Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. , aN —коэффициенты полинома F . Будем говорить, что F̃ — продолжение полинома F на мноNPak xk при x ∈ K.жество K, если: F̃ (x) =k=04.4. Характеристический полином линейного оператора31Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, dim(L) 6= 0.Пусть: F1 — полином на множестве K, F̃1 — продолжение полинома F1 на множествоLin(L, L), F2 — полином на множестве K, F̃2 — продолжение полинома F2 на множествоLin(L, L). Тогда F̃1 + F˜2 — продолжение полинома F1 + F2 на множество Lin(L, L).Пусть: λ ∈ K, F — полином на множестве K, F̃ — продолжение полинома F на множество Lin(L, L). Тогда λF̃ — продолжение полинома λF на множество Lin(L, L).Пусть: F1 — полином на множестве K, F̃1 — продолжение полинома F1 на множествоLin(L, L), F2 — полином на множестве K, F̃2 — продолжение полинома F2 на множествоLin(L, L).
Тогда F̃1 F˜2 — продолжение полинома F1 F2 на множество Lin(L, L).Пусть F — полином на множестве K. Функция F̃ является продолжением полинома Fна множество Lin(L, L) тогда и только тогда, когда: F̃ — полином на множестве Lin(L, L),F̃ (xI) = F (x)I при x ∈ K.4.4. Характеристический полином линейного оператораОпределение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, Ã ∈ KN ×N .Пусть m = 1, N . Обозначим: Xm,0 (Ã) = Ãm , Xm,1 (Ã) = I˜m (здесь I˜ — единичнаяматрица из множества KN ×N ).Обозначим через µN множество всех функций σ, удовлетворяющих условию:σ : {1, . . . , N } =⇒ {0, 1}.Пусть k = 0, N . Обозначим через µN,k множество всех функций σ, удовлетворяющихусловиям: σ ∈ µN , σ(1) + · · · + σ(N ) = k. Обозначим:Xαk (Ã) = (−1)kdet X1,σ(1) (Ã), . .
. , XN,σ(N ) (Ã) .σ∈µN,k˜ =Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, Ã ∈ KN ×N , λ ∈ K. Тогда det(Ã − λI)NPαk (Ã)λk .k=0Доказательство. Очевидно:˜ = det Ã1 + (−λ)I˜1 , . . . , ÃN + (−λ)I˜N =det(Ã − λI)Xdet X1,σ(1) (Ã), . . . , XN,σ(N ) (Ã) (−λ)σ(1)+···+σ(N ) ==σ∈µN=NXXk=0 σ∈µN,kNX=(−1)kk=0 Xdet X1,σ(1) (Ã), . . . , XN,σ(N ) (Ã) (−λ)k =det X1,σ(1) (Ã), . . . , XN,σ(N ) (Ã)σ∈µN,kkλ =NXαk (Ã)λk .k=0Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, Ã ∈ KN ×N . Очевидно:α0 (Ã) = det(Ã1 , . .
. , ÃN ) = det(Ã);αN −1 (Ã) = (−1)N −1NXdet(I˜1 , . . . , I˜m−1 , Ãm , I˜m+1 , . . . , I˜N ) = (−1)N −1NXm=1m=1N −1= (−1)tr(Ã);˜ = (−1)N .αN (Ã) = (−1) det(I˜1 , . . . , I˜N ) = (−1)N det(I)NÃmm =324. Собственные значения и собственные векторы линейного оператораЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), e — базис пространства L, Ã = [A](e).Обозначим: FA (λ) = det(A − λI) при λ ∈ K. Пусть λ ∈ K. Тогда:˜ =FA (λ) = det(A − λI) = det [A − λI](e) = det(Ã − λI)NXαk (Ã)λk .k=0Так как: αN (Ã) = (−1)N 6= 0, то: FA — полином на множестве K, deg(FA ) = N . Обозначимчерез a0 (A), . .
. , aN (A) коэффициенты полинома FA . Тогда:ak (A) = αk (Ã), k = 0, N ;a0 (A) = α0 (Ã) = det(Ã) = det(A);aN −1 (A) = αN −1 (Ã) = (−1)N −1 tr(Ã) = (−1)N −1 tr(A);aN (A) = αN (Ã) = (−1)N .Будем говорить, что FA — характеристический полином оператора A.Обозначим через F̃A продолжение полинома FA на множество C. Пусть λ ∈ C. Тогда:F̃A (λ) =NXkak (A)λ =k=0NXk=0˜αk (Ã)λk = det(Ã − λI).Обозначим через F̂A продолжение полинома FA на Lin(L, L).
Пусть B ∈ Lin(L, L).Тогда:F̂A (B) =NXk=0ak (A)B k =NXαk (Ã)B k .k=0Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), e — базис пространства L, Ã = [A](e).Очевидно:o nSD(A) = λ : λ ∈ K ∧ ker(A − λI) 6= {θ} = λ : λ ∈ K ∧ det [A − λI](e) = 0 == λ : λ ∈ K ∧ FA (λ) = 0 = ker(FA ).Пусть: λ ∈ C, λ ∈/ ker(F̃A ). Обозначим, mA (λ) = 0.
Пусть λ ∈ ker(F̃A ). Обозначим черезmA (λ) кратность числа λ как корня полинома F̃A . Тогда mA (λ) = 1, N . Пусть λ ∈ ker(FA ).Тогда mA (λ) — кратность числа λ как корня полинома FA . Будем говорить, что mA (λ) —алгебраическая кратность собственного значения λ.Так как: N 6= 0, deg(F̃A ) = N , то: ker(F̃A ) — конечное множество, card ker(F̃A ) 6 N .PmA (λ) 6 N .Пусть ker(F̃A ) 6= ∅. Так как: N 6= 0, deg(F̃A ) = N , тоλ∈ker(F̃A )Пусть C — алгебраически замкнутоеPполе. Так как: F̃A — полином на множествеC, N 6= 0, deg(F̃A ) = N , то: ker(F̃A ) 6= ∅,mA (λ) = N .λ∈ker(F̃A )Так как: N 6= 0, deg(FA ) = N , то: ker(FA ) — конечное множество,cardker(F)6 N.APПусть ker(FA ) 6= ∅.
Так как: N 6= 0, deg(FA ) = N , тоmA (λ) 6 N .λ∈ker(FA )Пусть: C — алгебраически замкнутое поле, ker(F̃A ) ⊆ K. Тогда:P ker(F̃A ) 6= ∅,PmA (λ) = N , ker(FA ) = ker(F̃A ). Следовательно: ker(FA ) 6= ∅,mA (λ) = N .λ∈ker(F̃A )λ∈ker(FA )4.4. Характеристический полином линейного оператора33Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), λ0 — собственное значение оператора A.
Тогда gA (λ0 ) 6mA (λ0 ).Доказательство. Обозначим: H = HA (λ0 ), g = gA (λ0 ), m = mA (λ0 ). Очевидно, g = 1, N .Так как: g ∈ N, dim(H) = g, то существуют векторы e1 , . . . , eg , удовлетворяющие условиям:e1 , . . . , eg ∈ H, e1 , . . . , eg — линейно независимые векторы.Пусть g = N . Так как: e1 , . .
. , eg — линейно независимые векторы пространства L,dim(L) = N = g, то e1 , . . . , eg — базис пространства L. Обозначим, Ã = [A](e). Так какe1 , . . . , eg ∈ H, то: Ãji = λ0 δij при i, j = 1, g. Пусть λ ∈ K. Тогда:˜ = (λ0 − λ)g .FA (λ) = det(Ã − λI)Следовательно, m = g.Пусть g 6= N . Так как: e1 , . . . , eg — линейно независимые векторы пространства L, N ∈N, dim(L) = N , g < N , то существуют векторы eg+1 , . . .
, eN , удовлетворяющие условию:e1 , . . . , eN — базис пространства L. Обозначим, Ã = [A](e). Так как e1 , . . . , eg ∈ H, то:Ãji = λ0 δij при: i = 1, g, j = 1, N . Пусть λ ∈ K. Тогда:˜ = (λ0 − λ)g det {Ãg+j − λδ g+j }j=1,N −g .FA (λ) = det(Ã − λI)g+ig+i i=1,N −gСледовательно, m > g.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; r ∈ N, Qk — подпространство пространства L, Nk ∈ N, dim(Qk ) = Nk приk = 1, r; Q1 , .
. . , Qr — линейно независимые подпространства. Справедливы утверждения:1. Q1 + · · · + Qr = L ⇐⇒ N1 + · · · + Nr = N ;2. Q1 + · · · + Qr = L тогда и только тогда, когда существуют векторы e1 , . . . , eN ,удовлетворяющие условиям: e1 , . . . , eN — базис пространства L, e1 , . . .
, eN ∈ Q1 ∪ · · · ∪ Qr .Доказательство.1. Пусть Q1 +· · ·+Qr = L. Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства,то:N1 + · · · + Nr = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ) = dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(L) = N.то:Пусть N1 +· · ·+Nr = N . Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства,dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ) = N1 + · · · + Nr = N.Так как: Q1 + · · · + Qr — подпространство пространства L, N 6= +∞, dim(L) = N , тоQ1 + · · · + Qr = L.2. Пусть Q1 + · · · + Qr = L. Пусть k = 1, r. Так как: Nk ∈ N, dim(Qk ) = Nk ,то существуют векторы ek,1 , . .
. , ek,Nk , удовлетворяющие условию: ek,1 , . . . , ek,Nk — базисподпространства Qk . Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства, тоe1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — базис подпространства Q1 +· · ·+Qr . Так как Q1 +· · ·+Qr =L, то e1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — базис пространства L. Пусть: k = 1, r, m = 1, Nk .Так как ek,m ∈ Qk , то ek,m ∈ Q1 ∪ · · · ∪ Qr .Пусть: e1 , . .
. , eN — базис пространства L, e1 , . . . , eN ∈ Q1 ∪· · ·∪Qr . Тогда: e1 , . . . , eN —базис пространства L, e1 , . . . , eN ∈ Q1 + · · · + Qr . Следовательно: L = L(e1 , . . . , eN ) ⊆Q1 + · · · + Qr . Так как Q1 + · · · + Qr ⊆ L, то Q1 + · · · + Qr = L.344. Собственные значения и собственные векторы линейного оператораУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).1. Пусть:C — алгебраическизамкнутое поле, ker(F̃A ) ⊆ K, ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) =PmA (λ) . Тогда: SD(A) 6= ∅,HA (λ) = L.λ∈SD(A)P2. Пусть: SD(A) 6= ∅,HA (λ) = L. Тогда: ker(F̃A ) ⊆ K, ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) =λ∈SD(A)mA (λ) .Доказательство.1.
Так как: C — алгебраически замкнутое поле, ker(F̃A ) ⊆ K, то:PP SD(A) 6= ∅,mA (λ) = N . Так как ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) = mA (λ) , то: SD(A) 6= ∅,gA (λ) = N .λ∈SD(A)λ∈SD(A)PТогда: SD(A) 6= ∅,HA (λ) = L.λ∈SD(A)PP2. Так как: SD(A) 6= ∅,HA (λ) = L, то: SD(A) 6= ∅,gA (λ) = N .λ∈SD(A)λ∈SD(A)Предположим, что существует число λ0 , удовлетворяющее условиям: λ0 ∈ ker(F̃A ),λ0 ∈/ K. Тогда: λ0 ∈ ker(F̃A ), λ0 ∈/ SD(A).
Следовательно:XXXmA (λ) 6 NgA (λ) 6mA (λ) <λ∈SD(A)λ∈SD(A)P(что противоречит утверждениюλ∈SD(A)λ∈ker(F̃A )gA (λ) = N ). Итак, ker(F̃A ) ⊆ K.Предположим, что существует число λ0 , удовлетворяющее условиям: λ0 ∈ SD(A),gA (λ0 ) 6= mA (λ0 ). Тогда:XXgA (λ) <mA (λ) 6 Nλ∈SD(A)(что противоречит утверждениюλ∈SD(A)Pλ∈SD(A)gA (λ) = N ). Итак, ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) = mA (λ) .Теорема (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L). Тогда F̂A (A) = Θ.Доказательство. Пусть: e — базис пространства L, Ã = [A](e).k˜ при λ ∈ K. Тогда M k —Пусть k, i = 1, N . Обозначим: Mik (λ) = (−1)k+i ∆i (Ã − λI)iполином на множестве K.
Обозначим через M̂ik продолжение полинома Mik на множествоLin(L, L).Пусть: k, j = 1, N , λ ∈ K. Обозначим:˜1(Ã − λI)...˜ k−1 (Ã − λI)˜ j .Q=(Ã−λI)(Ã − λI)˜ k+1 ...N˜(Ã − λI)4.4. Характеристический полином линейного оператора35Тогда:δkj FA (λ)NNXXkk+i kk˜ Ã − λI)˜j== det(Q) =(−1) ∆i (Q)Qi =(−1)k+i ∆i (Ã − λI)(ii=1=NXi=1i=1Mik (λ)(Ãji − λδij ) =NXi=1Mik (λ)(Ãji λ0 − δij λ1 ).Пусть: k, j = 1, N , B ∈ Lin(L, L). Тогда:δkj F̂A (B)=NXM̂ik (B)(Ãji B 0i=1−δij B 1 )=NXi=1M̂ik (B)(Ãji I − δij B).Пусть i = 1, N . Тогда:(Ãji I − δij A)ej = Ãji I(ej ) − δij A(ej ) = Ãji ej − Aei = θ.Пусть k = 1, N . Тогда:F̂A (A)ek =δkj F̂A (A)ej =XNi=1M̂ik (A)(Ãji I−δij A)ej =NXi=1M̂ik (A) (Ãji I − δij A)ej = θ.Пусть x ∈ L. Тогда:Итак, F̂A (A) = Θ.F̂A (A)x = F̂A (A) [x]k (e)ek = [x]k (e)F̂A (A)(ek ) = θ.365.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
