Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда [A]σσ1 σ = [A]σ3 σ1 .3Доказательство.1. Очевидно: σ1 ∈ Sp1 +p2 , σ2 ∈ Sq1 +q2 . Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Тогда:j1 ,...,jq +qjq +1 ,...,jq +qj1 ,...,jqj1+q ,...,jq +qj1 ,...,jq(B ⊗ A)i1 ,...,ip 1+p2 (e) = Bi1 ,...,ip 2 (e)Aip2 +1 ,...,ip2 +p1 (e) = Ai1+p2 ,...,ip1 +p2 (e)Bi1 ,...,ip 2 (e) =1222212jσ (1) ,...,jσ (q )jσ (q +1) ,...,jσ (q +q )22 1(e)Bi 2 1 ,...,i 2 1 2 (e)σ (1) ,...,iσ (p )σ (p +1)σ (p +p )= Ai1111111212= [A ⊗ B]σσ122j1 ,...,jq1 +q2i1 ,...,ip1 +p2(e).2.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда:2[A]σσ1σ4 j1 ,...,jqσ3i1 ,...,ip2(e) = [A]σσ1jσ4 (1) ,...,jσ4 (q)iσ (1) ,...,iσ (p) (e)33j(σ σ )(1) ,...,j(σ σ )(q)4 24 2(e)(σ σ )(1) ,...,i(σ σ )(p)= Ai3 13 1jσ (σ (1)) ,...,jσ (σ (q))4 24 2(e)σ (σ (1)) ,...,iσ (σ (p))= Aiσ4 σ2= [A]σ3 σ131j1 ,...,jqi1 ,...,ip3=1(e).Определение (факультативный материал).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) =kkPPqqm при k = 1, r;pm , q̃k =N ; r ∈ Z, r > 3, pk , qk ∈ Z+ , Ak ∈ (T L)pkk при k = 1, r. Обозначим: p̃k =m=1m=1j1 ,...,jq̃j ,...,jjq̃jq̃ +1 ,...,jq̃+1 ,...,jq̃r(A1 ⊗ · · · ⊗ Ar )i11,...,ip̃q̃r (e) = (A1 )i1 ,...,ip̃ 1 (e)(A2 )ip̃1 +1 ,...,ip̃2 (e) · · · (Ar )ip̃r−1 +1 ,...,ip̃ (e).r112r−1rЗдесь: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip̃r , j1 , . . . , jq̃r = 1, N .
Будем говорить, что A1 ⊗ · · · ⊗ Ar — прямое произведениетензоров A1 , . . . , Ar .Утверждение (факультативный материал). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,qdim(L) = N ; r ∈ Z, r > 3, pk , qk ∈ Z+ , Ak ∈ (T L)pkk при k = 1, r. Тогда: A1 ⊗ · · · ⊗ Ar = (A1 ⊗ · · · ⊗ Ar−1 ) ⊗ Ar ,A1 ⊗ · · · ⊗ Ar = A1 ⊗ (A2 ⊗ · · · ⊗ Ar ).Доказательство. Обозначим: p̃k =kPpm , q̃k =m=1kPqm при k = 1, r.m=11.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip̃r , j1 , . . . , jq̃r = 1, N . Тогда:(A1 ⊗ · · · ⊗ Ar−1 ) ⊗ Ar=j1 ,...,jq̃ri1 ,...,ip̃rjq̃jq̃j1 ,...,jq̃+1 ,...,jq̃r+1 ,...,jq̃(e) = (A1 )i1 ,...,ip̃ 1 (e) · · · (Ar−1 )ip̃r−2 +1 ,...,ip̃r−1 (e) (Ar )ip̃r−1 +1 ,...,ip̃ (e) =1r−2jq̃j1 ,...,jq̃+1 ,...,jq̃r(A1 )i1 ,...,ip̃ 1 (e) · · · (Ar )ip̃r−1 +1 ,...,ip̃ (e)r1r−1= (A1 ⊗ · · · ⊗rr−1r−1j ,...,jAr )i11,...,ip̃q̃r (e).r2. Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip̃r , j1 , . . .
, jq̃r = 1, N . Тогда:A1 ⊗ (A2 ⊗ · · · ⊗ Ar )=j1 ,...,jq̃ri1 ,...,ip̃rjq̃j1 ,...,jq̃jq̃ +1 ,...,jq̃+1 ,...,jq̃r(e) = (A1 )i1 ,...,ip̃ 1 (e) (A2 )ip̃1 +1 ,...,ip̃2 (e) · · · (Ar )ip̃r−1 +1 ,...,ip̃ (e) =1jq̃j1 ,...,jq̃+1 ,...,jq̃r(A1 )i1 ,...,ip̃ 1 (e) · · · (Ar )ip̃r−1 +1 ,...,ip̃ (e)r1r−112= (A1 ⊗ · · · ⊗r−1rj ,...,jAr )i11,...,ip̃q̃r (e).rЗамечание.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ (T L)11 .Пусть e — базис пространства L. Тогда: tr A(e) = Aii (e) = hAi11 (e).Пусть e, e′ — базисы пространства L. Так как hAi11 ∈ (T L)00 , то: tr A(e′ ) = hAi11 (e′ ) =′′hAi11 (e) = tr A(e) . Так как: Aji′ (e′ ) = Aji (e)αjj (e′ , e)αii′ (e, e′ ) при i′ , j ′ = 1, N , то A(e′ ) =α(e′ , e)A(e)α(e, e′ ).
Тогда:det A(e′ ) = det α(e′ , e)A(e)α(e, e′ ) = det α(e′ , e) det A(e) det α(e, e′ ) == det A(e) det α(e, e′ )α(e′ , e) = det A(e) det(I) = det A(e) .Выберем базис e0 пространстваL. Обозначим:tr(A) = tr A(e0 ) , det(A) = det A(e0 ) .Тогда: tr(A) = tr A(e) , det(A) = det A(e) при: e — базис пространства L.162. Тензорная алгебра2.4. Возможные обобщения1. Можно рассматривать не наборы чисел из поля K, а наборы объектов более сложной природы. Например,базис e линейного пространства L можно интерпретировать кактензор порядка 01 .2.
Можно рассматривать геометрические объекты, определённые не для всех базисовлинейного пространства.3. Можно рассматривать геометрические объекты, у которых разные индексы относятся к разным пространствам. Например, матрицулинейного оператора A : L1 =⇒ L2можно интерпретировать как тензор порядка 01 в пространстве L1 и тензор порядка 10в пространстве L2 .4. Можно рассматривать тензоры, у которых по крайней мере часть индексов преобi=1,N ′i′ =1,Nразуется с помощью матриц αii′ (e, e′ ) i′ =1,N , αii (e′ , e) i=1,N (здесь: z = Re(z) − i Im(z)при z ∈ C). Например, матрица полуторалинейной формы преобразуется по закону:Ai′ j ′ (e′ ) = Aij (e)αii′ (e, e′ )αjj ′ (e, e′ ) при i′ , j ′ = 1, N .3. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператора17Лекция 3.
Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператора3.1. Общие сведения о линейных операторахОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство надполем K; F — функция, R(F ) ⊆ L. Обозначим, ker(F ) = x : x ∈ D(F ) ∧ F (x) = θ . Множество ker(F )называется ядром функции F или множеством нулей функции F или множеством корнейфункции F . Другое обозначение, N(F ). Очевидно, ker(F ) = D F, {θ} .Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A : L1 →L2 . Будем говорить, что A — полулинейный оператор, если: D(A) — подпространствопространства L1 ; A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ D(A); A(λx) = λA(x) при: λ ∈ K,x ∈ D(A).Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K.Тогда Lin(L1 , L2 ) — подпространство пространства Fun(L1 , L2 ).Доказательство.1. Очевидно, Lin(L1 , L2 ) ⊆ Fun(L1 , L2 ).2. Пусть Θ — нулевой элемент пространства Fun(L1 , L2 ). Докажем, что Θ ∈ Lin(L1 , L2 ).Очевидно, Θ : L1 =⇒ L2 . Так как D(Θ) = L1 , то D(Θ) — подпространство пространстваL1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда:Θ(x + y) = θ2 = θ2 + θ2 = Θ(x) + Θ(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда:Θ(λx) = θ2 = λθ2 = λΘ(x).3. Пусть A, B ∈ Lin(L1 , L2 ). Докажем, что A+B ∈ Lin(L1 , L2 ). Очевидно, A+B : L1 =⇒L2 .
Так как D(A + B) = L1 , то D(A + B) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда:(A + B)(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = A(x) + A(y) + B(x) + B(y) == A(x) + B(x) + A(y) + B(y) = (A + B)(x) + (A + B)(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда:(A + B)(λx) = A(λx) + B(λx) = λA(x) + λB(x) = λ A(x) + B(x) = λ(A + B)(x).4. Пусть: α ∈ K, A ∈ Lin(L1 , L2 ).
Докажем, что αA ∈ Lin(L1 , L2 ). Очевидно, αA : L1 =⇒L2 . Так как D(αA) = L1 , то D(αA) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда:(αA)(x + y) = αA(x + y) = α A(x) + A(y) = αA(x) + αA(y) = (αA)(x) + (αA)(y).Пусть: β ∈ K, x ∈ L1 .
Тогда:(αA)(βx) = αA(βx) = α βA(x) = β αA(x) = β(αA)(x).183. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператораУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 , L3 — линейные пространства над полемK.1. Пусть: A ∈ Lin(L1 , L2 ), B1 , B2 ∈ Lin(L2 , L3 ). Тогда (B1 + B2 )A = B1 A + B2 A.2. Пусть: A ∈ Lin(L1 , L2 ), λ ∈ K, B ∈ Lin(L2 , L3 ). Тогда (λB)A = λ(BA).3. Пусть: A1 , A2 ∈ Lin(L1 , L2 ), B ∈ Lin(L2 , L3 ). Тогда B(A1 + A2 ) = BA1 + BA2 .4. Пусть: λ ∈ K, A ∈ Lin(L1 , L2 ), B ∈ Lin(L2 , L3 ).
Тогда B(λA) = λ(BA).Доказательство.1. Пусть x ∈ L1 . Тогда:(B1 + B2 )A x = (B1 + B2 )(Ax) = B1 (Ax) + B2 (Ax) = (B1 A)x + (B2 A)x = (B1 A + B2 A)x.2. Пусть x ∈ L1 . Тогда:(λB)A x = (λB)(Ax) = λB(Ax) = λ(BA)(x) = λ(BA) x.3. Пусть x ∈ L1 . Тогда:B(A1 + A2 ) x = B (A1 + A2 )x = B A1 x + A2 x = B(A1 x) + B(A2 x) == (BA1 )x + (BA2 )x = (BA1 + BA2 )x.4. Пусть x ∈ L1 . Тогда:B(λA) x = B (λA)x = B λA(x) = λB(Ax) = λ(BA)(x) = λ(BA) x.Определение (факультативный материал).
Пусть: Q — множество, K ∈ {C, R, Q}, L — линейное пространство над полемK.Пусть F1 , F2 : Q → L. Обозначим: (F1 + F2 )(x) = F1 (x) + F2 (x) при x ∈ D(F1 ) ∩ D(F2 ). Очевидно: F1 + F2 : Q → L,D(F1 + F2 ) = D(F1 ) ∩ D(F2 ).Пусть: λ ∈ K, F : Q → L. Обозначим: (λF )(x) = λF (x) при x ∈ D(F ). Очевидно: λF : Q → L, D(λF ) = D(F ).Утверждение (факультативный материал). Пусть: Q — множество, K ∈ {C, R, Q}, L — линейное пространство надполем K; Θ — нулевой элемент пространства Fun(Q, L). Тогда:1.
F1 + F2 = F2 + F1 при F1 , F2 : Q → L;2. (F1 + F2 ) + F3 = F1 + (F2 + F3 ) при F1 , F2 , F3 : Q → L;3. F + Θ = F при F : Q → L;4. F + (−1)F = Θ|D(F ) при F : Q → L;5. (αβ)F = α(βF ) при: α, β ∈ K, F : Q → L;6. 1F = F при F : Q → L;7. (α + β)F = αF + βF при: α, β ∈ K, F : Q → L;8. λ(F1 + F2 ) = λF1 + λF2 при: λ ∈ K, F1 , F2 : Q → L.Доказательство.1. Пусть F1 , F2 : Q → L. Очевидно: D(F1 + F2 ) = D(F1 ) ∩ D(F2 ) = D(F2 ) ∩ D(F1 ) = D(F2 + F1 ). Пусть x ∈ D(F1 + F2 ).Тогда: (F1 + F2 )(x) = F1 (x) + F2 (x) = F2 (x) + F1 (x) = (F2 + F1 )(x).2. Пусть F1 , F2 , F3 : Q → L. Очевидно: D (F1 + F2 ) + F3 = D(F1 ) ∩ D(F2 ) ∩ D(F3 ) = D(F1 ) ∩ D(F2 ) ∩ D(F3 ) =D F1 +(F2 +F3 ) . Пусть x ∈ D (F1 +F2 )+F3 .
Тогда: (F1 +F2 )+F3 (x) = F1 (x)+F2 (x) +F3 (x) = F1 (x)+ F2 (x)+F3 (x) =F1 + (F2 + F3 ) (x).3. Пусть F : Q → L. Очевидно: D(F + Θ) = D(F ) ∩ Q = D(F ). Пусть x ∈ D(F + Θ). Тогда: (F + Θ)(x) = F (x) + Θ(x) =F (x) + θ = F (x).4. Пусть F : Q → L.
Очевидно: D F + (−1)F = D(F ) ∩ D(F ) = D(F ). Пусть x ∈ D F + (−1)F . Тогда: F + (−1)F (x) =F (x) + (−1)F (x) = θ = Θ(x).5. Пусть: α, β ∈ K, F : Q → L. Очевидно: D (αβ)F = D(F ) = D α(βF ) . Пусть x ∈ D (αβ)F . Тогда: (αβ)F (x) =(αβ)F (x) = α βF (x) = α(βF ) (x).6. Пусть F : Q → L. Очевидно, D(1F ) = D(F ). Пусть x ∈ D(1F).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
