Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда:j 0 ,...,j 0j ,...,ji0i0jAi11,...,ipq (e) = Ai01,...,i0q (e0 )αjj10 (e, e0 ) · · · αjqq0 (e, e0 )αi11 (e0 , e) · · · αipp (e0 , e) =p1=1j 0 ,...,j 0i0i0jBi01,...,i0q (e0 )αjj10 (e, e0 ) · · · αjqq0 (e, e0 )αi11 (e0 , e) · · · αipp (e0 , e)p11j ,...,j= Bi11,...,ipq (e).2. Докажем, что A ∈ (T L)qp . Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . .
. , i′p , j1′ , . . . , jq′ =1, N . Тогда:j′j′j ,...,jiAi11,...,ipq (e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =1j 0 ,...,j 0i0i0j= (A0 )i01,...,i0q αjj10 (e, e0 ) · · · αjqq0 (e, e0 )αi11 (e0 , e) · · · αipp (e0 , e)p1= (A0 )j10 ,...,jq0i01 ,...,i0p1j′j′iαj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ )1jq′jq0j1′j10=i0pi′pi01i′1j ′ ,...,j ′α (e′ , e0 ) · · · α (e′ , e0 )α (e0 , e′ ) · · · α (e0 , e′ ) = Ai′1,··· ,iq′p (e′ ).1Докажем, что A(e0 ) = A0 .
Пусть i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда:j 0 ,...,j 0j ,...,ji0i0jAi11,...,ipq (e0 ) = (A0 )i01,...,i0q αjj10 (e0 , e0 ) · · · αjqq0 (e0 , e0 )αi11 (e0 , e0 ) · · · αipp (e0 , e0 ) =p1=1j 0 ,...,j 0(A0 )i01,...,i0q δjj10p11ji0i0j ,...,j· · · δjqq0 δi11 · · · δipp = (A0 )i11,...,ipq .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; p, q ∈ Z+ .Пусть e0 — базис пространства L. Обозначим: ϕ(A) = A(e0 ) при A ∈ (T L)qp . Очевидно, ϕ — изоморфизм пространства (T L)qp на пространство K(N,q+p) . Тогда: dim (T L)qp =dim K(N,q+p) = N q+p .Определение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N .1. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)qp22 . Обозначим:j ,...,jjj ,...,j,...,jq1 +q2+q2+1(A ⊗ B)i11,...,ipq11+p(e) = Ai11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e).2Здесь: e — базис пространства L, i1 , .
. . , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Будем говорить, чтоA ⊗ B — прямое произведение тензоров A, B.2. Пусть: p, q ∈ N, A ∈ (T L)qp , k = 1, p, m = 1, q. Обозначим:hAimkj1 ,...,jq−1i1 ,...,ip−1j ,...,j,i,j ,...,jmm−1q−1(e) = Ai11,...,ik−1,i,ik ,...,ip−1 (e).Здесь: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip−1 , j1 , . . . , jq−1 = 1, N . Будем говорить, чтоhAimk — свёртка тензора A.3. Пусть: p, q ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp , σ1 ∈ Sp , σ2 ∈ Sq . Обозначим:[A]σσ21j1 ,...,jqi1 ,...,ipj,...,j(1)σ2 (q)(e) = Aiσσ2(1),...,iσ (p) (e).11Здесь: e — базис пространства L, i1 , .
. . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Будем говорить, что [A]σσ21 —результат транспонирования тензора A.2.3. Тензоры13Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N .21. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)pq22 . Тогда A ⊗ B ∈ (T L)qp11+q+p2 .p2q12. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A1 , A2 ∈ (T L)p1 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)q2 . Тогда (A1 + A2 ) ⊗ B =A1 ⊗ B + A2 ⊗ B.3.
Пусть: λ ∈ K, p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)pq22 . Тогда (λA) ⊗ B =λ(A ⊗ B).4. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B1 , B2 ∈ (T L)pq22 . Тогда A ⊗ (B1 + B2 ) =A ⊗ B1 + A ⊗ B2 .5. Пусть: λ ∈ K, p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)pq22 .
Тогда A ⊗ (λB) =λ(A ⊗ B).6. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)qp22 , p3 , q3 ∈ Z+ , C ∈ (T L)qp33 .Тогда (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C).q−17. Пусть: p, q ∈ N, A ∈ (T L)qp , k = 1, p, m = 1, q. Тогда hAimk ∈ (T L)p−1 .mm8. Пусть: p, q ∈ N, A, B ∈ (T L)qp , k = 1, p, m = 1, q. Тогда hA + Bimk = hAik + hBik .m9. Пусть: λ ∈ K, p, q ∈ N, A ∈ (T L)qp , k = 1, p, m = 1, q. Тогда hλAimk = λhAik .10. Пусть: p, q ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp , σ1 ∈ Sp , σ2 ∈ Sq . Тогда [A]σσ21 ∈ (T L)qp .11. Пусть: p, q ∈ Z+ , A, B ∈ (T L)qp , σ1 ∈ Sp , σ2 ∈ Sq .
Тогда [A + B]σσ21 = [A]σσ21 + [B]σσ21 .12. Пусть: λ ∈ K, p, q ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp , σ1 ∈ Sp , σ2 ∈ Sq . Тогда [λA]σσ21 = λ[A]σσ21 .Доказательство.1. Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p1 +p2 , j1′ , . . . , jq′ 1 +q2 = 1, N . Тогда:j′j′j ,...,ji+q2+q2(e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′p1 +p2 (e, e′ ) =(A ⊗ B)i11,...,ipq11+p(e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq11 +q22p1 +p21=jq′ +qj +1 ,...,jq1 +q2ip1 +p2j ,...,jj1′i1′′′′12Ai11,...,ipq11 (e)Bipq11+1(e)α(e,e)···αjq1 +q2 (e , e)αi′1 (e, e ) · · · αi′p +p (e, e ),...,ip1 +p2j11j′j ′ ,...,j ′,...,j ′=2j ′ ,...,j ′= Ai′1,...,i′pq1 (e′ )Bi′q1 +1,...,i′q1 +q2 (e′ ) = (A ⊗ B)i′1,...,i′q1 +q2 (e′ ).1p1 +11p1 +p2p1 +p212.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Тогда:j ,...,j +q2 j +1 ,...,jq1 +q2j ,...,jj ,...,j(A1 + A2 ) ⊗ B i11,...,ipq1+p(e) = (A1 )i11,...,ipq11 (e) + (A2 )i11,...,ipq11 (e) Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) =1=2j +1 ,...,jq1 +q2j ,...,j(A1 )i11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e)j ,...,jj,...,jq1 +q2+1+ (A2 )i11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) =j ,...,j+q2= (A1 ⊗ B + A2 ⊗ B)i11,...,ipq11+p(e).23.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Тогда:j ,...,j +q2 j +1 ,...,jq1 +q2j ,...,j(λA) ⊗ B i11,...,ipq1+p(e) = λAi11,...,ipq11 (e) Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) =12j +1 ,...,jq1 +q2j1 ,...,jq1 +q2j ,...,j= λ Ai11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) = λ(A ⊗ B) i1 ,...,ip +p (e).124. Пусть: e — базис пространства L, i1 , . .
. , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Тогда:j ,...,j +q2j +1 ,...,jq1 +q2jq1 +1 ,...,jq1 +q2j ,...,j(e) = Ai11,...,ipq11 (e) (B1 )ipq11 +1A ⊗ (B1 + B2 ) i11,...,ipq1+p(e)+(B)(e)=2,...,ip1 +p2ip1 +1 ,...,ip1 +p21=2j +1 ,...,jq1 +q2j ,...,jAi11,...,ipq11 (e)(B1 )ipq11 +1,...,ip1 +p2 (e)j ,...,jj,...,jq1 +q2+1+ Ai11,...,ipq11 (e)(B2 )ipq11 +1,...,ip1 +p2 (e) =j ,...,j+q2= (A ⊗ B1 + A ⊗ B2 )i11,...,ipq11+p(e).2142. Тензорная алгебра5.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip1 +p2 , j1 , . . . , jq1 +q2 = 1, N . Тогда:jq1 +1 ,...,jq1 +q2j1 ,...,jq1(e)=A(e)λB(e)=i,...,ii,...,ip1p1 +p21p1 +1i1 ,...,ip1 +p2j +1 ,...,jq1 +q2j1 ,...,jq1 +q2j ,...,j= λ Ai11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) = λ(A ⊗ B) i1 ,...,ip +p (e).A ⊗ (λB)j1 ,...,jq1 +q2126.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip1 +p2 +p3 , j1 , . . . , jq1 +q2 +q3 = 1, N . Тогда: jq1 +q2 +1 ,...,jq1 +q2 +q3j +1 ,...,jq1 +q2j ,...,j(e) = Ai11,...,ipq11 (e)Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e) Cip1 +p2 +1 ,...,ip1 +p2 +p3 (e) =j1 ,...,jq1 +q2 +q3j +1 ,...,jq1 +q2jq1 +q2 +1 ,...,jq1 +q2 +q3j ,...,j= Ai11,...,ipq11 (e) Bipq11+1,...,ip1 +p2 (e)Cip1 +p2 +1 ,...,ip1 +p2 +p3 (e) = A ⊗ (B ⊗ C) i1 ,...,ip +p +p (e).(A ⊗ B) ⊗ Cj1 ,...,jq1 +q2 +q3i1 ,...,ip1 +p2 +p3123′7.
Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p−1 , j1′ , . . . , jq−1= 1, N . Тогда:hAimk=j′j′j1 ,...,jq−1iq−1(e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′p−1 (e, e′ ) =(e)αj11 (e′ , e) · · · αjq−1i1 ,...,ip−11p−1′jq−1j1′j ,...,jm−1 ,i,jm ,...,jq−1ip−1i1′′′′Ai11,...,ik−1(e)α(e,e)···α,i,ik ,...,ip−1j1jq−1 (e , e)αi′1 (e, e ) · · · αi′p−1 (e, e )j ,...,jj′j′,j,j ,...,j=imp−1m−1q−1q−1i1i′′′1= Ai11,...,ik−1(e, e′ ) =,i,ik ,...,ip−1 (e)δj αj1 (e , e) · · · αjq−1 (e , e)αi′ (e, e ) · · · αi′1=p−1′jq−1j1′j ,...,jm−1 ,j,jm ,...,jq−1ip−1i1i′i′ ′′′′′Ai11,...,ik−1,i,ik ,...,ip−1 (e)αi′ (e, e )αj (e , e)αj1 (e , e) · · · αjq−1 (e , e)αi′1 (e, e ) · · · αi′p−1 (e, e )=A′′ ,...,j ′j1′ ,...,jm−1,i′ ,jmq−1′′′′i1 ,...,ik−1 ,i ,ik ,...,i′p−1(e′ ) = hAimk′j1′ ,...,jq−1i′1 ,...,i′p−1(e′ ).8. Пусть: e — базис пространства L, i1 , .
. . , ip−1 , j1 , . . . , jq−1 = 1, N . Тогда:hA + Bimkj1 ,...,jq−1i1 ,...,ip−1j ,...,j,i,j ,...,jj ,...,j,i,j ,...,jmmm−1q−11m−1q−1(e) = Ai11,...,ik−1,i,ik ,...,ip−1 (e) + Bi1 ,...,ik−1 ,i,ik ,...,ip−1 (e) =m j1 ,...,jq−1= hAim+hBikk i1 ,...,ip−1 (e).9. Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip−1 , j1 , .
. . , jq−1 = 1, N . Тогда:hλAimkj1 ,...,jq−1j ,...,j,i,j ,...,jmm−1q−1m(e) = λAi11,...,ik−1,i,ik ,...,ip−1 (e) = λhAiki1 ,...,ip−1j1 ,...,jq−1i1 ,...,ip−1(e).10. Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p , j1′ , . . . , jq′ = 1, N . Тогда:[A]σσ21jj′j′j1 ,...,jqi(e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =i1 ,...,ip1j′j′,...,ji(1)σ2 (q)qpi1′′′′1= Aiσσ2(1),...,iσ1 (p) (e)αj1 (e , e) · · · αjq (e , e)αi′1 (e, e ) · · · αi′p (e, e ) =1j ′ ,...,j ′,...,j ′j′= Ai′σ2 (1),...,i′σ2 (q) (e′ ) = [A]σσ21 i′1,...,i′q (e′ ).σ1 (1)σ1 (p)1p11.
Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда:[A + B]σσ21j1 ,...,jqj,...,jj,...,j(1)σ2 (q)σ2 (1)σ2 (q)σ2σ2(e) = Aiσσ2(1),...,iσ (p) (e) + Biσ (1) ,...,iσ (p) (e) = [A]σ1 + [B]σ1i1 ,...,ip111112. Пусть: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда:[λA]σσ21j1 ,...,jqi1 ,...,ipj,...,jσ2 (1)σ2 (q)σ2(e) = λAiσ(1),...,iσ(p) (e) = λ [A]σ1j1 ,...,jqi1 ,...,ip(e).j1 ,...,jqi1 ,...,ip(e).=2.3. Тензоры15Утверждение (факультативный материал).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N .1. Пусть: p1 , q1 ∈ Z+ , A ∈ (T L)qp11 , p2 , q2 ∈ Z+ , B ∈ (T L)qp22 , σ1 (k) = k + p2 при k = 1, p1 ; σ1 (k) = k − p1 приk = p1 + 1, p1 + p2 ; σ2 (k) = k + q2 при k = 1, q1 ; σ2 (k) = k − q1 при k = q1 + 1, q1 + q2 . Тогда: σ1 ∈ Sp1 +p2 , σ2 ∈ Sq1 +q2 ,2B ⊗ A = [A ⊗ B]σσ1 .σ4 σ22 σ42. Пусть: p, q ∈ Z+ , A, B ∈ (T L)qp , σ1 , σ3 ∈ Sp , σ2 , σ4 ∈ Sq .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
