И.С. Енюков, С.Б. Королёва - Факторный дискриминантный и кластерный анализ (1119914), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В основном коэффициенты ассоциативности были впервые определены в биологии, хотя, вероятно, некоторые, наиболее простые из них были найдены и в ряде других отраслей науки. Лишь небольшое число мер подверглось широкой проверке, многие вышли нз употребления из-за свойств сомнительного харак- тера. Более подробно об этом см, (Ьпеарп апб Ьока1, 1973; С!11(огб апд 3(ер(зепзоп, 1975; Ечегй1, 1980). Однако существуют три меры, которые широко используются и заслуживают специального рас- смотрения, Это — простой коэффициент совстречаемости, коэффи- циент Жаккара и коэффициент Гауэра. Простой коэффициент совстречаемостн имеет вид (а+4) (а+Ь+с+с) где 5 — сходство между двумя объектами, которое меняется в пре.
делах от 0 до 1. Как отмечают Сннт и Сокэл (1973), этот коэф- фициент нелегко преобразовать в метрику. Тем не менее большие усилия были направлены на то, чтобы установить приблизительные доверительные пределы, Один из небольшого числа таких методов отмечает Гудолл (1967). Этот коэффициент учитывает также и од- новремеп~ное отсутствие признака у обоих объектов (как указано з клетке с( матрицы ассоциативности). Коэффициент Жаккара, определенный следующим образом У = а((а+ Ь+ с), не учитывает одновременного отсутствия признака при вычислении сходства (клетка Ы не рассматривается). Подобно простому коэф- фициенту совстречаемости он изменяется от 0 до 1.
Коэффициент Жаккара широко применялся в биологии при необходимости рас- смотрения так называемых негативных пар (с одновременным от- сутствием признака). Как заметили биологи, используя простой коэффициент совстречаемости, некоторые объекты оказываются в значительной степени схожими главным образом за счет того, что нм обоим не свойственны некоторые признаки, а не за счет наличия общих характеристик. В противоположность этому коэффициент Жаккара принимает в расчет лишь те признаки, которые харак- терны хотя бы для одного из объектов. Во многих областях социологических наук не стоят вопрос об учете негативных пар, но такая проблема возникает в археологии Если предмет не был найден в захоронении, то его отсутствие мо- жет быть обусловлено либо культурными традициями, либо естест- 161 ПМН 1 0 РМН 1 1 1 0 2 4 Другими словами, эти объекты имеют только один общий предмет.
Однако четыре предмета отсутствуют в обоих захоронениях. Таким образом, 5=0,625 (=5/8). Тем не менее У = 0,250 ( = 1/4), Иначе говоря, в то время как простой коэффициент совстречаемости показывает, что объекты РМН и ПМН достаточно схожи, из величины коэффициента Жаккара следует, что такого сходства нет. Полная матрица сходства размерностью 6Х6 в случае простого коэффициента совстречаемости имеет внд РЖЭ ПМН ПЖЭ 0,500 0,625 0,625 0,375 0,625 — 0,500 РМН ВЖЭ 0,500 0,500 0,375 0,875 0,500 ВМЭ 0,500 0,250 0,625 о,625 РМН РЖЭ ПМН ПЖЭ ВМЭ ВЖЭ В случае коэффициента Жаккара мает следующий вид: РМН РЖЭ вЂ” 0 „000 полная матрица сходства принн- ПМН ПЖЭ 0,250 0,250 0,000 0,250 — 0,200 ВМЭ ВЖЭ О,ЗЗЗ 0,200 0,143 0,200 0,500 0,166 0,500 0,750 — 0,429 РМН РЖЭ ПМН ПЖЭ ВМЭ ВЖЭ 162 венными процессами распада и изнашивания.
Было бы неправильно давать оценку сходства двух захоронений исходя из отсутствия в ннх какого-то предмета, если невозможно узнать, какое из двух возможных объяснений действительно имеет место. Рассмотрим шесть точек из множества данных о захоронениях, чтобы кратко проиллюстрировать различия между простым коэффициентом совстречаемости и коэффициентом Жаккара: 1 Р М Н 1 О 0 1 0 0 0 0 5 Р Ж Э 0 0 1 0 0 0 ! 0 8 П М Н 0 1 0 1 1 0 0 0 !4 П Ж Э 1 0 0 0 ! 0 1 о !8 В М Э ! ! О ! ! О 24 В Ж Э 1 0 0 0 1 1 1 0 Возьмем объекты 1 (ребенок, мужской пол, неэлитарное общественное положение в РМН) и 8 (подросток, мужской пол, неэлитарное общественное положение — ПМН).
Матрица ассоциативности общих признаков для двух объектов размерностью 2Х2 имеет вид где (р!1» — весовая переменная, принимающая значение 1, если сравнение объектов по признаку й следует учитывать, и 'Π— в противном случае; 5па — «вклад» в сходство объектов, зависящий от того, учитывается ли признак й прн сравнении объектов ! и /. В случае бинарных признаков И7!1»=0, если признак й отсутствует у одного илн обоих сопоставляемых объектов (ЕчегВ1, 1980). Для так называемых негативных переменных 97па— - О, Понятно, что если все данные — двоичные, то коэффициент Гауэра сводится к коэффициенту Жаккара. Чтобы показать, как работает этот коэффициент, расширим множество данных о захоронениях, добавив два новых признака: рост (измеренный в сантиметрах; это количественная переменная) и величину энергетических затрат, связанных с погребением (измеренных по порядковой шкале с рангами 1„2 и 3 или соответственно низкие, средние и высокие).
Матрица сходства для четырех объектов примет вил 1 Р М Н 1 О О 1 О О О О 69 ! 7 П М Н 1 1 О 1 О О О О 167 2 18 В Ж Э ! 1 О 1 1 О ! ! 179 3 23 В М Э 1 О О О 1 1 ! ! !38 3 Для двоичных данных 5;м дующей системой подсчета: объект ! объект ! вычисляется в соответствии со сле- 1 1 О О 1 О 1 О акиак Зпа аес Ятпе 1 О О О 1 1 1 О !63 Как видим, эти матрицы довольно похожи. Например, они показывают, что объекты ПЖЭ, ВМЭ и ВЖЭ (недетские элитарные захоронения) имеют наибольшее сходство. Однако существуют н различия. Два детских захоронения (объекты РМН и РЖЭ) согласно коэффициенту Жаккара совсем не имеют сходства, но, судя по простому коэффициенту совстречаемости, онн сравительно похожи.
Другой характерной чертой этих матриц является число «совпадений». В случае простого коэффициента совстречаемости имеется пять пар объектов, для которых 5=0,625, и пять пар, для которых 5 0,500. На самом деле среди пятнадцати клеток матрицы сходства размерностью 6Х6 только в пяти есть неповторяющиеся значения 5.
Как мы позже покажем, некоторые кластерные методы не годятся для матриц сходства, у которых так много «совпадений». Коэффициент Гауэра — единственный в своем роде, так как при оценке сходства допускает одновременное использование переменных, измеренных по различным шкалам. Коэффициент был предло. жен Гауэром (1971) и имеет вид р р зп= Е 5!!а/2: )Ром а=! а=! Для порядковых данных Ьг7ь равно 1, если сравниваемые значения равны, и 0 — в противном случае. Наконец, для количественных данных имеет место уравнение Япь = 1 — 1 х~ь — х1ь (/17м где хел — значение й-й переменной для объекта й а 77ь — размах значений этой переменной (разность между максимальным и минимальным значениями).
В результате итоговую матрицу сходства для четырех объектов можно представить как РМН ПМН ВМЭ 0,527 0,285 0,554 ВЖЭ 0,170 0,232 0,726 РМН ПМН ВМЭ ВЖЭ Кроме возможности работать с разнотипными данными, у коэффициента есть еше несколько привлекательных особенностей.
Например то, что его метрические свойства и гибкость дают возможность после простого изменения системы бинарных весов при оценке сходства учитывать и негативные пары. К сожалению, коэффициент Гауэра можно редко найти в пакетах прикладных программ по кластерному анализу, так как он практически не применяется в области социальных наук.
Вероятностные коэффициенты сходства БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ Обсуждение коэффициентов сходства, используемых в кластерном анализе, проводится в работах Снита и Сокэла (1973), Клиффорда и Стефенсона (1975). Там же можно найти формулы для вычисления некоторых обсуждаемых мер. 164 Радикальное отличие коэффициентов этого типа от описанных выше заключается в том, что, по сути дела, сходство между двумя объектами не вычисляется.
Вместо этого мера такого типа прилагается непосредственно к исходным данным до их обработки. При образовании кластеров вычисляется информационный выигрыш (по определению Шеннона) от объединения двух объектов, а затем те объединения, которые дают минимальный выигрыш, рассматриваются как один объект.
Другой особенностью вероятностных мер является то, что они пригодны лишь для бинарных данных. До сих пор не было разработано ни одной схемы использования меры этого вида для качественных и количественных переменных. Вероятностные коэффициенты сходства еше не нашли своего применения в социальных науках, но уже в течение десятилетия ими широко пользуются специалисты по численной таксопомин и экологии.
Более подробно об этом см. (Ьпеа(п апд Бока!, 1973; СНПогб апб 51ер)1епзоп, 1975). Более широко теоретические вопросы, связанные со сходством, рассматриваются в работах Хартигана (1967) и Тверски (1977). Обсуждение Скиннером (1978) формы, поднятия и рассеяния очень важно для многих применений мер сходства в социальных исследованиях. Последние три работы важны потому, что понятие сходства играет главную роль в формировании кластеров. Обычно кластеры определяются как группы сходных объектов. Хотя во многих приложениях кластерного анализа особое значение придается процедуре формирования кластеров, все же выбор меры сходства является решающим моментом в исследованиях, использующих кластерный анализ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
