Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Так как: Q1 ⊆ Q2 , N2 6= +∞, то Q1 = Q2 . Обозначим, D = {θ}.Тогда: D — подпространство пространства L, Q1 + D = Q2 + {θ} = Q2 ; Q1 , D — линейнонезависимые подпространства.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L, dim(Q1 ), dim(Q2 ) 6= +∞. Тогда dim(Q1 + Q2 ) =dim(Q1 ) + dim(Q2 ) − dim(Q1 ∩ Q2 ).Доказательство.
Так как: Q1 ∩ Q2 ⊆ Q2 , dim(Q2 ) 6= +∞, то существует линейное дополнение D подпространства Q1 ∩ Q2 до подпространства Q2 . Тогда: D — подпространствопространства L, Q2 = Q1 ∩ Q2 + D; Q1 ∩ Q2 , D — линейно независимые подпространства.Следовательно: D ⊆ Q2 , dim(Q2 ) = dim(Q1 ∩ Q2 ) + dim(D), (Q1 ∩ Q2 ) ∩ D = {θ}.Так как: Q1 — подпространство пространства L, Q1 ∩ Q2 ⊆ Q1 , Q1 ∩ Q2 6= ∅, то:Q1 + Q2 = Q1 + (Q1 ∩ Q2 + D) = (Q1 + Q1 ∩ Q2 ) + D = Q1 + D.Так как D ⊆ Q2 , то: Q1 ∩ D = Q1 ∩ (D ∩ Q2 ) = (Q1 ∩ Q2 ) ∩ D = {θ}. Тогда Q1 , D —линейно независимые подпространства. Следовательно: dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 + D) =dim(Q1 ) + dim(D) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) − dim(Q1 ∩ Q2 ).2.
Тензорная алгебра9Лекция 2. Тензорная алгебра2.1. Числовые наборыЗамечание («прямоугольные» числовые наборы). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; r ∈ N,N1 , . . . , Nr ∈ N.1. Обозначим через KN1 ×···×Nr множество всех функций A, удовлетворяющих условию:A : {1, . . . , N1 } × · · · × {1, . . . , Nr } =⇒ K.2. Пусть A ∈ KN1 ×···×Nr . Будем говорить, что A — «прямоугольный» числовой наборстепени r. Иными словами, «прямоугольный» числовой набор степени r — эточисловая функция r дискретных переменных.3. Пусть A ∈ KN1 ×···×Nr . Далее часто будем писать Ai1 ,...,ir вместо A(i1 , .
. . , ir ).4. Пусть A ∈ KN1 ×···×Nr . Далее часто будем писать Ai1 ,...,ir вместо A(i1 , . . . , ir ).j ,...,j5. Пусть: p, q ∈ N, r = q + p, A ∈ KN1 ×···×Nr . Далее часто будем писать Ai11,...,ipq вместоA(j1 , . . . , jq , i1 , . . . , ip ).6. Пусть A, B ∈ KN1 ×···×Nr . Тогда: (A+B)i1 ,...,ir = Ai1 ,...,ir +Bi1 ,...,ir при: i1 = 1, N1 , .
. . , ir =1, Nr .7. Пусть: λ ∈ K, A ∈ KN1 ×···×Nr . Тогда: (λA)i1 ,...,ir = λAi1 ,...,ir при: i1 = 1, N1 , . . . , ir =1, Nr .8. Очевидно, KN1 ×···×Nr — линейное пространство над полем K. Обозначим через N∗количество элементов множества {1, . . . , N1 } × · · · × {1, . . . , Nr }. Тогда: dim KN1 ×···×Nr =N∗ = N1 · · · Nr .Замечание («квадратные» числовые наборы).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N.1. Пусть r ∈ N. Обозначим: N1 , . . . , Nr = N , K(N,r) = KN1 ×···×Nr . Пусть r = 0. Обозначим, K(N,r) = K.2. Пусть: r ∈ Z+ , A ∈ K(N,r) . Будем говорить, что A — «квадратный» числовой наборстепени r.3. Пусть r ∈ Z+ .
Очевидно: K(N,r) — линейное пространство над полем K, dim K(N,r) =N r.2.2. Геометрические объектыЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N .1. Пусть: x ∈ L, e — базис пространства L. Очевидно, существует единственный упорядоченный набор чисел x̃, удовлетворяющий условиям: x̃ ∈ KN , x = x̃k ek . Будем говорить,что x̃1 , . . . , x̃N — координаты вектора x в базисе e.
Обозначим, [x](e) = x̃.he2. Пусть e — базис пространства L. Обозначим: he (x) = [x](e) при x ∈ L. Тогда L ≈ KN .3. Пусть e, e′ — базисы пространства L. Обозначим: αii′ (e, e′ ) = [e′i′ ]i (e) при i, i′ = 1, N .Очевидно, α(e, e′ ) ∈ KN ×N . Будем говорить, что α(e, e′ ) — матрица перехода от базиса e кбазису e′ .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N .1. Пусть e — базис пространства L.
Тогда α(e, e) = I (здесь I — единичная матрицаиз множества KN ×N ).2. Пусть e, e′ , e′′ — базисы пространства L. Тогда α(e, e′′ ) =α(e, e′ )α(e′ , e′′ ).3. Пусть e, e′ — базисы пространства L. Тогда: det α(e, e′ ) 6= 0, α(e, e′ )−1 = α(e′ , e).102. Тензорная алгебра4. Пусть: e — базис пространства L, A ∈ KN ×N , det(A) =6 0, e′i′ = Aii′ ei при i′ = 1, N .Тогда: e′ — базис пространства L, α(e, e′ ) = A.′′5. Пусть: x ∈ L, e, e′ — базисы пространства L. Тогда [x]j (e′ ) = αjj (e′ , e)[x]j (e) приj ′ = 1, N ([x](e′ ) = α(e′ , e)[x](e)).Доказательство.1. Пусть i, j = 1, N .
Тогда: αij (e, e) = [ei ]j (e) = δij .2. Пусть i′′ = 1, N . Очевидно, e′′i′′ = αii′′ (e, e′′ )ei . С другой стороны:i′′′e′′i′′ = αii′′ (e′ , e′′ )e′i′ = αii′′ (e′ , e′′ ) αii′ (e, e′ )ei = αii′ (e, e′ )αii′′ (e′ , e′′ ) ei = α(e, e′ )α(e′ , e′′ ) i′′ ei .iТогда: αii′′ (e, e′ ) = α(e, e′ )α(e′ , e′′ ) i′′ при i = 1, N .3. Очевидно: α(e, e′ )α(e′ , e) = α(e, e) = I. Тогда: det α(e, e′ ) 6= 0, α(e, e′ )−1 = α(e′ , e).4.
Так как: A ∈ KN ×N , det(A) 6= 0, то A1 , . . . , AN — линейно независимые столбцыh−1e′′′пространства KN . Так как: KN ≈ L, e′i′ = h−1e Ai′ при i = 1, N , то e1 , . . . , eN — линейно′независимые векторы пространства L. Так как dim(L) = N , то e — базис пространства L.Пусть i′ = 1, N . Очевидно, e′i′ = αii′ (e, e′ )ei . С другой стороны, e′i′ = Aii′ ei . Тогда:αii′ (e, e′ ) = Aii′ при i = 1, N .′5. Очевидно, x = [x]j (e′ )e′j ′ . С другой стороны:′′x = [x]j (e)ej = [x]j (e) αjj (e′ , e)e′j ′ = αjj (e′ , e)[x]j (e) e′j ′ .′Тогда: [x]j (e′ ) = αjj (e′ , e)[x]j (e) при j ′ = 1, N .′Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; r ∈ Z+ .1.
Будем говорить, что A — геометрический объект степени r в пространстве L, еслиA — это отображение, которое каждому базису e пространства L ставит в соответствиечисловой набор A(e) ∈ K(N,r) .2. Обозначим через (GL)r множество всех геометрических объектов степени r в пространстве L.3. Пусть: r ∈ N, A ∈ (GL)r . Далее часто будем писать Ai1 ,...,ir (e) вместо A(e) i1 ,...,ir .i ,...,ir4. Пусть: r ∈ N, A ∈ (GL)r .
Далее часто будем писать Ai1 ,...,ir (e) вместо A(e) 1.j1 ,...,jq5. Пусть: p, q ∈ N, r = q + p, A ∈ (GL)r . Далее часто будем писать Ai1 ,...,ip (e) вместоj ,...,jqA(e) i11,...,ip .6. Пусть A, B ∈ (GL)r . Тогда: (A + B)(e) = A(e) + B(e) при: e — базис пространства L;(A + B)i1 ,...,ir (e) = Ai1 ,...,ir (e) + Bi1 ,...,ir (e) при: e — базис пространства L, i1 , .
. . , ir = 1, N .7. Пусть λ ∈ K, A ∈ (GL)r . Тогда: (λA)(e) = λA(e) при: e — базис пространства L;(λA)i1 ,...,ir (e) = λAi1 ,...,ir (e) при: e — базис пространства L, i1 , . . . , ir = 1, N .8. Очевидно, (GL)r — линейное пространство над полем K.2.3. ТензорыЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; p, q ∈ Z+ .2.3.
Тензоры111. Будем говорить, что A — тензор порядка pq в пространстве L, если A — это геометрический объект степени q + p в пространстве L, удовлетворяющий условию:j ′ ,...,j ′j′j′j ,...,jiAi′1,...,i′pq (e′ ) = Ai11,...,ipq (e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ).11Здесь: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p , j1′ , .
. . , jq′ = 1, N .2. Обозначим через (T L)qp множество всех тензоров порядка pq в пространстве L.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; p, q ∈ Z+ . Тогда (T L)qp — подпространство пространства (GL)q+p .Доказательство.1. Очевидно, (T L)qp ⊆ (GL)q+p .2. Пусть Θ — нулевой элемент пространства (GL)q+p .
Докажем, что Θ ∈ (T L)qp . Пусть:e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p , j1′ , . . . , jq′ = 1, N . Тогда:j ,...,jj′j′j ′ ,...,j ′iΘi11,...,ipq (e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) = 0 = Θi′1,...,i′pq (e′ ).1L,3.
Пусть A, B ∈ (T L)qp . Докажем,i′1 , . . . , i′p , j1′ , . . . , jq′ = 1, N . Тогда:1что A+B ∈′Пусть: e, e — базисы пространстваj′j′j ,...,j(T L)qp .i(A + B)i11,...,ipq (e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =1 j1′ ′jq′j1 ,...,jqj1 ,...,jqi′= Ai1 ,...,ip (e) + Bi1 ,...,ip (e) αj1 (e , e) · · · αjq (e , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =1=j ′ ,...,j ′Ai′1,...,i′pq (e′ )1+j ′ ,...,j ′Bi′1,...,i′pq (e′ )1= (A +j ′ ,...,j ′B)i′1,...,i′pq (e′ ).14.
Пусть: λ ∈ K, A ∈ (T L)qp . Докажем, что λA ∈ (T L)qp . Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′1 , . . . , i′p , j1′ , . . . , jq′ = 1, N . Тогда:j′j′j ,...,ji(λA)i11,...,ipq (e)αj11 (e′ , e) · · · αjqq (e′ , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =1 j1′ ′jq′j1 ,...,jqi′= λAi1 ,...,ip (e) αj1 (e , e) · · · αjq (e , e)αii′1 (e, e′ ) · · · αi′pp (e, e′ ) =1=j ′ ,...,j ′λAi′1,...,i′pq (e′ )1=j ′ ,...,j ′(λA)i′1,...,i′pq (e′ ).1Замечание (примеры).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K,N ∈ N, dim(L) = N .1. Пусть x ∈ L. Очевидно, [x] ∈ (T L)10 .2. Пусть: δij (e) = δij при: e — базис пространства L, i, j = 1, N . Докажем, что δ ∈ (T L)11 .Пусть: e, e′ — базисы пространства L, i′ , j ′ = 1, N . Тогда:′′′′′δij (e)αjj (e′ , e)αii′ (e, e′ ) = δij αjj (e′ , e)αii′ (e, e′ ) = αij (e′ , e)αii′ (e, e′ ) = δij′ = δij′ (e′ ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; p, q ∈ Z+ , e0 — базис пространства L.1.
Пусть: A, B ∈ (T L)qp , A(e0 ) = B(e0 ). Тогда A = B.2. Пусть A0 ∈ K(N,q+p) . Обозначим:j ,...,jj 0 ,...,j 0ji0i0Ai11,...,ipq (e) = (A0 )i01,...,i0q αjj10 (e, e0 ) · · · αjqq0 (e, e0 )αi11 (e0 , e) · · · αipp (e0 , e).1p1Здесь: e — базис пространства L, i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq = 1, N . Тогда: A ∈ (T L)qp , A(e0 ) = A0 .122. Тензорная алгебраДоказательство.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
