Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда: (1F )(x) = 1F (x) = F (x).7. Пусть: α, β ∈ K, F : Q → L. Очевидно: D (α + β)F = D(F ) = D(αF + βF ). Пусть x ∈ D (α + β)F . Тогда:(α + β)F (x) = (α + β)F (x) = αF (x) + βF (x) = (αF + βF )(x).8. Пусть: λ ∈ K, F1 , F2 : Q → L. Очевидно: D λ(F1 + F2 ) = D(F1 ) ∩ D(F2 ) = D(λF1 + λF2 ). Пусть x ∈ D λ(F1 + F2 ) .Тогда: λ(F1 + F2 ) (x) = λ F1 (x) + F2 (x) = λF1 (x) + λF2 (x) = (λF1 + λF2 )(x).Утверждение (факультативный материал).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; Θ —нулевой элемент пространства Fun(L1 , L2 ). Тогда:3.1. Общие сведения о линейных операторах1.2.3.4.19lin(L1 , L2 ) ⊆ fun(L1 , L2 );Θ ∈ lin(L1 , L2 );A + B ∈ lin(L1 , L2 ) при A, B ∈ lin(L1 , L2 );αA ∈ lin(L1 , L2 ) при: α ∈ K, A ∈ lin(L1 , L2 ).Доказательство.1.
Очевидно, lin(L1 , L2 ) ⊆ fun(L1 , L2 ).2. Докажем, что Θ ∈ lin(L1 , L2 ). Очевидно: Θ : L1 → L2 , D(Θ) = L1 . Так как D(Θ) = L1 , то D(Θ) — подпространствопространства L1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда: Θ(x + y) = θ2 = θ2 + θ2 = Θ(x) + Θ(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда: Θ(λx) = θ2 = λθ2 = λΘ(x).3. Пусть A, B ∈ lin(L1 , L2 ).
Докажем, что A + B ∈ lin(L1 , L2 ). Очевидно: A + B : L1 → L2 , D(A + B) = D(A) ∩ D(B).Так как D(A + B) = D(A) ∩ D(B), то D(A + B) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ D(A + B). Тогда: (A + B)(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = A(x) + A(y) + B(x) + B(y) = A(x) + B(x) +A(y) + B(y) = (A + B)(x) + (A + B)(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ D(A + B). Тогда: (A + B)(λx) = A(λx) + B(λx) = λA(x) + λB(x) = λ A(x) + B(x) = λ(A + B)(x).4. Пусть: α ∈ K, A ∈ lin(L1 , L2 ). Докажем, что αA ∈ lin(L1 , L2 ).
Очевидно: αA : L1 → L2 , D(αA) = D(A). Так какD(αA) = D(A), то D(αA) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ D(αA). Тогда: (αA)(x + y) = αA(x + y) = α A(x) + A(y) = αA(x) + αA(y) = (αA)(x) + (αA)(y).Пусть: β ∈ K, x ∈ D(αA). Тогда: (αA)(βx) = αA(βx) = α βA(x) = β αA(x) = β(αA)(x).Утверждение (факультативный материал). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 , L3 — линейные пространства над полем K.1. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), B1 , B2 ∈ lin(L2 , L3 ). Тогда: (B1 + B2 )A = B1 A + B2 A.2. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), λ ∈ K, B ∈ lin(L2 , L3 ). Тогда (λB)A = λ(BA).3. Пусть: A1 , A2 ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ). Тогда B(A1 + A2 )|D(BA1 +BA2 ) = BA1 + BA2 .4.
Пусть: λ ∈ K, λ 6= 0, A ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ). Тогда B(λA) = λ(BA).Доказательство.1. Очевидно: D (B1 + B2 )A = x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B1 + B2 ) =no= x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B1 ) ∧ Ax ∈ D(B2 ) =no= x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B1 ) ∧ x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B2 ) == x : x ∈ D(B1 A) ∧ x ∈ D(B2 A) = D(B1 A + B2 A).Пусть x ∈ D (B1 + B2 )A . Тогда:(B1 A + B2 A)x.2. Очевидно:(B1 + B2 )A x = (B1 + B2 )(Ax) = B1 (Ax) + B2 (Ax) = (B1 A)x + (B2 A)x = D (λB)A = x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(λB) == x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B) = D(BA) = D λ(BA) .Пусть x ∈ D (λB)A . Тогда: (λB)A x = (λB)(Ax) = λB(Ax) = λ(BA)(x) = λ(BA) x.3. Пусть x ∈ D(BA1 + BA2 ).
Тогда: x ∈ D(BA1 ), x ∈ D(BA2 ). Следовательно: x ∈ D(A1 ), A1 x ∈ D(B), x ∈ D(A2 ),A2 x ∈ D(B). Тогда:Следовательно: x ∈ D(A1 + A2 ), (A1 + A2 )x ∈ D(B). Тогда x ∈ D(A1 ), x ∈ D(A2 ), A1 x + A2 x ∈ D(B).x ∈ D B(A1 + A2 ) . Итак, D(BA1 + BA2 ) ⊆ D B(A1 + A2 ) .Пусть x ∈ D(BA1 + BA2 ). Тогда: (BA1 + BA2 )x = (BA1 )x + (BA2 )x = B(A1 x) + B(A2 x) = B A1 x + A2 x =B (A1 + A2 )x = B(A1 + A2 ) x.4. Так как λ 6= 0, то: D B(λA) = x : x ∈ D(λA) ∧ (λA)x ∈ D(B) = = x : x ∈ D(A) ∧ λA(x) ∈ D(B) = x : x ∈ D(A) ∧ Ax ∈ D(B) = D(BA) = D λ(BA) .Пусть x ∈ D B(λA) . Тогда: B(λA) x = B (λA)x = B λA(x) = λB(Ax) = λ(BA)(x) = λ(BA) x.Утверждение.
Пусть: Kнад полем K; ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространстваA ∈ lin(L1 , L2 ), dim D(A) 6= +∞. Тогда dim R(A) = dim D(A) − dim ker(A) .Доказательство. Так как: ker(A) ⊆ D(A), dim D(A) 6= +∞, то существует линейное дополнение Q подпространства ker(A) до подпространства D(A). Тогда: Q — подпространство пространства L1 , D(A) = ker(A) + Q; ker(A),Q — линейнонезависимые подпространства.
Следовательно: Q ⊆ D(A), dim D(A) = dim ker(A) + dim(Q), ker(A) ∩ Q = {θ1 }.Очевидно: A|Q ∈ lin(L1 , L2 ), D( A|Q ) = D(A) ∩ Q = Q, R( A|Q ) = A[Q] ⊆ R(A),ker( A|Q ) = ker(A) ∩ Q = {θ1 }.203. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператораПусть y ∈ R(A). Тогда существует вектор x, удовлетворяющий условиям: x ∈ D(A), y =Ax. Так как: x ∈ D(A), D(A) = ker(A)+Q, то существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющиеусловиям: x1 ∈ ker(A), x2 ∈ Q, x = x1 + x2 . Тогда: y = Ax = A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 =θ2 + A|Q x2 = A|Q x2 ∈ R( A|Q ).
Следовательно, R(A) ⊆ R( A|Q ). Так как R( A|Q ) ⊆ R(A),то R( A|Q ) = R(A).Так как ker( A|Q ) = {θ1 }, то A|Q — обратимый оператор. Тогда: dim R(A) =dim R( A|Q ) = dim D( A|Q ) = dim(Q) = dim D(A) − dim ker(A) .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A ∈lin(L1 , L1 ). Обозначим, rank(A) = dim R(A) . Будем говорить, что rank(A) — ранг оператора A.Очевидно:rank(A) = dim R(A) 6 dim(L2 ),rank(A) = dim R(A) 6 dim D(A) 6 dim(L1 ).Пусть dim D(A) 6= +∞. Тогда:rank(A) = dim R(A) = dim D(A) − dim ker(A) .Теорема (1-я теорема Фредгольма). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K, dim(L1 ) = dim(L2 ), dim(L2 ) 6= +∞; A ∈ Lin(L1 , L2 ). ТогдаR(A) = L2 ⇐⇒ ker(A) = {θ1 }.Доказательство.1.
Пусть R(A) = L2 . Так как dim D(A) 6= +∞, то: dim ker(A) = dim D(A) −dim R(A) = dim(L1 ) − dim(L2 ) = 0. Так как ker(A) — подпространство пространстваL1 , то ker(A) = {θ1 }.2. Пустьker(A)={θ}.ТогдаA—обратимыйоператор.Следовательно:dimR(A)=1dim D(A) = dim(L1 ) = dim(L2 ). Так как: R(A) — подпространство пространства L2 ,dim(L2 ) 6= +∞, то R(A) = L2 .3.2.
Матрица линейного оператораОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N,dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ;A : L1 =⇒ L2 , A — линейный (полулинейный) оператор, e — базис пространства L1 ,f — базис пространства L2 . Обозначим: [A]ji (f, e) = [Aei ]j (f ) при: i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, [A](f, e) ∈ KN2 ×N1 . Будем говорить, что [A](f, e) — матрица линейного (полулинейного) оператора A в базисах f , e.Определение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A : L =⇒ L, A — линейный (полулинейный) оператор, e — базис пространства L. Обозначим: [A]ji (e) = [Aei ]j (e) при i, j = 1, N . Очевидно, [A](e) ∈ KN ×N . Будемговорить, что [A](e) — матрица линейного (полулинейного) оператора A в базисе e.Замечание (примеры).
Пусть K ∈ {C, R, Q}.1. Пусть: L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N, dim(L1 ) = N1 ; L2 —линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; e — базис пространства L1 ,f — базис пространства L2 . Докажем, что [Θ](f, e) = Θ̃ (здесь Θ̃ — нулевая матрица измножества KN2 ×N1 ). Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда: [Θ]ji (f, e) = [Θei ]j (f ) = [θ2 ]j (f ) = 0.3.2. Матрица линейного оператора212. Пусть: L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) = N ; e, f — базисыпространства L.
Докажем, что [I](f, e) = α(f, e). Пусть i, j = 1, N . Тогда: [I]ji (f, e) =[Iei ]j (f ) = [ei ]j (f ) = αij (f, e).3. Пусть: L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) = N ; e — базиспространства L. Тогда: [I](e) = [I](e, e) = α(e, e) = I˜ (здесь I˜ — единичная матрица измножества KN ×N ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈N, dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; e —базис пространства L1 , f — базис пространства L2 .1. Пусть: A : L1 =⇒ L2 , A — линейный оператор.
Тогда: Ax = [A]ji (f, e)[x]i (e)fj приx ∈ L1 .2. Пусть: Q ∈ KN2 ×N1 , Ax = Qji [x]i (e)fj при x ∈ L1 . Тогда: A : L1 =⇒ L2 , A —линейный оператор, [A](f, e) = Q.3. Пусть: A : L1 =⇒ L2 , A — полулинейный оператор. Тогда: Ax = [A]ji (f, e)[x]i (e)fjпри x ∈ L1 .4. Пусть: Q ∈ KN2 ×N1 , Ax = Qji [x]i (e)fj при x ∈ L1 . Тогда: A : L1 =⇒ L2 , A —полулинейный оператор, [A](f, e) = Q.Доказательство.1. Пусть x ∈ L1 . Тогда:Ax = A [x]i (e)ei = [x]i (e)A(ei ) = [x]i (e) [A]ji (f, e)fj = [A]ji (f, e)[x]i (e)fj .2. Докажем, что: A : L1 =⇒ L2 , A — линейный оператор.
Очевидно, A : L1 =⇒ L2 .Так как D(A) = L1 , то D(A) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда:A(x + y) = Qji [x + y]i (e)fj = Qji [x]i (e) + [y]i (e) fj = Qji [x]i (e)fj + Qji [y]i (e)fj = Ax + Ay.Пусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда:A(λx) = Qji [λx]i (e)fj = Qji λ[x]i (e) fj = λ Qji [x]i (e)fj = λA(x).Докажем, что [A](f, e) = Q. Пусть i = 1, N1 . Очевидно, Aei = [A]ji (f, e)fj . С другойстороны:Aei = Qjk [ei ]k (e)fj = Qjk δik fj = Qji fj .Тогда: [A]ji (f, e) = Qji при j = 1, N2 .3. Пусть x ∈ L1 . Тогда:Ax = A [x]i (e)ei = [x]i (e)A(ei ) = [x]i (e) [A]ji (f, e)fj = [A]ji (f, e)[x]i (e)fj .4.
Докажем, что: A : L1 =⇒ L2 , A — полулинейный оператор. Очевидно, A : L1 =⇒L2 . Так как D(A) = L1 , то D(A) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда:A(x + y) = Qji [x + y]i (e)fj = Qji [x]i (e) + [y]i (e) fj = Qji [x]i (e)fj + Qji [y]i (e)fj = Ax + Ay.223. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператораПусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда:A(λx) = Qji [λx]i (e)fj = Qji λ[x]i (e) fj = λ Qji [x]i (e)fj = λA(x).Докажем, что [A](f, e) = Q. Пусть i = 1, N1 . Очевидно, Aei = [A]ji (f, e)fj . С другойстороны:Aei = Qjk [ei ]k (e)fj = Qjk δik fj = Qjk δik fj = Qji fj .Тогда: [A]ji (f, e) = Qji при j = 1, N2 .Замечание.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N,dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; e — базиспространства L1 , f — базис пространства L2 .Пусть: Q ∈ KN2 ×N1 , x ∈ L1 . Тогда:Qji [x]i (e)fjj−1= Q[x](e) fj = Qhe (x) fj = Q̂ he (x) fj = hf Q̂ he (x) = (h−1f Q̂he )x.jjПусть: A ∈ Lin(L1 , L2 ), Q = [A](f, e). Тогда: Ax = Qji [x]i (e)fj при x ∈ L1 . Следователь−1но: Ax = (h−1f Q̂he )x при x ∈ L1 . Тогда A = hf Q̂he .N2 ×N1Пусть: Q ∈ KN2 ×N1 , A = h−1, Ax = (h−1f Q̂he )x при x ∈ L1 .f Q̂he .
Тогда: Q ∈ KjN2 ×N1i, Ax = Qi [x] (e)fj при x ∈ L1 . Тогда: A ∈ Lin(L1 , L2 ), [A](f, e) =Следовательно: Q ∈ KQ.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N,dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; A ∈Lin(L1 , L2 ), e — базис пространства L1 , f — базис пространства L2 , Q = [A](e, f ).−11. Докажем, что ker(A) = he ker(Q̂) . Пусть x ∈ ker(A). Тогда:x ∈ L1 , Ax = θ2 ;x ∈ L1 , (h−1f Q̂he )x = θ2 ;x ∈ L1 , h−1Q̂(he x) = θ2 ;fx ∈ L1 , Q̂(he x) = θ̃2(здесь θ̃2 — нулевой элемент пространства KN2 ). Обозначим, x̃ = he x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
