Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Обозначим: Ak,m = Dk,m при k,m = 1, N ; Bm = DN +1,m при m = 1, N ; C = DN +1,N +1 . Тогда: A ∈ RN ×N , A — симметричнаяматрица, B ∈ RN , C ∈ R,A BT= D.B CЗамечание. Пусть: Q — аффинное пространство над полем R, N ∈ N, dim(Q) = N ; F —полином степени не выше 2 в пространстве Q.Очевидно, существуют объекты O0 , e0 , A0 , B0 , C0 , удовлетворяющие условиям: O0 ∈ Q,e0 — базис пространства Q, A0 ∈ RN ×N , A0 — симметричная матрица, B0 ∈ RN , C0 ∈ R,m00F (p) = (A0 )k0 ,m0 hkO00 ,e0 (p)hmO0 ,e0 (p) + 2(B0 )m0 hO0 ,e0 (p) + C0 , p ∈ Q.8811. Кривые и поверхности второго порядка1.
Обозначим:D0 =A0 B0TB0 C0.Тогда: D0 ∈ R(N +1)×(N +1) , D0 — симметричная матрица,Xk0m0F (p) =(D0 )k0 ,m0 ψO(p)ψO(p), p ∈ Q.0 ,e00 ,e0k0 ,m0 =1,N +1Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q. Обозначим:Xm0(O0 , e0 ; O, e), k, m = 1, N + 1.(D0 )k0 ,m0 βkk0 (O0 , e0 ; O, e)βmDk,m (O, e) =k0 ,m0 =1,N +1Тогда: D(O, e) ∈ R(N +1)×(N +1) , D(O, e) — симметричная матрица,F (p) ==X(D0 )k0 ,m0k0 ,m0 =1,N +1Xk,m=1,N +1 Xkβkk0 (O0 , e0 ; O, e)ψO,e(p)k=1,N +1XXm0mβm(O0 , e0 ; O, e)ψO,e(p) =m=1,N +1m0(O0 , e0 ; O, e)(D0 )k0 ,m0 βkk0 (O0 , e0 ; O, e)βmk0 ,m0 =1,N +1=Xk,m=1,N +1kmψO,e(p)ψO,e(p) =kmDk,m (O, e)ψO,e(p)ψO,e(p), p ∈ Q.˜ то D(O0 , e0 ) = D0 .Так как β(O0 , e0 ; O0 , e0 ) = I,Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q. Очевидно:X′ ′mDk′ ,m′ (O′ , e′ ) =k ′ , m′ = 1, N + 1.Dk,m (O, e)βkk′ (O, e; O′ , e′ )βm′ (O, e; O , e ),k,m=1,N +12.
Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q. Обозначим: Ak,m (O, e) = Dk,m (O, e) при k,m = 1, N ; Bm (O, e) = DN +1,m (O, e) при m = 1, N ; C(O, e) = DN +1,N +1 . Тогда: A(O, e) ∈RN ×N , A(O, e) — симметричная матрица, B(O, e) ∈ RN , C(O, e) ∈ R,mF (p) = Ak,m (O, e)hkO,e (p)hmO,e (p) + 2Bm (O, e)hO,e (p) + C(O, e), p ∈ Q.Очевидно: A(O0 , e0 ) = A0 , B(O0 , e0 ) = B0 , C(O0 , e0 ).Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q. Докажем, что:′mk ′ , m′ = 1, N ;Ak′ ,m′ (O′ , e′ ) = Ak,m (O, e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ), m′Bm′ (O′ , e′ ) = Ak,m (O, e)hkO,e (O′ ) + Bm (O, e) αmm′ = 1, N ;′ (e, e ),′m′C(O′ , e′ ) = Ak,m (O, e)hkO,e (O′ )hmO,e (O ) + 2Bm (O, e)hO,e (O ) + C(O, e).Пусть k ′ , m′ = 1, N .
Тогда:Ak′ ,m′ (O′ , e′ ) = Dk′ ,m′ (O′ , e′ ) ==Xk,m=1,N +1m′ ′Dk,m (O, e)βkk′ (O, e; O′ , e′ )βm′ (O, e; O , e ) =11.2. Кривые и поверхности второго порядка=X89m′ ′Dk,m (O, e)βkk′ (O, e; O′ , e′ )βm′ (O, e; O , e ) +k,m=1,NX+m′ ′DN +1,m (O, e)βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βm′ (O, e; O , e ) +m=1,N+XN +1(O, e; O′ , e′ ) +Dk,N +1 (O, e)βkk′ (O, e; O′ , e′ )βm′k=1,NN +1+ DN +1,N +1 (O, e)βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βm(O, e; O′ , e′ ) =′′m= Ak,m (O, e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ).Пусть m′ = 1, N .
Тогда:Bm′ (O′ , e′ ) = DN +1,m′ (O′ , e′ ) =X=k′ ′m′ ′Dk,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βm′ (O, e; O , e ) =k,m=1,N +1=X′ ′k′ ′mDk,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βm′ (O, e; O , e ) +k,m=1,N+XN +1′ ′m′ ′DN +1,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βm′ (O, e; O , e ) +m=1,N+XN +1k′ ′′ ′Dk,N +1 (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βm′ (O, e; O , e ) +k=1,NN +1N +1′ ′′ ′+ DN +1,N +1 (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βm′ (O, e; O , e ) = m′= Ak,m (O, e)hkO,e (O′ ) + Bm (O, e) αm′ (e, e ).Очевидно:C(O′ , e′ ) = DN +1,N +1 (O′ , e′ ) =X=k′ ′m′ ′Dk,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O, e; O , e ) =k,m=1,N +1=Xk′ ′m′ ′Dk,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O, e; O , e ) +k,m=1,NX+N +1′ ′m′ ′DN +1,m (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O, e; O , e ) +m=1,N+XN +1k′ ′′ ′Dk,N +1 (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O, e; O , e ) +k=1,NN +1N +1′ ′′ ′+ DN +1,N +1 (O, e)βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O, e; O , e ) =′m′= Ak,m (O, e)hkO,e (O′ )hmO,e (O ) + 2Bm (O, e)hO,e (O ) + C(O, e).Θ̃.Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q, A(O, e) 6= Θ̃.
Очевидно, A(O′ , e′ ) 6=Замечание. Пусть: Q — аффинное пространствоR,= N; F — над полем N ∈ N, dim(Q)полином степени не выше 2 в пространстве Q, A(O, e) O,e , B(O, e) O,e , C(O, e) O,e —семейства коэффициентов полинома F .9011. Кривые и поверхности второго порядкаПусть O ∈ Q.
Существует единственная функция AO , удовлетворяющая условиям:~ [AO ](e) = A(O, e) при: e — базис пространстваAO — билинейная форма в пространстве Q,Q. Выберем базис e пространства Q. Так как A(O, e) — симметричная матрица, то AO —симметричная билинейная форма.Пусть O ∈ Q. Существует единственная функция BO , удовлетворяющая условиям:~ [BO ](e) = B(O, e) при: e — базис пространстваBO — линейная форма в пространстве Q,Q.Пусть O ∈ Q. Существует единственное число CO , удовлетворяющее условию: CO =C(O, e) при: e — базис пространства Q. Выберем базис e пространства Q.
Так как C(O, e) ∈R, то CO ∈ R.Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q; p ∈ Q. Тогда:−−→ −→→ k −→ mAk,m (O, e)hkO,e (p)hm(e) = AO Op, Op ;O,e (p) = [AO ]k,m (e) Op (e) Op−−→→mBm (O, e)hm(e) = BO Op ;O,e (p) = [BO ]m (e) Op−→−→ −→F (p) = AO Op, Op + 2BO Op + CO .Пусть O, O′ ∈ Q. Очевидно:AO′ = AO ;−−→′ ~BO′ (x) = AO OO , x + BO (x), x ∈ Q;−−→ −−→−−→CO′ = AO OO′ , OO′ + 2BO OO′ + CO .Замечание. Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полемR, N ∈ N,dim(Q) = N ; F — полином степени не выше 2 в пространстве Q, A(O, e) O,e , B(O, e) O,e ,C(O, e) O,e — семейства коэффициентов полинома F .Пусть O ∈ Q. Существует единственный оператор ÂO , удовлетворяющий условиям:~ Q),~ AO (y, x) = (y, ÂO x) при x, y ∈ Q.~ Так как AO — симметричная билинейÂO ∈ Lin(Q,~ O,ная форма, то ÂO — самосопряжённый оператор.
Существует единственный вектор B~~~~удовлетворяющий условиям: BO ∈ Q, BO (x) = (BO , x) при x ∈ Q. Очевидно:−→−→→~ O, −F (p) = Op, ÂO Op + 2 BOp + CO , p ∈ Q.Пусть O, O′ ∈ Q. Очевидно:CO ′ÂO′ = ÂO ;−−→~ O;~ O′ = ÂO OO′ + BB−−→−−→−−→~ O , OO′ + CO .= OO′ , ÂO OO′ + 2 BЗамечание. Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полем R, N ∈ N, dim(Q) =N ; C — алгебраическизамкнутое поле, F — полином степени 2 в пространстве Q,A(O, e) O,e , B(O, e) O,e , C(O, e) O,e — семейства коэффициентов полинома F .Пусть O′ ∈ Q.
Так как: C — алгебраически замкнутое поле, ÂO′ — самосопряжённыйоператор, то существуют векторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . . , e′N — ортонормированный базис пространства Q, e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора ÂO′ .˜ Тогда: A(O′ , e′ ) = [AO′ ](e′ ) =Так как e′ — ортонормированный базис, то g(e′ ) = I.g(e′ )[ÂO′ ](e′ ) = [ÂO′ ](e′ ).11.2. Кривые и поверхности второго порядка91Так как e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора ÂO′ , то [ÂO′ ](e′ ) — диагональнаяматрица. Так как A(O′ , e′ ) = [ÂO′ ](e′ ), то A(O′ , e′ ) — диагональная матрица.Пусть: Ã = A(O′ , e′ ), B̃ = B(O′ , e′ ), C̃ = C(O′ , e′ ); p ∈ Q, x̃ = hO′ ,e′ (p).
Тогда:k mkF (p) = Ãk,m x̃ x̃ + 2B̃k x̃ + C̃ =NXk 2Ãk,k (x̃ ) +k=1NX2B̃k x̃k + C̃.k=1Так как à 6= Θ̃, то без ограничения общности можно считать, что существует число r,удовлетворяющее условиям: r = 1, N , Ãk,k 6= 0 при k = 1, r; Ãk,k = 0 при k = r + 1, N .Тогда:F (p) =rXk 2Ãk,k (x̃ ) +k=1NXk=1k2B̃k x̃ + C̃ =rXk=1Ãk,kB̃kx̃ +Ãk,kk2+NXk=r+12B̃k x̃k + C̃ −rXB̃k2.Ãk,kk=1Обозначим:Ø = Ã;˜ = 0, k = 1, r;B̃k˜ = B̃ , k = r + 1, N ;B̃kkrXB̃k2˜C̃ = C̃ −;Ãk,kk=1B̃kx̃˜k = x̃k +, k = 1, r;Ãk,kx̃˜k = x̃k , k = r + 1, N .Тогда: Ø ∈ RN ×N , Ø — диагональная матрица, Øk,k 6= 0 при k = 1, r; Øk,k = 0 при˜ ∈ RN , B̃˜ = 0 при k = 1, r; C̃˜ ∈ R; x̃˜ ∈ RN ,k = r + 1, N ; B̃k˜ x̃˜k + C̃.˜F (p) = Øk,m x̃˜k x̃˜m + 2B̃k˜ Обозначим:Обозначим, e′′ = e′ . Тогда: e′′ — базис пространства Q, α(e′′ , e′ ) = I.ξ k = ÃB̃k при k = 1, r; ξ k = 0 при k = r + 1, N .
Тогда: ξ ∈ RN , x̃˜ = x̃ + ξ. Очевидk,kно, существует точка O′′ , удовлетворяющая условиям: O′′ ∈ Q, hO′ ,e′ (O′′ ) = −ξ. Тогда:−−−→−−−→−−−→hO′′ ,e′′ (O′ ) = O′′ O′ (e′′ ) = O′′ O′ (e′ ) = − O′ O′′ (e′ ) = −hO′ ,e′ (O′′ ) = ξ. Так как x̃˜ = x̃ + ξ,то: x̃˜ = ξ + x̃ = hO′′ ,e′′ (O′ ) + α(e′′ , e′ )hO′ ,e′ (p) = hO′′ ,e′′ (p). Тогда:˜ k˜F (p) = Øk,m hkO′′ ,e′′ (p)hmO′′ ,e′′ (p) + 2B̃k hO′′ ,e′′ (p) + C̃, p ∈ Q.˜˜ C(O′′ , e′′ ) = C̃.˜ B(O′′ , e′′ ) = B̃,Так как Ø — симметричная матрица, то: A(O′′ , e′′ ) = Ã,Тогда: A(O′′ , e′′ ) — диагональная матрица, Ak,k (O′′ , e′′ ) 6= 0 при k = 1, r; Ak,k (O′′ , e′′ ) = 0при k = r + 1, N ; Bk (O′′ , e′′ ) = 0 при k = 1, r.Замечание. Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полемR, N ∈ N,dim(Q) = N ; F — полином степени не выше 2 в пространстве Q, A(O, e) O,e , B(O, e) O,e ,C(O, e) O,e — семейства коэффициентов полинома F .9211.
Кривые и поверхности второго порядкаПусть: O ∈ Q, e — ортонормированный базис пространства Q. Обозначим: Ik (O, e) =N −k(−1)αN −k A(O, e) при k = 1, N ; IN +1 (O, e) = det D(O, e) . Очевидно:I1 (O, e) = (−1)N −1 αN −1 A(O, e) = (−1)N −1 (−1)N −1 tr A(O, e) = tr A(O, e) ,IN (O, e) = α0 A(O, e) = det A(O, e) .Утверждение.
Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полем R, N ∈N, dim(Q) = N ; F — полином степени не выше 2 в пространстве Q, A(O, e) O,e ,B(O, e) O,e , C(O, e) O,e — семейства коэффициентов полинома F .Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — ортонормированные базисы пространства Q. Тогда:Ik (O, e) = Ik (O′ , e′ ) при k = 1, N + 1.Доказательство.
Пусть k = 1, N . Так как e, e′ — ортонормированные базисы, то:A(O, e) = [ÂO ](e), A(O′ , e′ ) = [ÂO′ ](e′ ). Тогда:Ik (O′ , e′ ) = (−1)N −k αN −k A(O′ , e′ ) = (−1)N −k αN −k [ÂO′ ](e′ ) = (−1)N −k αN −k [ÂO ](e′ ) == (−1)N −k aN −k (ÂO ) = (−1)N −k αN −k [ÂO ](e) = (−1)N −k αN −k A(O, e) = Ik (O, e).˜ det α(e, e′ ) 2 = 1.Так как e, e′ — ортонормированные базисы, то: α(e, e′ )T α(e, e′ ) = I,Тогда:IN +1 (O′ , e′ ) = det D(O′ , e′ ) = det β(O, e; O′ , e′ )T D(O, e)β(O, e; O′ , e′ ) =22= det β(O, e; O′ , e′ ) det D(O, e) = det α(e, e′ ) IN +1 (O, e) = IN +1 (O, e).11.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
