющемуся диаграммой рас»цепления некоторой и-сети. Базис индукции.
Пусть плоское корневое дерево Т имеет один ярус, т.е. каждая из 6 висячих вершин соединена ребром с корнем. Тогда: а) если корень имеет пометку е, то сопоставим дереву Т сеть Г(а, 6), представляющую собой цепь из 6 ребер, соединяющую полюса и и Ь; б) если же корень дерева Т имоет пометку р, то сопоставим дереву Т сеть Г(а, Ь), представляющую собой 6 параллельных ребер, соединяющих полюса а, 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
