Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Классификация кривых второго порядкаЗамечание. Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полем R, dim(Q) = 2, Q —ориентированное пространство; l — кривая второго порядка в пространстве Q.Очевидно, существует функция F ,удовлетворяющаяусловиям:степени 2 F — полиномв пространстве Q, l = ker(F ). Пусть A(O, e) O,e , B(O, e) O,e , C(O, e) O,e — семействакоэффициентов полинома F .Очевидно, существует точка O, существуют векторы e1 , e2 , существует число r, удовлетворяющие условиям: O ∈ Q, e1 , e2 — правый ортонормированный базис пространстваQ, r = 1, 2, A(O, e) — диагональная матрица, Ak,k (O, e) 6= 0 при k = 1, r; Ak,k (O, e) = 0 приk = r + 1, 2; Bk (O, e) = 0 при k = 1, r.

Тогда:F (p) =rXk=12Ak,k hkO,e (p)+2Xk=r+12Bk hkO,e (p) + C, p ∈ Q.Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описывается уравнением:rXk=1k 2Ak,k (x ) +2X2Bk xk + C = 0.k=r+11. Пусть: A1,1 A2,2 > 0, A1,1 C < 0. Тогда: r = 2; A1,1 , A2,2 6= 0, sgn(A2,2 ) = sgn(A1,1 ),C 6= 0, sgn(C) = − sgn(A1,1 ). Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описывается уравнением:A1,1 (x1 )2 + A2,2 (x2 )2 + C = 0;11.3.

Классификация кривых второго порядка(x1 )2−CA1,11 2+93(x2 )2−CA2,2= 1;(x2 )2(x )2 + q2 = 1.q−CA1,1−CA2,2qБез ограничения общности можно считать, что−CA2,26q−C.A1,1Тогда l — эллипс.2. Пусть: A1,1 A2,2 > 0, A1,1 C = 0. Тогда: r = 2; A1,1 , A2,2 6= 0, sgn(A2,2 ) = sgn(A1,1 ),C = 0.

Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описывается уравнением:A1,1 (x1 )2 + A2,2 (x2 )2 = 0.Так как: A1,1 , A2,2 < 0 либо A1,1 , A2,2 > 0, то l — множество, состоящее из одной точки.3. Пусть: A1,1 A2,2 > 0, A1,1 C > 0.

Тогда: r = 2; A1,1 , A2,2 6= 0, sgn(A2,2 ) = sgn(A1,1 ), C 6=0, sgn(C) = sgn(A1,1 ). Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описываетсяуравнением:A1,1 (x1 )2 + A2,2 (x2 )2 + C = 0.Так как: A1,1 , A2,2 , C < 0 либо A1,1 , A2,2 , C > 0, то l = ∅.4. Пусть: A1,1 A2,2 < 0, A1,1 C 6= 0. Тогда: r = 2; A1,1 , A2,2 6= 0, sgn(A2,2 ) = − sgn(A1,1 ),C 6= 0. Без ограничения общности можно считать, что sgn(C) = − sgn(A1,1 ).

Тогда вкоординатной карте hO,e множество l описывается уравнением:A1,1 (x1 )2 + A2,2 (x2 )2 + C = 0;(x1 )2 (x2 )2− C = 1;−CA1,11 2A2,2(x2 )2(x )2 − q2 = 1.q−CA1,1CA2,2Следовательно, l — гипербола.5. Пусть: A1,1 A2,2 < 0, A1,1 C = 0. Тогда: r = 2; A1,1 , A2,2 6= 0, sgn(A2,2 ) = − sgn(A1,1 ),C = 0. Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описывается уравнением:A1,1 (x1 )2 + A2,2 (x2 )2 = 0;|A1,1 | (x1 )2 − |A2,2 | (x2 )2 = 0;qqqq|A1,1 | · x1 − |A2,2 | · x2|A1,1 | · x1 + |A2,2 | · x2 = 0.ppТак как |A1,1 |, |A2,2 | 6= 0, то l — объединение двух прямых, имеющих одну общуюточку.6. Пусть: A1,1 A2,2 = 0, B2 6= 0.

Тогда: r = 1; A1,1 6= 0, B2 6= 0. Пусть: δ = sgn(A1,1 B2 );p ∈ Q, x = hO,e (p). Тогда:C21 221 2.F (p) = A1,1 (x ) + 2B2 x + C = A1,1 (δx ) − 2δB2 −δx −2δB29411. Кривые и поверхности второго порядкаОбозначим: x̃1 = −δx2 −C,2δB2x̃2 = δx1 . Тогда:F (p) = A1,1 (x̃2 )2 − 2δB2 x̃1 .C, ξ 2 = 0. Тогда:Обозначим: β11 = 0, β21 = −δ, β12 = δ, β22 = 0, ξ 1 = − 2δB2β ∈ R2×2 , β — ортогональная матрица, det(β) > 0, ξ ∈ R2 , x̃ = βx + ξ. Так как:e — правый ортонормированный базис пространства Q, β −1 — ортогональная матрица,det(β −1 ) > 0, то существуют векторы e′1 , e′2 , удовлетворяющие условиям: e′1 , e′2 — правый ортонормированный базис пространства Q, α(e, e′ ) = β −1 .

Тогда α(e′ , e) = β. Очевидно, существует точка O′ , удовлетворяющая условиям: O′ ∈ Q, hO,e (O′ ) = −β −1 ξ. То−−→−−→−−→гда: hO′ ,e′ (O) = O′ O (e′ ) = − OO′ (e′ ) = −α(e′ , e) OO′ (e) = −βhO,e (O′ ) = ξ. Так какx̃ = βx + ξ, то: x̃ = ξ + βx = hO′ ,e′ (O) + α(e′ , e)hO,e (p) = hO′ ,e′ (p). Тогда:F (p) = A1,1 h2O′ ,e′ (p)2− 2δB2 h1O′ ,e′ (p), p ∈ Q.Следовательно, в координатной карте hO′ ,e′ множество l описывается уравнением:A1,1 (x̃2 )2 − 2δB2 x̃1 = 0;B2 1(x̃2 )2 = 2δx̃ .A1,12Так как δ AB1,1> 0, то l — парабола.7. Пусть: A1,1 A2,2 = 0, B2 = 0, A1,1 C < 0. Тогда: r = 1; A1,1 6= 0, B2 = 0, C 6= 0,sgn(C) = − sgn(A1,1 ).

Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описываетсяуравнением:A1,1 (x1 )2 + C = 0;−C(x1 )2 −= 0;A1,1ss−C−C11x += 0.x −A1,1A1,1qТак как A−C6= 0, то l — объединение двух прямых, не имеющих общих точек.1,18. Пусть: A1,1 A2,2 = 0, B2 = 0, A1,1 C = 0. Тогда: r = 1; A1,1 6= 0, B2 = 0, C = 0.Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описывается уравнением:A1,1 (x1 )2 = 0;x1 = 0.Тогда l — прямая.9. Пусть: A1,1 A2,2 = 0, B2 = 0, A1,1 C > 0. Тогда: r = 1; A1,1 6= 0, B2 = 0, C 6= 0,sgn(C) = sgn(A1,1 ). Следовательно, в координатной карте hO,e множество l описываетсяуравнением:A1,1 (x1 )2 + C = 0.Так как: A1,1 , C < 0 либо A1,1 , C > 0, то l = ∅.Список литературы95Список литературы[1] Кадомцев С.

Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.[2] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.[3] Крутицкая Н. Ч., Тихонравов А. В., Шишкин А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями.[4] Винберг Э. Б. Курс алгебры.[5] Постников М. М. Лекции по геометрии.

Семестр II. Линейная алгебра.[6] Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах.[7] Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи.Том II, часть 1, 2..

Характеристики

Список файлов лекций