В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 11
Текст из файла (страница 11)
З вЂ” 1629 зэ Далин определение суперпознцип функций. Пусть К'=(( (Х, .", Хз),(з(Х»"., Хц),"., ( (Х»..., Хл Ц— конечная система булевых функций. Функция ( иазывжтся суперпоанцней ранга 1 (клн элементарной суперпознцней) фупквмй /» .„Т если ( может быть получана однем нз следующих способов; а) перепмановаинем некоторой переменной Хг какойннбудь функцнн (» т. е. ( Д(Х»..., Хг-» У. Хгы. ° ° ° Ха,).
где У может совпасть с любой переменной; б) подстановкой некоторой функция (~(1(1щи) вместо какой-либо переменной Хг любой нз фуннннй (сщК', т. е (=(с(Х» ..., Хг — ь (г(Х» . Хм). Хг,..., Х„,). Суперпознинн ранга 1 образуют класс фупкинй КЦ Класс фуинцнй, получающийся нв функций класса К ' суперпоэнцнй ранга г — 1 с помощью элементарных суперпоэнцпй, называетсн классом фупкцнй К' супарпозяцнй ранга г.
Сулерпатнцллми функций нз К' называются функинн, входящие в какой-.чнбо на классов Кц Несложно доказывается следующее Утверждение 1.5. Пусть система ((» ..., ( ) — полнаЯ и любая нэ функций (»..., ( может быть зырезсена с помощью сулерпозицнй через функции уг,..., й» Тогда система (у» ..., Тр) тоже познал Пример 1.14. Докажем полноту следующих систем фуикцнйт а) (-1, й, 'т/)1б) (-1, Я; в) (-!.
Ь)гг) (-1, ш). Полнота системы (-1, 6, Я непосредственно следует нз теорем 1.5 н 1.9. Для доказательства полноты снстемы (-1, 'т/) выпал»чуемся полнотой системы ("1, 6, Я я утверждением 1.5, где в роли фУнкций (» (ь (з вмстУпают соответственно -1, Ь, !г', а в Роли функций у» уа — 1, 'тг'. Тогда Д вЂ” - р н (т = Х Ь Хт = 1 ( ! ХЛТ 'Ьг — 1Х,), т. е. ФУнкцнп (з выРажеиа чеРез У, к Уь з (ь = Ут. Полнота системы (-1, бф доказывается аналогично предыдущему случаю с использованием равнасяльноств Х~1/Хт= - .Т(-)Х й-)Хт). Для доказательства полноты системы (-1, ю) воспользуемся полнотой системы (-ь 'тг) н утвержаенкем 1.5, где в роли функций (, н Д выступают соответственно -\ 'т/, а в роли функций у» ут — -!. с» Тогда й у» (з Х~ чг' Хт ~Х~~Хт. В равд. 1.1.1 была определена функикя Х+ У вЂ” сложение по молулю 2.
Запишем таблнцу нстючяостн для этой функинн (см. табл. 1.12!. Иногда удобнее вместо символа й писать символ ° ялн вообще опускать его, как это делается в арифметике. Тогла функцию ХЬ У можно записать как Х У нля просто ХУ. Таблзиа нстннностн для этой функции также содержптся в табл. 1.12. за Рассмотрим теперь систему функцнй (+,, !). Это полнап система, что слслуег нз утвержденна 1.5, полноты системы (-!.
.) н равносильности -!К Х+ 1. По таблицам нстянностн нетрудяо проверить, что выполняютсн тождества (часть нз ннх уже проверена прн доказательстве основных равноснльностей): !) Х+У=У+Х; 1') Х У У Х; 2) (Х+У)+Х-Х+(У+К); 2) (Х У).Х=Х.(у.г)1 3) Х+Х=О; 3') Х.Х=Х; халлека глз а) х. (у+К) х.у+х.х- (1 1) — (- 5) О+Х =Х; б) О Х=О; 7) 1 Х=Х. Заметны, что все тождества, кроме 3 н 3', выражают свойства, аналогичные свойствам арифметического сложения н умножения.
Слааовательпо, в силу полноты системы (+г и !) п тождеств 1 — 2, 1' — 2; 4 — 7 любую булеву функцию можно прслставнть в виде мнсгочлена от своих переменных. Многочаепом Жззалкииа называется многочлен, являюшнйся суммой константы О нлн 1 н различных одночленов, в которые все переменные входят не выше чем в первой стененнг ВХ,,... Х,„+аь приемка каждом наборе<та....
1а) все гг() 1,..., 5) различны, агш (О, !). Воспользовавшись тождсстаамн 3 н 3; можно доказать, что каждая булеза функцвя может бить представлена многочленом Жегалкнна. Поскольку число различных булевых функцнй от и переменных равно 2м н число разлнчных многочленов Жегалкина от л переменных также равно 2'", то представление булевой фуннцнн многочленом Жегалкяна единственно. Пример 1.15. Представнм многочленамн Жегалкнна фуннцнн ХЧУн ХЧУ)УХг хту у = „(пхб и у) - (х+ П (у+1) + !- ХУ+Х+ У+ 1+ 1 ХУ+ К+ У; К~!У)УХ=ХУХ+ХУ+Хг+!Х+Х+ У+К. Утверждонне 1.5 дает лишь достаточное условне полноты снстемы булевыя функций.
Перейдем теперь к установленню крнтерня полноты системы булевых функций. 4 З1 Класс (множество) К булевых функций называется функциокалеко эамккугмм, сели вместе с функциями из этого класса он содержит и эсе пх суперпознщж. Очевидиц что для доказательства заминутости класса достаточно покааать, что элементарные суперпоэиции не выводят нз этого класса. Функционально замкнутыми являются: класс всех булевых функций, класс, солержащий только тождественные функции вида /(Х) = Х, класс функций от одной переменной.
Утверждеяие 1.б. Никакая лолкая система булевых функций ке может содержа»ъсл е функциокалько экиккугом классе, отличкам ог класса К~ есех булееих функций. Действительна; в противном случае для полной системы (/ь..., / ) иайдстся замннутый класс К такой, что (/ь.... / ) ~КщК~ и КчьКь Следователю»с» найдется функпяя таная, что /Ж К, т. е. / не может быть выражена через /з.
/ что врогиворечит полноте этой системы. Рассмотрим некоторые функционально замкнутые классы фуннций. Через Т, обозначается класс функций, сокраклющик О, т. е. функций, увовлетаоряющих условию /(О, О,..., 0) = О. Через Т1 обозначается клпсс функций, сохраняющих 1, т. е. функций, удовлетпоряющих условию /(1, 1,..., 1) =!. Заметим, что Х, — Хзщ Те, а Х, — Х» ев Ть Х, + Х»щ Т, а Х~ + Хз щ Т, т. е. эти классы функций различны и не совпадают с классом всех булевых функций. Поскольку элемептарные суперпозиции не выводит из классов Т, в Т, соответственно, то они функционально замкнуты. Например, если /~[Х»,....
Х», ) паТ» н /»(Хь,... Х»,) еп Ть то функция /, (Хь ..., Х; и /»(Хь ..., Ха, ), Хнь ..., Хз, ) на нулевой оценке, очевнлно, также «ринамает значение О, т. е. принадлежит классу Тк Переименование переменной также не выводит чз Т*. Пусть ЦХь..., Х ) — булеза функния. Фуницив /*(Хь..., Х ) называется деойстееккой /(Хь..., Х ), если /" (Хь,.„Х ) = =-1 /(-1 Хь..., ) Х,).
Очевидно, двойственной Х, ~У Хз валяется фуницня Х|ЬХ» н наоборот; двойственной /(Х~) 0 является функция /(Х») = 1 и наоборот. Утверждение 1.7 (лрикцик даоастееикостк). Пуста Ф /с(Х,..., Хнь /»(Хь.... Х» ), Х, ь ..., Х», ). Тседв Ф' /Ч(Хь, Хнь /'з(Хь..., Х» ), Хнь..., Х»,). Действительно, беэ ограничения общности можно считапк что й| > йз Тогда Ф'(Хь., Х» ) =- -1<Р(-!Хь, .., !Х» ) = 1/ ( 1Хь...
эз ,-1 К,-1-1/ ( 1Х,...,-1К,), 1К, ..., -1К -)/,( 1Хг, ., -1 Х; ь-7/*з(Х„..., Хг,,), -1Хыь...,-)Хь,)= (Х,..., К;, /' (К,...,Хь,), Хг,..., К,). Функция /(Хь..,, Х ) называется спмш)войсгееллой, если. /(Хь ° . Х ) = /1(Х., Х ). Класс самодвойсгвеняых функций обозначается через 5. Прнзгер 1Лб. ФУнкниа /(Хь Хь Хз) = К + Хг + Х само- двойственная. Действительно, /*(Хь Х„ Х,) = -1/( †,Ль -, Х„ ПХ.) - (К, + 1) + + (Хе+ Ц+ (Кг+ Ц+1=Хг(-Хе+Ха.
Класс 5 самодвойствениых функпий функционально замкнут. Это следует нз утверждения 1.7, поскольку если /ь /,ш5, т. е. /'г =/, /'г =/ь то Ф = Фц Переимеиованпе переменной также ие выводит пз 5. Функция /(Хь..., Х ) называется линейкой, если /(Хь..., Х,) =а,+о Х -)-...+а Х, где огш(О, Ц.
Класс линейных функций сбозпачасюя через М Очевггдно, Х+ ушд Ош/, ХУИ 1.. Класс линейных функций А функционально замкнут. Если /, = о, + аХг +... Фа, Хэ, ША н /з ба+Ьгхг +... + ЬьХэш ш Д то аз+ ... + о,,Хг, + а (Ь, + Ь!Х, + ... + Ь» Хг, ) + + оы,д.ы+ ., + о,,Х», азйь что следует из тождеств 3 и б (см. (1.1)). Переименование переменной также ие выволиг пз 1..
Введем отношение частичного порядка иа множестве оценок списка переменных <Х»..., К >. Говорят, что оценка а = <аь .. о > предшествует оценке Р <)зь ..., 11 >, где игш (О, 1), фгш (О, Ц, г 1,..., л, если ш<бг для любого 1 (обозначаем о<11!. Например, <О, 1, О, !)<<О, 1, 1. 1), э оценки <О, 1, 1> и <1, О, 1> несравнимы. Введенное отиошенне < есть атнсшеиие частичного порядка (см. веспенне, Разл.
0.3). Фуинцня /(Хь..., К ) называется лоногонлоп„если для .тюбых оценок а и Р списка переменных таких, что «<Р, имеем /(а) </(/1). Класс моноюппых функняй обозначается через М. Пример 1.17. Функции /(Хг) = Хь ПХь Хе) = ХгйХь ПХь Кт)=Хг'тгХг мопоюниые.
Фуннция /(Хь Кз) =Хг~Кт не моиотониая, так как <О, 0)ч',<1, 0), а для этой функции /(О, 0) 1, /(1,0) =О. Класс М монотонных функций функционально замкнут. Действительно, элементарные суаернозициа не выводят пз класса М монотонных функций. В частности, если /г(Хь..,, Ха,) щМ и )«(Хь ..., Х«,) щМ, то Д(Хь..., Хьь )з(Хг...,, Ха„), Хг+ь., .,Х», ) щМ. Вез ограввчения общности можно считать, что йгьмйт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
