Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда:(A − λI)x = Ax − λI(x) = Ax − λx.Очевидно: ker(A − λI) = x : x ∈ D(A − λI) ∧ (A − λI)x = θ = x : x ∈ D(A) ∧ Ax − λx = θ == x : x ∈ D(A) ∧ Ax = λx .Обозначим: HA (λ) = ker(A − λI), gA (λ) = dim ker(A − λI) .2. Пусть λ1 , λ2 ∈ K. Тогда ker(A − λ2 I) — инвариантное подпространство оператораA − λ1 I.Очевидно: ker(A − λ2 I) — подпространство пространства L,ker(A − λ2 I) ⊆ D(A − λ2 I) = D(A) = D(A − λ1 I).Пусть x ∈ ker(A − λ2 I). Тогда Ax = λ2 x. Следовательно:(A − λ1 I)x = Ax − λ1 x = λ2 x − λ1 x = (λ2 − λ1 )x ∈ ker(A − λ2 I).Определение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; A ∈ lin(L, L).1. Будем говорить, что λ — регулярная точка оператора A, если: λ ∈ K, ker(A − λI) ={θ}, R(A − λI) = L.2. Будем говорить, что λ — точка спектра оператора A, если: λ ∈ K, ker(A − λI) 6={θ} ∨ R(A − λI) 6= L.3. Будем говорить, что λ — точка непрерывного спектра оператора A, если: λ ∈ K,ker(A − λI) = {θ}, R(A − λI) 6= L. Обозначим через SC(A) множество всех точек непрерывного спектра оператора A.4.
Будем говорить, что λ — собственное значение оператора A (λ — точка дискретногоспектра оператора A), если: λ ∈ K, ker(A − λI) 6= {θ}. Обозначим через SD(A) множество284. Собственные значения и собственные векторы линейного операторавсех собственных значений оператора A. Очевидно, λ является собственным значениемоператора A тогда и только тогда, когда:λ ∈ K, ∃x x ∈ ker(A − λI) ∧ x 6= θ ;λ ∈ K, ∃x x ∈ D(A) ∧ Ax − λx = θ ∧ x 6= θ ;λ ∈ K, ∃x x ∈ D(A) ∧ Ax = λx ∧ x 6= θ .5. Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что x — собственныйвектор оператора A, соответствующий собственному значению λ, если: x ∈ ker(A − λI),x 6= θ.
Очевидно, x является собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению λ, тогда и только тогда, когда:x ∈ D(A), Ax − λx = θ, x 6= θ;x ∈ D(A), Ax = λx, x 6= θ.6. Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что ker(A − λI) —собственное подпространство оператора A, соответствующее собственному значению λ.7. Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что dim ker(A−λI) —геометрическая кратность собственного значения λ. Очевидно, dim ker(A − λI) ∈ N.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, dim(L) 6= +∞;A ∈ Lin(L, L).
Тогда SC(A) = ∅.Предположим, что SC(A) 6= ∅. Тогда существует число λ, удовлетворяющее условиюλ ∈ SC(A). Следовательно: λ ∈ K, ker(A − λI) = {θ}, R(A − λI) 6= L. Согласно 1-й теоремеФредгольма, так как: dim(L) 6= +∞, A−λI ∈ Lin(L, L), ker(A−λI) = {θ}, то R(A−λI) = L.Итак, SC(A) = ∅.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), e — базис пространства L, Ã = [A](e), i = 1, N , λ ∈ K.Справедливо утверждение: ei ∈ ker(A − λI) тогда и только тогда, когда: Ãji = λδij приj = 1, N .Пусть ei ∈ ker(A − λI). Тогда Aei = λei .
Следовательно: Ãji = [Aei ]j (e) = [λei ]j (e) =λ[ei ]j (e) = λδij при j = 1, N .Пусть: Ãji = λδij при j = 1, N . Тогда: Aei = Ãji ej = (λδij )ej = λei . Следовательно,ei ∈ ker(A − λI).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; A ∈lin(L, L), r ∈ N, λ1 , . . . , λr — различные собственные значения оператора A, H1 , . . . , Hr —соответствующие собственные подпространства. Тогда H1 , .
. . , Hr — линейно независимые подпространства.Доказательство. Докажем утверждение, используя индукцию. Очевидно, утверждениесправедливо при r = 1.Пусть: r0 ∈ N, утверждение справедливо при r = r0 . Рассмотрим утверждение приrP0 +1r = r0 + 1. Пусть: x1 ∈ H1 , . . . , xr0 +1 ∈ Hr0 +1 ,xk = θ. Тогда:k=1(A − λr0 +1 I)rX0 +1k=1xk = (A − λr0 +1 I)θ,4.3. Общие сведения о полиномах29r0Xk=1(λk − λr0 +1 )xk = θ.Так как H1 , . . . , Hr0 — линейно независимые подпространства, то: (λk − λr0 +1 )xk = θ приrP0 +1k = 1, r0 .
Так как: λk 6= λr0 +1 при k = 1, r0 , то: xk = θ при k = 1, r0 . Так какxk = θ, тоk=1xr0 +1 = θ.4.3. Общие сведения о полиномахОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z+ , a0 , . . . , aN ∈ K, N 6= 0 =⇒ aN 6= 0,NPak xk при x ∈ K. Очевидно, F : K =⇒ K. Будем говорить, что: F — полином наF (x) =k=0множестве K, N — степень полинома F , a0 , . . . , aN — коэффициенты полинома F .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z+ , a0 , . .
. , aN ∈ K, b0 , . . . , bN ∈ K, Q ⊆ K,NNPPbk xk при x ∈ Q. Тогда: ak = bk при k = 0, N .ak x k =Q — бесконечное множество,k=0k=0Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 ∈ Z+ , a0 , . . . , aN1 ∈ K, N1 6= 0 =⇒ aN1 6= 0,N2 ∈ Z+ , b0 , . . . , bN2 ∈ K, N2 6= 0 =⇒ bN2 6= 0, Q ⊆ K, Q — бесконечное множество,N1N2PPak x k =bk xk при x ∈ Q. Тогда: N1 = N2 , ak = bk при k = 0, N1 .k=1k=0Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; F — полином на множестве K, N — степень полиномаF . Обозначим, deg(F ) = N .Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, dim(L) 6= 0;NPN ∈ Z+ , a0 , . .
. , aN ∈ K, N 6= 0 =⇒ aN 6= 0, F (A) =ak Ak при A ∈ Lin(L, L). Очевидно,k=0F : Lin(L, L) =⇒ Lin(L, L). Будем говорить, что: F — полином на множестве Lin(L, L),N — степень полинома F , a0 , . . . , aN — коэффициенты полинома F .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K,NNPPbk Ak при A ∈ Lin(L, L).ak Ak =dim(L) 6= 0; N ∈ Z+ , a0 , . .
. , aN ∈ K, b0 , . . . , bN ∈ K,k=0k=0Тогда: ak = bk при k = 0, N .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K,dim(L) 6= 0; N1 ∈ Z+ , a0 , . . . , aN1 ∈ K, N1 6= 0 =⇒ aN1 6= 0, N2 ∈ Z+ , b0 , . . . , bN2 ∈ K,N1N2PPN2 6= 0 =⇒ bN2 6= 0,ak Ak =bk Ak при A ∈ Lin(L, L). Тогда: N1 = N2 , ak = bk приk=1k=0k = 0, N1 .Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, dim(L) 6= 0;F — полином на множестве Lin(L, L), N — степень полинома F . Обозначим, deg(F ) = N .Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; F — полином на множестве K, deg(F ) 6= 0.1. Пусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr — различные корни полинома F , m1 , . . . , mr — соответствующие кратности. Тогда m1 + · · · + mr 6 deg(F ).2. Справедливы утверждения: ker(F ) — конечное множество, card ker(F ) 6 deg(F ).304. Собственные значения и собственные векторы линейного оператораОпределение. Пусть K ∈ {C, R, Q}.
Будем говорить, что K — алгебраически замкнутоеполе, если для любой функции F , удовлетворяющей условиям: F — полином на множествеK, deg(F ) 6= 0, справедливо утверждение: ker(F ) 6= ∅.Замечание. Очевидно, Q не является алгебраически замкнутым полем. Очевидно, R неявляется алгебраически замкнутым полем.Теорема (основная теорема алгебры; будет доказана в 3-ем семестре).
Справедливоутверждение: C — алгебраически замкнутое поле.Утверждение. Пусть: C — алгебраически замкнутое поле, F — полином на множестве C, deg(F ) 6= 0, r ∈ N, z1 , . . . , zr — все различные корни полинома F , m1 , . . . , mr —соответствующие кратности. Тогда m1 + · · · + mr = deg(F ).Определение. Пусть: K1 , K2 ∈ {C, R, Q}; F — полином на множестве K1 , N — степеньполинома F , a0 , . .
. , aN — коэффициенты полинома F , a0 , . . . , aN ∈ K2 . Будем говорить,NPak xk при x ∈ K2 .что F̃ — продолжение полинома F на множество K2 , если: F̃ (x) =k=0Замечание. Пусть: K1 , K2 ∈ {C, R, Q}, K1 ⊆ K2 .Пусть: F1 — полином на множестве K1 , F̃1 — продолжение полинома F1 на множествоK2 , F2 — полином на множестве K1 , F̃2 — продолжение полинома F2 на множество K2 .Тогда F̃1 + F˜2 — продолжение полинома F1 + F2 на множество K2 .Пусть: λ ∈ K1 , F — полином на множестве K1 , F̃ — продолжение полинома F намножество K2 .
Тогда λF̃ — продолжение полинома λF на множество K2 .Пусть: F1 — полином на множестве K1 , F̃1 — продолжение полинома F1 на множествоK2 , F2 — полином на множестве K1 , F̃2 — продолжение полинома F2 на множество K2 .Тогда F̃1 F˜2 — продолжение полинома F1 F2 на множество K2 .Пусть F — полином на множестве K1 . Функция F̃ является продолжением полинома Fна множество K2 тогда и только тогда, когда: F̃ — полином на множестве K2 , F̃ (x) = F (x)при x ∈ K1 .Пусть: F — полином на множестве K1 , F̃ — продолжение полинома F на множествоK2 . Тогда: ker(F ) = x : x ∈ K1 ∧ F (x) = 0 = x : x ∈ K1 ∧ x ∈ K2 ∧ F̃ (x) = 0 = ker(F̃ ) ∩ K1 .Очевидно: ker(F ) ⊆ ker(F̃ ); ker(F ) = ker(F̃ ) тогда и только тогда, когда ker(F̃ ) ⊆ K1 .Пусть x0 ∈ ker(F ).
Очевидно, число m является кратностью числа x0 как корня полиномаF̃ тогда и только тогда, когда число m является кратностью числа x0 как корня полиномаF.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, dim(L) 6= 0.Пусть: F — полином на множестве K, N — степень полинома F , a0 , . . . , aN — коэффициенты полинома F . Будем говорить, что F̃ — продолжение полинома F на множествоNPak Ak при A ∈ Lin(L, L).Lin(L, L), если: F̃ (A) =k=0Пусть: F — полином на множестве Lin(L, L), N — степень полинома F , a0 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
