Д. Кнут - Искусство программирования том 2 (3-е издание) - 2001 (Часть 1) (1119452), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При решении более сложных математических задач вавилонские математики широко использовали шестидесятеричную (по основанию шестьдесят) позиционную систему, достаточно хорошо разработанную к 1750 г. до н. э, Эта числовая система была уникальной в том смысле, что она фактически была формой представления с плаваюн4ей гаечкой с опущенным показателем степени; соответствующий масштабный множитель, или степень шестидесяти, определялся из контекста, так что, например, числа 2, 120, 7200. зо и т. д. записывались одинаково.
Особенно удобно было пользоваться этой системой для умножения и деления при помощи вспомогательных таблиц, поскольку выравнивание порядков никак не влияло на ответ. Примером такой вавилонской системы записи может служить выписка из древних таблиц кКвадрат 30 есть 15е (что можно прочесть, как "Квадрат 1 есть -'": "Число, обратное 81 = (1 21)ео, равно (44 26 40)ео", "Квадрат этого числа равен (32 55 18 31 6 40)еок). У вавилонян был символ для обозначения нуля, но из-за их идеологии обращения с плавающей точкой он использовался между цифрами, но никогда — в крайней справа позиции для обозначения масштаба. Об интересной истории ранней вавилонской математики можно прочесть в книгах О. зепйеЬапег, ТЬе Ехасг Яс1епсез 1п .4пг19и1гу (Рйпсесоп, Н.
1д РПпсегоп Ншоегягу Ргееэ, 1952), В. Ь. уап дег 1Раегс(еп, Яс!енсе Ана(сеп1пя, переведенной на английский А. Дрезденом (А. ПгеЫеп) (Огоп!пйеп: Р. ХоогйЬоН, 1954)', а также П. Е. КпнгЬ, САСМ 15 (1972), 671-677; 19 (1976), 108. Позиционная система с фиксированной точкой, очевидно, впервые появилась в Пентральной Америке у' индейцев Майя около 2 000 лет тому назад. Ик система счисления по основанию двадцать была достаточно хорошо продуманной, особенно если учесть потребности в записи астрономических наблюдений и календарных дат.
Индейцы Центральной Америки ввели в употребление письменный знак лля нуля около 200 г. н. э. Однако испанские завоеватели уничтожили почти все книги Майя по истории и науке, поэтому нам трудно судить об уровне абстракции, достигнутолс аборигенами Америки в арифметике. Были найдены таблицы умножения специального назначения, но не обнаружено никаких примеров по делению, (См. Л. Ег!с 8. ТЬоплрзоп, Соотг!ЬиНопз го Ашег. АпгЬгоро1ойу апс1 ННгогу 7 (Сагпе81е 1пэц о( 1з'акМпйлоп, 1941), 37-67; Л. Лпзлезоп, "Апс!спи Мекоашепсап согпрнйпй ргасбсеэ", НЫсогу ог" Яаепсе 3 (Ноше: 1511гнго де11а Епс1с(оре61а 1гайапа), в печати.) За несколько столетий до новой эры греки применяли для своих вычислений раннюю разновидность счетной доски (абаки), используя песок и/или гальку на доске с начерченными строками и столбцами, которые естественным образом соответствуют нашей десятичной системе.
Нам, привыкшим выполнять расчеты при полющи карандаша и булсаги, скорее всего, покажется странным, что тот же позиционный принцип никогда не применялся ими для записи чисел, ведь мы так к нему * Инеетск русский перевод книги: В. Л, Ван дер Варден, Пробуждаюгдадсн наука, Фнзматгнз, 1959. — Прела, нерее. привыкли. Но ббльшая простота вычислений на абаке (писать тогда умели далеко не все; кроме того, вычисления на абаке делали ненужным запоминание таблиц сложения и умножения), вероятно, привела греков к убеждению, что нелепо даже предполагать, что вычисления удобнее выполнять, 'царапая на бумаге".
В то же время греческие астрономы для записи дробей использовали шестндесятеричную систему счисления, чему они научились у вавилонян. Привычная нам десятичная система, отличающаяся от более ранних форм прежде всего наличием фиксированной разделяющей точки, а также использованием символа нуля для обозначения пустой позиции, впервые появилась в 1! ндии. Точная дата возникновения этой системы неизвестна, но есть основания полагать, что это произошло около 6 в. н.
э. Индусская наука того времени достигла довольно высокого уровня развития, в частности это относится к астрономии. В наиболее ранних известных индийских манускриптах, в которых применяется десятичная система, числа записываются в обратном порядке (с наиболее значимой цифрой справа), но позднее стало правилом расположение наиболее значимой цифры слева. Около 750 г. н.
э. на арабский язык было переведено несколько важных работ индусских математиков, и принципы десятичной арифметики таким образом попали в Персию. Живописное описание этого периода можно найти в древнееврейской рукописи Абрахама Ибн Эзра (АЪгаЬаш !Ьп Езга), перевод которой на английский язык опубликован в журнале АММ 25 (1918), 99-108. Вскоре после этого альХорезми написал на арабском языке свое руководство, (Как отмечалось в главе 1, слово "алгоритм" произошло от его имени.) Книга аль-Хорезми была переведена на латынь н оказала значительное влияние на Леонардо Пизано (Фнбоначчи) (1еопагг(о Р1запо (Е!Ьопасс!)), чья книга по арифметике (1202 г.), в свою очередь, сыграла решающую роль в распространении индо-арабских методов работы с числами в Европе. Интересно отметить, что в результате такого двойного перевода порядок записи чисел (слева направо) не изменился, хотя арабы пишут справа налево, а индусы и европейцы — слева направо, Подробно процесс распространения десятичной нумерации и арифметики по всей Европе с 1200 по 1600 год описан в книге Павий Еийепе 8ш!гЬ В3агогу оГ Магйешабсз 1 (Возгоп: С1пп апб Со., 1923), гл.
6 и 8. Вначале десятичная система счисления применялась только к целым числам (для операций с дробями она не использовалась). Арабские астрономы. которым для составления карт звездного неба и других астрономических таблиц приходилось применять дроби, продолжали пользоваться системой знаменитого греческого астронома Птолемея, основанной на шестидесятеричных дробях. Эта система единиц— рудимент шестидесятеричной системы вавилонян — дожила до наших дней и используется для измерения угловых градусов, минут и секунд, а также для некоторых единиц измерения времени.
Использовались первыми европейскими математиками и шестидесятеричные дроби, когда приходилось иметь дело с иецелыми числами. К примеру, Фибоначчи приводил значение 1' 22' 7" 42'" 33»» 4 40»' в качестве приближенного корня уравнения хз+ 2хт+ 10х = 20. (Правильный ответ: 1' 22' 7" 42»л 33»» 4" 38"' 30»п 50"" 15'х 43х ) Кажется, не так уж много нужно изменить, чтобы использовать десятичные обозначения для десятых, сотых и других угловых и временных параметров, но, конечно, ломать традиции всегда трудно, тем более что шестидесятеричные дроби имеют преимущество перед десятичными дробями в том, что такие числа, как —, ! могут быть записаны точно и просто. Китайские математики — кстати, никогда не пользовавшиеся шестидесятеричной систелюй, — вероятно, были первыми, кто стал работать с величинами, эквивалентными десятичным дробям, хотя их числовая система (без нуля) и не была в строгом смысле позиционной.
Китайские единицы мер и весов были десятичными, так что Цзу Чун-Чи (умер в 501 г.) смог аппроксимировать число х в следующем виде: 3 чана, 1 чжи, 4 луня, 1 фэн, 5 ли, 9 хао, 2 мяо, 7 ху. Здесь чан, ..., ху — единицы длины; 1 ху (диаметр шелковой нити) равен 1(10 мяо и т. д. Использование дробей, столь похожих на десятичные, получило в Китае довольно широкое распространение после примерно 1250 года.
Начальная форма истинно десятичных дробей появилась в 10 веке в трактате по арифметике, написанном в Дамаске неизвестным математиком, который подписался именем валь-Уклидисие (последователь Евклида). Он ввел обозначение места размещения десятичной точки, в частности в связи с проблемой умножения 135 на (1.1)" для 1 < и < 5. (См. А. 8.
Яшт)ап, ТЬе АП1ИтеНс оу а)-174ИЫ (Рогс$гесЬм В. Бе1к1е!, 1975), 110, П4, 343, 355, 481-485.) Но аль-Уклидиси не развил идею до конца, и его трактат вскоре был забыт. Из датированного 1172 годом трактата аль-Самайяля, который жил и работал в Багдаде и Баку, следует, что ему был известен способ вычисления т/ГО = 3.162277..., но он не нашел подходящего способа записи результата. Через несколько столетий десятичные дроби были заново открыты арабским (среднеазиатским) математиком аль-Каши, умершим в 1429 году*. Аль-Каши был весьма искусен в выполнении всяческих вычислений и нашел следующее значение для 2х, содержащее 16 правильных десятичных знаков. Это было наилучшее приближение к я до тех пор, пока Лудольф ван Цейлен (Ьце(о1рЬ оан Сен1еп), выполнив в течение 1596 — 1610 годов огромный объем работ, не вычислил 35 десятичных знаков.
Самый ранний пример операций с десятичными дробями в Европе обнаружен в одном тексте, написанном в 15 веке, где, например, 153.5 умножается на 16.25 и в ответе получается 2494.375, Используемый при этом метод был назван "турецким". В 1525 году Кристоф Рудольф (СЬПэго( Ннг(о117) из Германии самостоятельно открыл десятичные дроби, но, как и работа аль-Уклидиси, его работа осталась практически незамеченной. Франсуа Виет (Ргапчогэ У1ете) эту идею высказал снова в 1579 году. Наконец, в 1585 году приобрел популярность трактат по арифметике, написанный Симоном Стевином (8!пюп 81ео1п) из Бельгии, который самостоятельно пришел к идее десятичных дробей.
Работа Стевина и последовавшее вскоре открытие логарифмов привели к тому, что в течение 17 века десятичные дроби стали общепринятыми повсюду в Европе. (Подробности и ссылки на литературу можно е В ВСЭ приведен другой год смерти — около 1436-1437.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
