Вопросы к экзамену (1113175)
Текст из файла
Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — М. В. ЗайцевII семестр, 2004 г.1. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность.2. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при замене базиса. Изоморфизмпространств одинаковой размерности.3. Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.
Размерность суммы и пересечения подпространств.4. Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм. Критерий линейной независимости векторов.5. Задание подпространств линейной однородной системой уравнений.6. Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.
Критерий инъективности.7. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.8. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.9. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.10. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.11. Спектр оператора.
Критерии диагонализируемости линейного оператора.12. Минимальный многочлен, его существование и единственность.13. Теорема Гамильтона – Кэли и ее следствия.14. Разложение пространства в сумму корневых подпространств.15. Нормальный базис для нильпотентного оператора.16. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной матрицы.17. Единственность жордановой нормальной формы.18. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса. Канонический базис для симметрической билинейной формы.19.
Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. АлгоритмЛагранжа.20. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.21. Теорема Якоби. Критерии Сильвестра.22. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.23. Евклидово пространство. Неравенство Коши – Буняковского и его следствия.24. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.25. Процесс ортогонализации Грамма – Шмидта. Ортогональное дополнение.26.
Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.27. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.28. Ортогональный оператор и его канонический базис.29. Полярное разложение линейного оператора.30. Унитарное пространство, существование ортонормированного базиса, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.31. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид.32.
Аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах координат.33. Подпространства в аффинном пространстве и их пересечение. Задание подпространств системами линейных уравнений.34. Евклидовы пространства, расстояние от точки до плоскости.135. Расстояние между плоскостями в евклидовом пространстве. Определитель Грама и объем параллелепипеда.36.
Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной фиксированную точку.37. Движения евклидова пространства, их представление в виде произведения сдвига и движения с неподвижной точкой.38. Классификация движений в двумерном и трехмерном пространствах.39. Квадратичные функции в аффинном пространстве, их центральные точки, канонический вид.40. Квадрики в аффинном пространстве. Единственность уравнения, задающего квадрику.41.
Центр квадрики и центральные точки квадратичной функции.42. Понятие тензора, тензоры малых рангов, произведение тензоров. Базис и размерность пространства тензоров типа (p, q).43. Изменение координат тензора при замене базиса.44. Свертка тензора, ее координаты.45. Симметризация и альтернирование тензоров.46. Тензорная алгебра. Внешняя алгебра векторного пространства.47.
Базис и размерность внешней алгебры векторного пространства.48. Связь внешнего произведения с определителем.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
