Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Например, случай 3 описывает значение истинности для р л д, когда неверно, что Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы. Если р — высказывание Джон богат, а у — высказывание Джон красив, то не знакомая с Джоном девушка, которую убедили в том, что высказывание Джон богат и Джон красив, или Джон богат и красив истинно, будет представлять себе Джона и богатым, и красивым. Точно так же рассмотрим высказывание 18 ГПАлА 1. Таблицы истинность, логике, доказательстве истинно одно из высказываний, но не обязательно оба.
Девушка почувствует себя введенной в заблуждение, только если обнаружит, что Джон беден и уродлив. Таблица истинности для отрицания р имеет вид Случай р 1 Т 2 Г Г Т Истинностное значение -р всегда противоположно истинностному значению р. В таблицах истинности отрицание всегда оценивается первым, если только за знаком отрицания не следует высказывание, заключенное в скобки. Поэтому р'ч'с интерпретируется как ( р) Ч о, так что отрицание применяется только к р, Если мы хотим отрицать все высказывание рЛо, то это записывается как (рЬ'д). Символы Л и ч называют бинарными связками, так как они связывают два высказывания как, например, в выражениях р Л о и р ~ д.
Символ является упорной связкой, так как применяется только к одному высказыванию. Еше одна бинарная связка — это исключающее или, которое обозначается через ~/. Высказывание рн д истинно, когда истинно р или с, но не оба одновременно. Эта связка имеет таблицу истинности Случай р д РН1 1 Т Т 2 Т Г 3 Г Т 4 с Г Г Т Т с Сэм уплатит налог за машину или Сэм утратит свою машину и будет ходить на работу пешком. Пусть р обозначает высказывание Сэм уплатит налог за машину, о — высказывание Сэм останется при своей машине, а г — высказывание Сэм будет ходить на работу пешком.
Тогда наше сложное высказывание можно представить в виде р ~l И д) Л т), где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой связки. Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, когда высказывание р М (( о) Л т) является истинным; при этом мы должны быть Используя слово или, мы можем иметь в виду исключающее или. Например, когда мы говорим: "Дик сдаст экзамен по логике или он не сдаст этот экзамен", мы, конечно, предполагаем, что Дик сделает что-то одно.
Таким образом, когда мы говорим, что р — либо истина, либо ложь, то, естественно, предполагаем, что это не выполняется одновременно. В логике исключающее или используется довольно редко, и в дальнейшем мы, как правило, будем обходиться без него. Рассмотрим высказывание РАЗДЕЛ П 1. Выскэзыеения и логические сеязки 19 уверены, что учтены все случаи.
Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания р,д и т, то возможны восемь случаев Случай р 9 т ( д)Лт р~l (( г7) Лт) Т Г Т Т Т Т Т Т Т Т Т Т Т Г Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г Г Г Т Т Г К Т Т р ~l (( 9) Л т) Случай р д т Т Т Т Г Г Т Т Т Т Г Г Т 1 1 Т Т Т Т Т Г Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г Т Т Т Т Г Г Г Г 1 1 2 3 4 6 7 8 При нахождении значений истинности для столбца (-и) Л т мы используем столбцы для ( с) и т, а также таблицу истинности для Л. Таблица истинности для Л показывает, что высказывание ( 9) Л т истинно лишь в том случае, когда истинны оба высказывания (-д) и т.
Это имеет место лишь в случаях 3 и 7. Заметим, что при определении значений истинности для столбца рч(( г7) Лт) играет роль только истинность высказываний р и (-д) Л т. Таблица истинности для Ч показывает, что единственный случай, когда высказывание, образованное с помощью связки или, ложно, — это случай, когда ложны обе части этого высказывания. Такая ситуация имеет место только в случаях 5, 6 и 8. Если Сэм не уплатит налог за машину (т.е. р ложно, или имеет значение Г), лишится своей машины (д имеет значение Г) и будет ходить на работу пешком (т имеет значение Т), то будет иметь место случай 7. Тот, кто скажет; "Сэм уплатит налог за машину или Сэм утратит машину и будет ходить на работу пешком'*, будет абсолютно прав.
Другой, эквивалентный способ построения таблицы истинности состоит в том, чтобы записывать истинностные значения выражения под связкой. Снова рассмотрим выражение ри((-д) Л т). Сначала мы записываем истинностные значения под переменными р, д и т. Единицы под столбцами истинностных значений указывают на то, что этим столбцам истинностные значения присваиваются в первую очередь.
В обшем случае число под столбцом будет показывать номер шага, на котором производятся вычисления соответствующих истинностных значений. 20 ГпАВА и таблицы истинности, логика, оокагательства Затем мы записываем под символом истинностные значения высказывания -у. р ч (( д) л т) Случай р Г Т Т Г Т Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Т Г Т Т Г Г 2 1 1 Далее записываем истинностные значения ( д) л т под символом л. р г ((- о) Л -) Случай р о т наконец, записываем значения высказывания р ь' (( д) л т) под символом ~l. Случай р д г р ~ (( - т) Л т) 1 Т Т Т 2 Т Т Г 3 Т Г Т 4 Т Г Г 5 Г Т Т 6 Г Т Г 7 Г Г Т 8 Г Г Г Т Т Г Т Г Т Т Т Г Т Г Г Т Т Т Г Т Т Т Т Т Г Г Г Г Г Г Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г Т Т Г Т Т Г Г Т Г Р Г 1 4 2 1 3 1 ПРИМЕР 1.1. Пусть р, у и т обозначают, соответственно, высказывания Фрэд любит футбол, Фрэд любит гольф, Фрэд любит теннис.
Требуется записать высказывание Фрэд любит футбол и неверно, что он любит гольф или теннис в символической форме и указать соответствующую ему таблицу истинности. 1 2 3 4 5 6 7 8 Т Т Т Т Т Г Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г Т Т Т Т Т Г Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г Т Т Т Т Р Г Г Г 1 Т Т Т Т Г Г Г Г 1 Г Г Т Т Г Г Т Т 2 Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Г Г Т Г Т Т Г Р Г Т Т Г Г Г 1 3 1 РАздел я я Высказывания и логические связки 21 Случай р а г Р Л ( (с1Нг)) Т Г Г Т Т Г Г Т Т Г Г Т Т Т Т Г Г Г Г Т Г Г Г Т Г Г Г Т Г Г Т Г 1 ь 3 2 Т Т Т Т Т Г Т Г Т Т Г Г Г Т Т Г Т Г Г Г Т Г Г Г ° УПРАЖНЕНИЯ 1.
Найдите среди указанных ниже предложений высказывания. Укажите их истинностные значения. а) Который час) б) Целое число 1 есть наименьшее положительное целое число. в) Если х=З,тоха=6. г) Берегись автомобиля! д) Южная Дакота — южный штат. 2. Найдите среди указанных ниже предложений высказывания.
Укажите их истинностные значения. а) Все четные числа делятся на 2. б) Загрузите пакеты в машину. в) Это утверждение не может быть истинным. г) Юпитер — ближайшая к солнцу планета. д) Не следует хранить компакт-диски в микроволновой печи. 3. Пусть р, д и г обозначают следующие высказывания: р: Путешествие на Марс является дорогостоящим. Я совершу путешествие на Марс.
г: У меня есть деньги. Запишите в символической форме такие высказывания; а) Уменя нет денег и я не совершу путешествие на Марс. б) У меня нет денег и путешествие на Марс является дорогостоящим или я совершу путешествие на Марс. Сначала заменим это высказывание эквивалентным — Фрэду нравится футбол и неверно, что Фрэд любит гольф или теннис. Высказывание Фрэд любит гольф или теннис в символической форме записывается как д У т. Высказывание Неверно, что Фрэд любит гольф или теннис, символически записывается как -(д Ч г), поскольку отрицание применяется ко всему высказыванию, которое следует после "что".
Итак, исходное высказывание символически изображается р д (-(д'гт)). Таблица истинности этого высказывания имеет вид гг ГЛЛВА 1. Таблицы истинности, логика, доказательства в) Неверно, что у меня есть деньги и я полечу на Марс. г) Путешествие на Марс не является дорогостоящим и я полечу на Марс или путешествие на Марс является дорогостоящим и я не полечу на Марс. Пусть р, д и т обозначают следующие высказывания; р: Мой компьютер — быстродействующий, д: Я окончу проект вовремя. т: Я сдам экзамен.
Запишите в символической форме такие высказывания: а) У меня не быстродействующий компьютер или я закончу проект вовремя. б) Я не закончу проект вовремя и не сдам экзамен. в) Неверно, что я закончу проект и сдам экзамен. г) У меня быстродействующий компьютер или я не закончу проект вовремя и сдам экзамен. 5. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнении 3. 6. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнении 4. 7. Пусть р, д и т обозначают следующие высказывания р: Эта игра очень трудна. д: Я играю в шахматы.
т: Игра в шахматы требует времени. Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания: а) балт; б)равд; в) (р ч'т) Л о; г) рлолт. 8. Пусть р, д и т обозначают следующие высказывания р: Доги — большие собаки. д: У меня маленький дом, т: У меня есть дог. Представьте следующие символические выражения как обычные высказывания: а) рлу л-т; б) рл( д 'ч' т); в) (р ~-о) Лт; г) (р Л т) '4 (о Л т). 9. Постройте таблицы истинности для высказываний в упражнении 7. 10. Постройте таблицы истинности для высказываний в упражнении 8. 11.
Постройте таблицы истинности для следующих высказываний: а) рЛ (у'ч' г); б) (дл т) ~l ( рлт); в) (рЛт)Ъ'( балт); г) ( р ч'(у Л т)); д) (р Л г) Н (р Л о). РЛЗДЕЛ б2 Условные высказывания 23 12. Постройте таблицы истинности для следующих высказываний: а) (р Ч д) Л Гт Ч у); б) ( улт) У (рлт); в) ((рЛ т) У д); г) ( р Л (у Ч т)); д) (р'I-т) Л-(ру-у) 1.2. УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ Случай р у 1 Т Т 2 Т т 3 Г Т 4 Г т Т Г Т Т Символ — называется имляикацией, или условной связкой. Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
