Лекция по цепям Маркова (М.Л. Сердобольская) (1119984), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Это свойствов физике называют эргодичностью, и мы приходим к следующему определению.Если предельные вероятности существуют и отличны от нуля, то цепь Маркованазывается эргодической.Пример 1.1. Пусть 2s частиц, из которых s черных и s белых, размещены по sштук в два сосуда А и Б. В каждый момент времени t = 2, 3, . . . в каждом сосуденаугад выбирают по одной частице, после чего выбранные частицы меняют местами.Будем говорить, что ξn = i, если после обмена в момент времени t = n в сосуде Аоказалось ровно i белых частиц, n = 1, 2, .

. ., i = 0, 1, . . . , s. Найдем вероятностиперехода за один шаг в данной цепи Маркова.Пусть в момент времени t = n система находится в состоянии i. Тогда в сосуде Анаходятся i белых частиц и n − i черных частиц, а в сосуде Б наоборот — n − i белыхи i черных частиц. Найдем вероятности тех возможных состояний, которые могутиметь место после обмена частицами.1. Если мы обменяли белую частицу из сосуда А на черную частицу из сосуда Б,то в сосуде A окажется i − 1 белых частиц.

При этом вероятность вынуть белуючастицу из сосуда А равна i/s, а вероятность вынуть черную частицу из сосуда Бравна i/s. Таким образом, вероятность обмена белой частицы на черную равна(i/s) · (i/s).112. Вероятность обмена черной частицы из сосуда А на белую частицу из сосуда Б,есть (1−i/s)·(1−i/s), при этом после обмена в сосуде А окажется i+1 белых частиц.3.

Обмен частицами одного цвета (либо белого, либо черного) происходит, очевидно, с вероятностью (i/s) · (1 − i/s) + (1 − i/s) · (i/s), при этом число i белых частицв сосуде А остается неизменным.Формируем матрицу перехода. Для любых 0 6 i, j 6 s(i/s)2 ,j = i − 1,(1 − i/s)2 ,j = i + 1,.πij =2(i/s)(1−i/s),j=i,0,|j − i| > 1.Рассмотренный пример представляет модель смешивания двух несжимаемых жидкостей (модель Бернулли–Лапласа).Пример 1.2.

Показать, что в цепи Маркова события ξn−1 = xi и ξn+1 = xkнезависимы при условии, что произошло событие ξn = xj , т. е.P (ξn+1 = xk , ξn−1 = xi | ξn = xj ) = P (ξn+1 = xk | ξn = xj ) · P (ξn−1 = xi | ξn = xj ).Решение. Запишем цепочку простейших соотношенийP (ξn+1 = xk , ξn = xj , ξn−1 = xi )=P (ξn = xj )= xk | ξn = xj , ξn−1 = xi )P (ξn = xj | ξn−1 = xi )P (ξn = xj )=P (ξn = xj )P (ξn+1 = xk , ξn−1 = xi | ξn = xj ) ==P (ξn+1= P (ξn+1 = xk | ξn = xj )P (ξn−1 = xi | ξn = xj ).Говорят, что при фиксированном настоящем (т.

е. при фиксированном состоянии наn-м шаге) прошлое, (n−1)-й шаг, и будущее, (n+1)-й шаг, цепи Маркова независимы.Полезно сопоставить это факт с общей статистической зависимостью шагов цепиМаркова, если мы не фиксируем «настоящее» (см. замечание 1.2).12.

Характеристики

Список файлов лекций