40 задач по мастату с решениями (made by Elendil) (1120373), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При построении критерия значение θ1 используется неявно, важно лишь, чтоθ1 >θ0 . Значит, построенный критерий – равномерно наиболее мощный.монотонна по θ при θ ≥ 0, посколькуFT (X) (t; θ1 ) =Задача №38. Пусть X1 , . . . , Xn независимы и имеют пуассоновское распределение Π(θ). Построить равномерно наиболее мощный критерий размера α для проверкигипотезы H0 : θ = θ0 при альтернативе H1 : θ < θ0 . Найти функцию мощности.i=1Решение.nX ∼ Π(nθ),Кратчайший доверительный интервал для θ с коэффициентом доверия α, основанный gg2 1,, где g1 и g2 - решения си2nX 2nXстемы (∗).на центральной статистике G(X, θ), имеет видi=1n X2θ0 XiP∼ Γ 12 , 1 = χ22Xi ≤ 2θ0 c0α =α = Pθ0 (T (X) ≤ c0α ) = Pθ0 2θ0= F2n (2θ0 c0α ),2θ0 ni=1 Xi ∼ χ22n−∞Xi ∼ Π(θ),Задача №34.

Пусть X1 , . . . , Xn независимы и имеют равномерное распределение наотрезке [0; θ]. Построить наиболее мощный критерий размера α для проверки гипотезыH0 : θ = θ0 при альтернативе H1 : θ = θ1 > θ0 . Найти мощность критерия.27c0α найдем из условияЗадача №35. Пусть X1 , . . . , Xn независимы и имеют пуассоновское распределениеΠ(θ). Построить центральный доверительный интервал с коэффициентом доверия α,используя точечную оценку T (X) = X.Функция распределения T (X)τ2θ2 = X − √ .n26Задача №36. Пусть X1 , .

. . , Xn независимы и имеют гамма-распределение Γ(θ, 1).Построить равномерено наиболее мощный критерий размера α для проверки гипотезыH0 : θ=θ0 при альтернативе H1 : θ>θ0 . Найти функцию мощности.Критическая функция ϕ(X) =α = E θ0 ϕ(X) = 1 · Pθ0 (X(n)Мощность критерияεα =τ1θ1 = X − √ ,nτ2 −τ1Длину его θ2 −θ1 = √ нужно минимизировать при условииnα = P τ1 < G(X, θ) < τ2 = Φ(τ2 ) − Φ(τ1 ),где Φ(x) – функция распределения стандартного нормального закона.Применив метод множителей Лагранжа, получим τ2 = −τ1 = τ 1+α , где τ 1+α – кван22тиль порядка 1+αфункции Φ(x).2Итак, кратчайший доверительный интервал, основанный на центральной статистиτ 1+ατ 1+α ке G(X, θ), имеет вид X − √2 , X + √2 .nn0c0α −1α00 =Доверительный интервал имеет вид (θ1 , θ2 ), где37exp(−nθ)(nθ)k.k!Задача №39. Пусть X1 , . .

. , Xn независимы и имеют плотность распределения( exp −(x−θ) , x > θ,f (x, θ) =0,x ≤ θ.Построить наиболее мощный критерий размера α для проверки гипотезы H0 : θ=θ0при альтернативе H1 : θ=θ1 < θ0 . Найти мощность критерия.Решение. Для решения данной задачи воспользуемся леммой Неймана–Пирсона:nQexp(θ1 − Xi )IXi >θ1 I X(1) >θ1L1= i=1= exp n(θ1 −θ0 ) n > cα .QL0IX(1) >θ0exp(θ0 − Xi )IВозможны два случая:1.

εα = 1, мощностькритерия W (ϕ, θ1 ) = E θ1 ϕ(X) = 1;θ0 n, мощность критерия W (ϕ, θ1 ) = E θ1 ϕ(X) = εα Pθ1 (X(n) ≤ θ1 ) = εα . 2. εα = α·θ1Xi >θ0i=1ПосколькуРассмотрим следующее выражения для α: nX(n)θ1θ1= εα,≤α = E θ0 ϕ(X) = εα Pθ0θ0θ0θ0n n oθ0откуда εα = min α· θ1 ; 1 .(L1∞,X(1) ≤ θ0 ,=L0exp n(θ1 − θ0 ) , X(1) > θ0 ;то при X(1) ≤ θ0 иL1> cα для любого α критическая функция принимает видL0(1, X(1) ≤ θ0 ,ϕ(X) =εα , X(1) > θ0 .Отыщем εα :α = E θ0 ϕ(X) = 1 · Pθ0 X(1) ≤ θ0 + εα · Pθ0 X(1) > θ0 ) = 1 · 0 + εα · 1,откуда α = εα .Мощность критерияW (ϕ, θ1 ) = E θ1 ϕ(X) = Pθ1 X(1) ≤ θ0 + αPθ1 X(1) > θ0 ) =n Z +∞nZ +∞exp(θ1 −x) dx = 1 − (1−α) exp n(θ1 −θ0 ) .+αexp(θ1 −x) dx= 1−θ0θ0Задача №40.

Пусть X1 , . . . , Xn независимы и имеют равномерное распределение наотрезке [0, θ]. Построить наиболее мощный критерий размера α для проверки гипотезыH0 : θ=θ0 при альтернативе H1 : θ=θ1 < θ0 . Найти мощность критерия.Решение. Как и в предыдущих задачах, воспользуемся леммой Неймана–Пирсона(следует отметить, что поведение при X(1) <0 и X(n) > θ0 нас не интересует):nQ1 n I I0,X(n) > θ1 ,θ10≤Xi ≤θ1X(n) ≤θ1θ0L1n= i=1=n =  θ0 , X ≤ θ .QL0θ1 I1 1(n)X(n) ≤θ0Iθ1θ0i=10≤Xi ≤θ0Следовательно, критическая функция имеет вид(εα , X(n) ≤ θ1 ,ϕ(X) =0, X(n) > θ1 .3839.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)