Теория перечисления Пойя (1127205), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà =ãðóïïà äèýäðà D3 ∼= S3 , |D3 | = 6.3D3 = h t, s i, t = s2 = e, t2 s = st,t âðàùåíèå íà 120◦ âîêðóã öåíòðà,s îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè.Ýëåìåíò ãðóïïû ge = (1)(2)(3)t = (123), t2 = (132)s = (1)(23), st, st2Öèêëîâîé èíäåêñ PS3 =T ype(g)h 3, 0, 0 ih 0, 0, 1 ih 1, 1, 0 iw(g)x31x3x1 x21 3x1 + 2x3 + 3x1 x2 .6êîë-âî123ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà65 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-3Íàéòè öèêëîâîé èíäåêñ òðàíçèòèâíîãî ñàìîäåéñòâèÿ ãðóïïû Z6 .Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ïîñëåäîâàòåëüíî âåðøèíû ïðàâèëüíîãîøåñòèóãîëüíèêà áóêâàìè I, A, S, E, C, R.Z6 = hti, t6 = e, t ïîâîðîò íà 60◦ .Ýëåìåíò g ãðóïïû Z6e = (I)(A) . .

. (R)g = (IASECR)g 2 = (ISC)(AER)g 3 = (IE)(AC)(SR)g 4 = (ICS)(ARE)g 5 = (IRCESA)PZ6 =T ype(g)h 6, 0, 0,h 0, 0, 0,h 0, 0, 2,h 0, 3, 0,h 0, 0, 2,h 0, 0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0i1i0i0i0i1iw(g)x61x6x23x32x23x61 61X6/dx1 + x32 + 2x23 + 2x6 =ϕ(d)xd .66d|6ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà66 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-4 (î êîìïîñòåðå)Êîìïîñòåðîì íàçîâ¼ì êâàäðàòíóþ òàáëèöó 4 × 4, â êîòîðîéêàæäàÿ êëåòêà ìîæåò áûòü ëèáî ïóñòîé, ëèáî ñîäåðæàòü âöåíòðå ñèìâîë •.Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ êîìïîñòåðîâ, åñëè íå ðàçëè÷àòüòå, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû îäèí èç äðóãîãîñàìîñîâìåùåíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå?Ðåøåíèå.Íàéä¼ì öèêëîâîé èíäåêñ äåéñòâèÿ ãðóïïû äèýäðà D4 íà 16êëåòîê êîìïîñòåðà.Ãðóïïà D4 ñîäåðæèò 8 ïåðåñòàíîâîê, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþòñëåäóþùèå ìîíîìû öèêëîâîãî èíäåêñà óêàçàííîãî äåéñòâèÿ:òîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà, ïîðîæäàþùàÿ 16 åäèíè÷íûõöèêëîâ, ìîíîì x161 ;ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà67 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-4...äâå ïåðåñòàíîâêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâîðîòàì êâàäðàòàíà 90◦ ïî è ïðîòèâ ÷èñòîâîé ñòðåëêè, ïîðîæäàþùèå 4öèêëà äëèíû 4 ìîíîì x44 ;îäíà ïåðåñòàíîâêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîâîðîòó êâàäðàòà íà180◦ (öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ) è ïîðîæäàþùàÿ 8 öèêëîâäëèíû 2 ìîíîì x82 ;äâå ïåðåñòàíîâêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèììåòðèèîòíîñèòåëüíî îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ñåðåäèíûïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí êâàäðàòà, ïîðîæäàþùèå 8öèêëîâ äëèíû 2 ìîíîì x82 ;äâå ïåðåñòàíîâêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèììåòðèèîòíîñèòåëüíî îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ñåðåäèíûïðîòèâîïîëîæíûõ âåðøèí êâàäðàòà, ïîðîæäàþùèå 4åäèíè÷íûõ öèêëà è 6 öèêëîâ äëèíû 2 ìîíîì x41 x62 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà68 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-4... èòîãå öèêëîâîé èíäåêñ äåéñòâèÿ ãðóïïû ñàìîñîâìåùåíèÿêîìïîñòåðà â ïðîñòðàíñòâå íà åãî ýëåìåíòû åñòüP (x1 , . . . , x4 ) =1 16x1 + 2x44 + 3x82 + 2x41 x62 .8Íàëè÷èå/îòñóòñòâèå â êëåòêå ñèìâîëà • îïèñûâàåòñÿ èõîòîáðàæåíèåì â äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî (ðàñêðàñêå â äâàöâåòà), ïîýòîìó ÷èñëî N ðàçëè÷íûõ êîìïîñòåðîâ åñòüN = P (2, 2, . .

.) =1 162 + 2 · 24 + 3 · 28 + 2 · 24 · 26 = 8548.8Ê àíàëîãè÷íîé çàäà÷å ñâîäèòñÿ çàäà÷à î ÷èñëå ôîòîøàáëîíîâðèñóíêîâ ñîåäèíåíèé äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñõåì.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà69 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-5Íà ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíàõ ðèñóþò îäèíàêîâûå ïðÿìîóãîëüíèêè èðàñêðàøèâàþò èõ ñòîðîíû â 2 öâåòà.Ñêîëüêî ìîæíî íàðèñîâàòü òàêèõ ðàçëè÷íûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ?Ðåøåíèå. Íàéä¼ì öèêëîâîé èíäåêñ PR äåéñòâèÿ ãðóïïû Rñàìîñîâìåùåíèé ïðÿìîóãîëüíèêà â ïðîñòðàíñòâå íà åãî ñòîðîíû.Ãðóïïà R = h t, f i ïîðîæäàåòñÿ îáðàçóþùèìè: t âðàùåíèåâîêðóã öåíòðà ñèììåòðèè íà 180◦ , f îòðàæåíèå âîêðóã îñè,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (2 îñè).g∈RetfT ype(g)h 4, 0, 0, 0 ih 0, 2, 0, 0 ih 2, 1, 0, 0 iPR (x1 , x2 , x3 , x4 ) =w(g)x41x22x21 x2#1121 x4 + x22 + 2x21 x24ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-5...×èñëî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè, ðàñêðàøåííûìè â 2öâåòà:16 + 4 + 1636N = PR (2, . . . , 2) === 9.44Âîò îíè:70 / 76ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-6Îïðåäåëèòü ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ðàñêðàñîê ïðàâèëüíîé÷åòûð¼õóãîëüíîé ïèðàìèäû Ï â 3 öâåòà.Ðåøåíèå. Çàíóìåðóåì ïîñëåäîâàòåëüíî áîêîâûå ãðàíè Ï÷èñëàìè 1, . .

. 4, à îñíîâàíèå 5.G ∼= Z4 = h t i, t âðàùåíèå íà 90◦ .Ýëåìåíò ãðóïïû gT ype(g)w(g)e = (1)(2)(3)(4)(5) h 5, 0, 0, 0, 0 i x51r = (1234)(5)h 1, 0, 0, 1, 0 i x1 x42r = (12)(34)(5)h 1, 2, 0, 0, 0 i x1 x223h 1, 0, 0, 1, 0 i x1 x4r = (1432)(5)1 5x1 + 2x1 x4 + x1 x22 ,P (x1 , . . . , x5 ) =435 + 2 · 32 + 339 · (27 + 2 + 3)9 · 32P (3, . .

. , 3) ==== 72.44471 / 76ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà72 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-7Ñêîëüêèìè ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè òðè àáñîëþòíîîäèíàêîâûå ìóõè ìîãóò óñåñòüñÿ â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãîñåìèóãîëüíèêà, íàðèñîâàííîãî íà ëèñòå áóìàãè?Ðåøåíèå. Ìíîæåñòâî T âåðøèíû ñåìèóãîëüíèêà, íà êîòîðûåäåéñòâóåò ãðóïïà Z7 = h t i, t7 = e.Ýëåìåíò g ∈ Z7et, t2 , . . . , t6ÂñåãîT ype(g)h 7, 0, . . . ih 0, . . . , 0, 1 iw(g)x71x7êîë-âî167Öèêëîâîé èíäåêñ ñàìîäåéñòâèÿ Z7 :1 71X7/dPZ7 (x1 , .

. . , x7 ) =x1 + 6x7 =ϕ(d)xd .77d|7ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà73 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-7...×èñëî ðàçëè÷íûõ ðàñêðàñîê â 2 öâåòà (ìóõà åñòü/íåò),ïðè óñëîâèè îêðàñêè ðîâíî 3 âåðøèí èç 7 åñòü êîýôôèöèåíòu3 ïðè y 3 ïîñëå ïîäñòàíîâêè x1 7→ y + 1, x7 7→ y 7 + 1 â PZ7 :P (y) =11(y + 1)7 + 6(y + 1) =. . . + C73 y 3 + . .

. .777!5·6u3 === 5.7 · 3! · 4!2·3ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-8Áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé øåñòèóãîëüíîé ïèðàìèäûîêðàøèâàþòñÿ â êðàñíûé, ñèíèé è çåë¼íûé öâåòà.Îïðåäåëèòü(à)÷èñëî ðàçëè÷íûõ 2- è 3-öâåòíûõ ïèðàìèä;(á)÷èñëî ïèðàìèä ñ îäíîé êðàñíîé ãðàíüþ;(â)÷èñëî ïèðàìèä, ó êîòîðûõ íå ìåíåå òð¼õ êðàñíûõ ãðàíåé.Ðåøåíèå.

Èìååì òðàíçèòèâíîå ñàìîäåéñòâèå Z6 .(à) Îáùåå ÷èñëî ïèðàìèä.P (Z6 ) =1X6/dϕ(d) xd=6d|674 / 76ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-8...d = 1, 2, 3, 6. ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(6) = 2 .1 6=x1 + x32 + 2x23 + 2x6 = PZ6 (x1 , . . . , x6 )6(PZ6 ìû óæå íàõîäèëè â çàäà÷å ÒÏ-3).#Col(2) = P (2, . . . , 2) =4 · 211 62 + 2 3 + 2 · 22 + 2 · 2 == 14.=66#Col(3) = P (3, .

. . , 3) =1 6780=3 + 3 3 + 2 · 32 + 2 · 3 == 130.6675 / 76ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü III: Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ Ïîéà76 / 76Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÏ-8...PZ6 (x1 , . . . , x6 ) =16x61 + x32 + 2x23 + 2x6(á, â) ×èñëî ïèðàìèä ñ 1 è 3 6 êðàñíûìè ãðàíÿìè.Ïîëàãàåì y1 = y, y2 = y3 = 1 (ñëåäèì òîëüêî çà êðàñíûìèãðàíÿìè), x1 = y + 2, x2 = y 2 + 2, x3 = y 3 + 2.1(y + 2)6 + (y 2 + 2)3 + 2(y 3 + 2)2 + 2(y 6 + 2) =61u0 + u1 y + u2 y 2 + .

. . + u6 y 6 ==61 632 + 2 + 23 + 4 + 6 · 25 y + (16 · 15 + 12) y 2 + . . . .=6u0 = 84/6 = 14, u1 = 25 = 32, u2 = 252/6 = 42.P (y) =×èñëî ïèðàìèä ñ:(á) îäíîé êðàñíîé ãðàíüþ u1 = 32,(â) íå ìåíåå, ÷åì 3 êðàñíûìè ãðàíÿìè #Col(3) − (u0 + u1 + u2 ) = 130 − (14 + 32 + 42) = 130 − 88 = 42..

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)