Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть λ ∈ C. Так как [A](e) = [AC ](f ), то:F̃A (λ) =NXkαk [A](e) λ =k=0NXk=0αk [AC ](f ) λk = FAC (λ).Тогда F̃A = FAC .Так как: A — самосопряжённый оператор, e — ортонормированный базис, то [A](e) —эрмитова матрица. Так как [AC ](f ) = [A](e), то [AC ](f ) — эрмитова матрица. Так как f —ортонормированный базис, то AC — самосопряжённый оператор.Так как: F̃A = FAC , AC — самосопряжённый оператор, то: ker(F̃A ) = ker(FAC ) =SD(AC ) ⊆ R.Замечание.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K; A ∈lin(H, H), A — самосопряжённый оператор, Q — подпространство пространства H, A[Q] ⊆Q.Очевидно: A|Q ∈ lin(Q, Q), D( A|Q ) = D(A)∩Q. Пусть x, y ∈ D( A|Q ). Тогда: (y, A|Q x) =(y, Ax) = (Ay, x) = ( A|Q y, x). Следовательно, A|Q — самосопряжённый оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K,N ∈ N, dim(H) = N ; C — алгебраически замкнутое поле, A ∈ Lin(H, H), A — самосопряжённый оператор.
Существуют векторы e1 , . . . , eN , удовлетворяющие условиям:e1 , . . . , eN — ортогональный базис пространства H, e1 , . . . , eN — собственные векторыоператора A.Доказательство. Используя конечную индукцию, докажем следующее утверждение.Пусть r = 1, N . Существуют числа λ1 , . . . , λr , существуют векторы e1 , . . . , er , удовлетворяющие условиям: λ1 , .
. . , λr ∈ K, e1 , . . . , er ∈ H, e1 , . . . , er — ортогональные векторы,e1 , . . . , er 6= θ, Aek = λk ek при k = 1, r.Докажем, что утверждение справедливо при r = 1. Так как: N ∈ N, dim(H) = N , A —самосопряжённый оператор, то: ker(F̃A ) ⊆ R ⊆ K. Так как C — алгебраически замкнутоеполе, то SD(A) 6= ∅. Тогда существует число λ1 , существует вектор e1 , удовлетворяющиеусловиям: λ1 ∈ K, e1 ∈ H, e1 6= θ, Ae1 = λ1 e1 .
Следовательно: λ1 ∈ K, e1 ∈ H, e1 —ортогональная последовательность векторов, e1 6= θ, Ae1 = λ1 e1 .Пусть: r0 = 1, N − 1, утверждение справедливо при r = r0 . Докажем, что утверждениесправедливо при r = r0 + 1. Так как утверждение справедливо при r = r0 , то существуютчисла λ1 , . . . , λr0 , существуют векторы e1 , . . . , er0 , удовлетворяющие условиям: λ1 , . .
. , λr0 ∈K, e1 , . . . , er0 ∈ H, e1 , . . . , er0 — ортогональные векторы, e1 , . . . , er0 6= θ, Aek = λk ek приk = 1, r0 .Обозначим, Hr0 = L(e1 , . . . , er0 ). Тогда Hr0 — подпространство пространства H. Таккак: e1 , . . . , er0 — ортогональные векторы, e1 , . . . , er0 6= θ, то dim(Hr0 ) = r0 . Так как: Aek =λk ek при k = 1, r0 , то Hr0 — инвариантное подпространство оператора A.Очевидно, Hr⊥0 — подпространство пространства H. Так как dim(Hr0 ) 6= +∞, то Hr0 +Hr⊥0 = H.
Так как Hr0 , Hr⊥0 — ортогональные подпространства, то dim(Hr⊥0 ) = N − r0 . Таккак: A — самосопряжённый оператор, Hr0 — инвариантное подпространство оператора A,то Hr⊥0 — инвариантное подпространство оператора A.Так как: A — самосопряжённый оператор, Hr⊥0 — инвариантное подпространство оператора A, то: A|Hr⊥ ∈ Lin(Hr⊥0 , Hr⊥0 ), A|Hr⊥ — самосопряжённый оператор. Так как: N −r0 ∈ N,00dim(Hr⊥0 ) = N − r0 , A|Hr⊥ — самосопряжённый оператор, то: ker(F̃ A|H ⊥ ) ⊆ R ⊆ K. Так как0r010.1. Самосопряжённый оператор81C — алгебраически замкнутое поле, то SD( A|Hr⊥ ) 6= ∅.
Тогда существует число λr0 +1 ,0существует вектор er0 +1 , удовлетворяющие условиям: λr0 +1 ∈ K, er0 +1 ∈ Hr⊥0 , er0 +1 6= θ,A|Hr⊥ er0 +1 = λr0 +1 er0 +1 . Следовательно: λr0 +1 ∈ K, er0 +1 ∈ H, e1 , . . . , er0 ⊥ er0 +1 , er0 +1 6= θ,0Aer0 +1 = λr0 +1 er0 +1 . Тогда: λ1 , .
. . , λr0 +1 ∈ K, e1 , . . . , er0 +1 ∈ H, e1 , . . . , er0 +1 — ортогональные векторы, e1 , . . . , er0 +1 6= θ, Aek = λk ek при k = 1, r0 + 1.Согласно доказанному утверждению, существуют числа λ1 , . . . , λN , существуют векторы e1 , . . . , eN , удовлетворяющие условиям: λ1 , . . . , λN ∈ K, e1 , . . .
, eN ∈ H, e1 , . . . , eN —ортогональные векторы, e1 , . . . , eN 6= θ, Aek = λk ek при k = 1, N . Очевидно: e1 , . . . , eN —ортогональный базис пространства H, e1 , . . . , eN — собственные векторы оператора A.Теорема (спектральная теорема для линейных самосопряжённых операторов). Пусть:K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈ N, dim(H) = N ;C — алгебраически замкнутое поле, A ∈ Lin(H, H), A — самосопряжённый оператор. Тогда: ker(F̃A ) ⊆ R, ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) = mA (λ) .Замечание (спектральное разложение линейного самосопряжённого оператора). Пусть:K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈ N, dim(H) = N ;C — алгебраически замкнутое поле, A ∈ Lin(H, H), A — самосопряжённый оператор.Так как: C — алгебраически замкнутое поле, A — самосопряжённый оператор, то: C —алгебраически Pзамкнутое поле, ker(F̃A ) ⊆ R ⊆ K, ∀λ ∈ SD(A) gA (λ) = mA (λ) .
Тогда:SD(A) 6= ∅,HA (λ) = H. Очевидно, существует число r ∈ N, существуют числаλ∈SD(A)λ1 , . . . , λr , удовлетворяющие условию: λ1 , . . . , λr — все различные собственные значенияоператораA. Пусть H1 , . . . , Hr — соответствующие собственные подпространства. ТогдаPHk = H. Так как A — самосопряжённый оператор, то H1 , . . .
, Hr — ортогональныеk=1,rподпространства.PHk = H, то: H1 , . . . , Hr —Так как: H1 , . . . , Hr — ортогональные подпространства,k=1,rPдопускают проектирование,PHk = I. Обозначим: Pk = PHk при k = 1, r. Тогдаk=1,rPPk = I.k=1,rПусть x ∈ H. Тогда: X XXXAx = A(Ix) = APk x = APk x =A(Pk x) =λk Pk (x) =k=1,rk=1,r=Xk=1,rСледовательно, A =Pk=1,rk=1,rλk Pk x.λk Pk .k=1,rЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространствоP над полем K; r ∈N, H1 , .
. . , Hr — ортогональные подпространства пространства H,Hk = H. Тогда:k=1,rPH1 , . . . , Hr — допускают проектирование,PHk = I. Обозначим: Pk = PHk при k = 1, r.k=1,rPPk = I.Тогдаk=1,rPПусть: λ1 , . . . , λr ∈ K, A =λk Pk . Тогда A ∈ Lin(H, H).k=1,r8210. Самосопряжённый оператор. Спектральная теорияПусть n = 0. Тогда:An = I =XPk =k=1,rX(λk )n Pk .k=1,rПусть n = 1. Тогда:An = A =Xλk Pk =k=1,rXk1 ,...,kn =1,rF̂ (A) =Xj=0,njaj A =Xj=0,najXjPj=0,n(λk ) Pk =k=1,rXλk1 · · · λkn Pk1 · · · Pkn =Пусть: n ∈ Z+ , a0 , .
. . , an ∈ K, F (x) =B ∈ Lin(H, H). Тогда:(λk )n Pk .k=1,rk=1,rПусть: n ∈ Z, n > 2. Тогда:XnnA ==λk PkX(λk )n Pk .k=1,raj xj при x ∈ K; F̂ (B) =XXk=1,raj (λk )j=0,nПусть: F : K → K, λ1 , . . . , λr ∈ D(F ). Обозначим, F̂ (A) =jPPk =XPaj B j приj=0,nF (λk )Pk .k=1,rF (λk )Pk .k=1,r10.2. Эрмитовы полуторалинейные формы в евклидовом пространствеЗамечание.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈N, dim(H) = N ; C — алгебраически замкнутое поле, A — эрмитова полуторалинейнаяформа в пространстве H. Докажем, что существуют векторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющиеусловиям: e′1 , . . . , e′N — ортонормированный базис пространства H, [A](e′ ) — диагональнаяматрица.Очевидно, существует единственный оператор Â, удовлетворяющий условиям: Â ∈Lin(H, H), A(y, x) = (y, Âx) при x, y ∈ H. Так как A — эрмитова форма, то Â — самосопряжённый оператор. Так как C — алгебраически замкнутое поле, то существуютвекторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие условиям: e′1 , .
. . , e′N — ортонормированный базиспространства H, e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора Â.˜ Тогда: [A](e′ ) = g(e′ )[Â](e′ ) =Так как e′ — ортонормированный базис, то g(e′ ) = I.[Â](e′ ).Так как e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора Â, то [Â](e′ ) — диагональнаяматрица. Так как [A](e′ ) = [Â](e′ ), то [A](e′ ) — диагональная матрица.Пусть e — ортонормированный базис пространстваH. Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, (Â−λI)x =θ; x̃ = he x.
Тогда: λ ∈ K, x̃ ∈ KN , [Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃; x = h−1e x̃. Следовательно:[Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃,[A](e) − λI˜ x̃ = θ̃.10.2. Эрмитовы полуторалинейные формы в евклидовом пространстве83Пусть e — базис пространстваH. Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, (Â − λI)x = θ; x̃ = he x. Тогда:N˜λ ∈ K, x̃ ∈ K , [Â](e) − λI x̃ = θ̃; x = h−1e x̃.
Следовательно:[Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃,g(e)−1 [A](e) − λI˜ x̃ = θ̃.Пусть e — базис пространстваH. Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, (Â − λI)x = θ; x̃ = he x. Тогда:N˜λ ∈ K, x̃ ∈ K , [Â](e) − λI x̃ = θ̃; x = h−1e x̃. Следовательно:[Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃, g(e) [Â](e) − λI˜ x̃ = g(e)θ̃,[A](e) − λg(e) x̃ = θ̃.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) =N ; C — алгебраически замкнутое поле, A, B — эрмитовы полуторалинейные формыв пространстве L, B > 0. Докажем, что существуют векторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие˜условиям: e′1 , .
. . , e′N — базис пространства L, [A](e′ ) — диагональная матрица, [B](e′ ) = I.Так как: B — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L, B > 0, то B —скалярное произведение в пространстве L. Обозначим, H = (L, B). Тогда H — линейноеевклидово пространство над полем K.Очевидно, существует единственный оператор Â, удовлетворяющий условиям: Â ∈Lin(H, H), A(y, x) = (y, Âx) при x, y ∈ H.
Так как A — эрмитова форма, то Â — самосопряжённый оператор. Так как C — алгебраически замкнутое поле, то существуютвекторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . . , e′N — ортонормированный базиспространства H, e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора Â.˜ Тогда: [A](e′ ) = [B](e′ )[Â](e′ ) =Так как e′ — ортонормированный базис, то [B](e′ ) = I.[Â](e′ ).Так как e′1 , . . . , e′N — собственные векторы оператора Â, то [Â](e′ ) — диагональнаяматрица. Так как [A](e′ ) = [Â](e′ ), то [A](e′ ) — диагональная матрица.Пусть e — базис пространстваH.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
