Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда:[By]α [x]γ=Gα,γ [B]αk [y]kγβ,αgk,m [A]mβ G[y]k[x]γ =[x] = Gα,γβ,αβ,α[y]k [x]γ = gk,m [y]k [A]m= Gα,γ gk,m [A]mGα,γ [x]γ =β Gβ Gβγmk [A]m [x]β = gkδ[x]=g[y]= gk,m [y]k [A]mβ γβk,mk,m [y] [Ax] = (y, Ax).(By, x) = Gα,γСледовательно, B — сопряжённый оператор к оператору A.Определение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полемK, dim(H1 ), dim(H2 ) 6= +∞; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Обозначим через A∗ оператор, удовлетворяющий условию: A∗ — сопряжённый оператор к оператору A.Теорема (2-я теорема Фредгольма).
Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовыпространства над полем K, dim(H1 ), dim(H2 ) 6= +∞; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Тогда R(A) =ker(A∗ )⊥ .Доказательство. Докажем, что ker(A∗ ) = R(A)⊥ . Пусть: x ∈ ker(A∗ ), v ∈ R(A). Тогда:x ∈ H2 , A∗ x = θ1 ; существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u ∈ H1 , v = Au.Следовательно: x ∈ H2 , (x, v) = (x, Au) = (A∗ x, u) = (θ1 , u) = 0. Тогда x ∈ R(A)⊥ .Пусть x ∈ R(A)⊥ . Тогда: x ∈ H2 , A∗ x ∈ H1 , A(A∗ x) ∈ R(A). Следовательно:(A∗ x, A∗ x) = x, A(A∗ x) = 0,A∗ x = θ1 ,x ∈ ker(A∗ ).Итак, ker(A∗ ) = R(A)⊥ .⊥Так как dim(H2 ) 6= +∞, то: R(A) = R(A)⊥ = ker(A∗ )⊥ .9.4.
Самосопряжённый оператор759.4. Самосопряжённый операторОпределение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K;A ∈ lin(H, H). Будем говорить, что A — самосопряжённый оператор, если: (y, Ax) = (Ay, x)при x, y ∈ D(A).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K.1. Пусть A ∈ lin(H, H). Пусть A — самосопряжённый оператор. Тогда: (y, Ax) = (Ay, x)при x, y ∈ D(A).
Следовательно: A : H → H, (y, Ax) = (Ay, x) при x, y ∈ D(A). Тогда A —формально сопряжённый оператор к оператору A.Пусть A — формально сопряжённый оператор к оператору A. Тогда: A : H → H,(y, Ax) = (Ay, x) при x, y ∈ D(A). Следовательно: (y, Ax) = (Ay, x) при x, y ∈ D(A). ТогдаA — самосопряжённый оператор.2. Пусть: A1 ∈ lin(H, H), A1 — самосопряжённый оператор, A2 ∈ lin(H, H), A2 — самосопряжённый оператор.
Тогда: A1 ∈ lin(H, H), A1 — формально сопряжённый операторк оператору A1 , A2 ∈ lin(H, H), A2 — формально сопряжённый оператор к операторуA2 . Следовательно: A1 + A2 ∈ lin(H, H), A1 + A2 — формально сопряжённый оператор коператору A1 + A2 . Тогда: A1 + A2 ∈ lin(H, H), A1 + A2 — самосопряжённый оператор.3.
Пусть: λ ∈ R, A ∈ lin(H, H), A — самосопряжённый оператор. Тогда: λ ∈ R, A ∈lin(H, H), A — формально сопряжённый оператор к оператору A. Следовательно: λA ∈lin(H1 , H2 ), λA — формально сопряжённый оператор к оператору λA. Так как λ = λ,то: λA ∈ lin(H1 , H2 ), λA — формально сопряжённый оператор к оператору λA. Тогда:λA ∈ lin(H1 , H2 ), λA — самосопряжённый оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K;A ∈ Lin(H, H), F (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H.
Оператор A является самосопряжённымтогда и только тогда, когда F — эрмитова форма.Доказательство. Пусть A — самосопряжённый оператор. Пусть x, y ∈ H. Тогда:F (x, y) = (x, Ay) = (Ay, x) = (y, Ax) = F (y, x).Следовательно, F — эрмитова форма.Пусть F — эрмитова форма. Пусть x, y ∈ H. Тогда:(y, Ax) = F (y, x) = F (x, y) = (x, Ay) = (Ay, x).Следовательно, A — самосопряжённый оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K,N ∈ N, dim(H) = N ; A ∈ Lin(H, H), e — базис пространства H.
Оператор A являетсясамосопряжённым тогда и только тогда, когда g(e)[A](e) — эрмитова матрица.Доказательство. Обозначим: F (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H. Тогда: F — полуторалинейная форма в пространстве H, [F ](e) = g(e)[A](e).Пусть A — самосопряжённый оператор. Тогда F — эрмитова форма. Следовательно,[F ](e) — эрмитова матрица. Тогда g(e)[A](e) — эрмитова матрица.Пусть g(e)[A](e) — эрмитова матрица. Тогда [F ](e) — эрмитова матрица. Следовательно, F — эрмитова форма. Тогда A — самосопряжённый оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK.769.
Сопряжённый оператор1. Пусть: Q — подпространство пространства H, Q — допускает проектирование.Тогда: PQ ∈ Lin(H, H), R(PQ ) = Q, PQ PQ = PQ , PQ — самосопряжённый оператор.2. Пусть: P ∈ Lin(H, H), P P = P , P — самосопряжённый оператор. Тогда: R(P ) —подпространство пространства H, R(P ) — допускает проектирование, PR(P ) = P .Доказательство.1. Очевидно: PQ ∈ Lin(H, H), R(PQ ) = Q, PQ PQ = PQ . Пусть x, y ∈ H.
Тогда:(y, PQ x) = PQ y + (y − PQ y), PQ x = (PQ y, PQ x) + (y − PQ y, PQ x) = (PQ y, PQ x) == (PQ y, PQ x) + (PQ y, x − PQ x) = PQ y, PQ x + (x − PQ x) = (PQ y, x).Следовательно, PQ — самосопряжённый оператор.2. Очевидно, R(P ) — подпространство пространства H. Пусть x ∈ H.
Тогда P x ∈ R(P ).Пусть v ∈ R(P ). Тогда существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u ∈ H, v = P u.Следовательно:(x − P x, v) = (x − P x, P u) = P (x − P x), u = P x − P (P x), u = P x − (P P )x, u == (P x − P x, u) = (θ, u) = 0.Тогда x − P x ⊥ R(P ). Так как: P x ∈ R(P ), x − P x ⊥ R(P ), то P x — ортогональнаяпроекция вектора x на подпространство R(P ). Очевидно: R(P ) допускает проектирование,PR(P ) = P .9.5. Унитарный операторОпределение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полемK; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Будем говорить, что A — унитарный оператор, если: (Ax, Ay) = (x, y)при x, y ∈ H1 .Определение. Пусть: H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем R; A ∈Lin(H1 , H2 ).
Будем говорить, что A — ортогональный оператор, если: (Ax, Ay) = (x, y)при x, y ∈ H1 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем K;λ ∈ K, |λ| = 1, A ∈ Lin(H1 , H2 ), A — унитарныйоператор.λA ∈ Lin(H1 , H2 ). Очевидно,2Пусть x, y ∈ H1 . Тогда: (λA)x, (λA)y = λA(x), λA(y) = |λ| (Ax, Ay) = (x, y). Итак:λA ∈ Lin(H1 , H2 ), λA — унитарный оператор.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 , H3 — линейные евклидовы пространства над полем K; A1 ∈ Lin(H1 , H2 ), A1 — унитарный оператор, A2 ∈ Lin(H2 , H3 ), A2 — унитарныйоператор.
Очевидно, A2 A1 ∈ Lin(H1 , H2 ). Пусть x, y ∈ H1 . Тогда: (A2 A1 )x, (A2 A1 )y =A2 (A1 x), A2 (A1 y) = (A1 x, A1 y) = (x, y). Итак: A2 A1 ∈ Lin(H1 , H3 ), A2 A1 — унитарныйоператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства надполем K; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Оператор A является унитарным тогда и только тогда,когда: kAxk = kxk при x ∈ H1 .ppДоказательство. Пусть A — унитарный оператор.
Тогда: kAxk = (Ax, Ax) = (x, x) =kxk при x ∈ H1 .Пусть K = R. Пусть: kAxk = kxk при x ∈ H1 . Тогда: (Ax, Ax) = kAxk2 = kxk2 = (x, x)при x ∈ H1 . Обозначим: F1 (x, y) = (x, y), F2 (x, y) = (Ax, Ay) при x, y ∈ H1 ; Q1 (x) =9.5. Унитарный оператор77(x, x), Q2 (x) = (Ax, Ax) при x ∈ H1 .
Тогда: F1 , F2 — симметричные билинейные формыв пространстве H1 , Q1 , Q2 — квадратичные формы в пространстве H1 , Q1 (x) = F1 (x, x),Q2 (x) = F2 (x, x), Q2 (x) = Q1 (x) при x ∈ H1 . Пусть x, y ∈ H1 . Тогда:(Ax, Ay) = F2 (x, y) = 11Q2 (x + y) − Q2 (x) − Q2 (y) = Q1 (x + y) − Q1 (x) − Q1 (y) =22= F1 (x, y) = (x, y).Следовательно, A — унитарный оператор.Пусть K = C.
Пусть: kAxk = kxk при x ∈ H1 . Тогда: (Ax, Ax) = kAxk2 = kxk2 = (x, x)при x ∈ H1 . Обозначим: F1 (x, y) = (x, y), F2 (x, y) = (Ax, Ay) при x, y ∈ H1 ; Q1 (x) = (x, x),Q2 (x) = (Ax, Ax) при x ∈ H1 . Тогда: F1 , F2 — эрмитовы полуторалинейные формы впространстве H1 , Q1 , Q2 — эрмитовы квадратичные формы в пространстве H1 , Q1 (x) =F1 (x, x), Q2 (x) = F2 (x, x), Q2 (x) = Q1 (x) при x ∈ H1 . Пусть x, y ∈ H1 . Тогда:1(Ax, Ay) = F2 (x, y) =Q2 (x + y) − Q2 (x) − Q2 (y) − i Q2 (x + iy) − Q2 (x) − Q2 (y) =21=Q1 (x + y) − Q1 (x) − Q1 (y) − i Q1 (x + iy) − Q1 (x) − Q1 (y) = F1 (x, y) = (x, y).2Следовательно, A — унитарный оператор.Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства надполем K, dim(H1 ) = dim(H2 ), dim(H2 ) 6= +∞; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Оператор A являетсяунитарным тогда и только тогда, когда: A — обратимый оператор, A−1 = A∗ .Доказательство. Пусть A — унитарный оператор. Очевидно, θ1 ∈ ker(A). Пусть x ∈ker(A). Тогда:(x, x) = (Ax, Ax) = (θ2 , θ2 ) = 0,x = θ1 .Следовательно, ker(A) = {θ1 }.
Согласно 1-й теореме Фредгольма, так как: dim(H1 ) =dim(H2 ), dim(H2 ) 6= +∞, A ∈ Lin(H1 , H2 ), ker(A) = {θ1 }, то R(A) = H2 .Пусть x, y ∈ H1 . Тогда: A∗ (Ax), y = (Ax, Ay) = (x, y). В силу произвольности выбораy ∈ H1 получаем, что A∗ (Ax) = x. Так как: D(A∗ ) = H2 = R(A), то: A — обратимыйоператор, A−1 = A∗ .−1Пусть: A — обратимый= A∗ . Пусть x, y ∈ H1 . Тогда: (Ax, Ay) = оператор, A∗−1A (Ax), y = A (Ax), y = (x, y). Следовательно, A — унитарный оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства надполем K, dim(H1 ) = dim(H2 ), N ∈ N, dim(H2 ) = N ; A ∈ Lin(H1 , H2 ), G — ковариантныйметрический тензор пространства H1 , e — базис пространства H1 , g — ковариантныйметрический тензор пространства H2 , f — базис пространства H2 .
Оператор A являTется унитарным тогда и только тогда, когда g(f )[A](f, e)G(e)−1 [A](f, e) = I˜ (здесьI˜ — единичная матрица из множества KN ×N ).Доказательство. Пусть A — унитарный оператор. Пусть x, y ∈ H1 . Тогда:(A∗ A)x, y = A∗ (Ax), y = (Ax, Ay) = (x, y) = (I1 x, y)789. Сопряжённый оператор(здесь I1 — единичная функция на множестве H1 ). В силу произвольности выбора y ∈ H1получаем, что (A∗ A)x = I1 x.
В силу произвольности выбора x ∈ H1 получаем, что A∗ A =I1 . Тогда:[A∗ A](e, e) = [I1 ](e, e),[A∗ ](e, f )[A](f, e) = [I1 ](e, e),T˜g(f )[A](f, e)G(e)−1 [A](f, e) = I.Пусть g(f )[A](f, e)G(e)−1T˜ Тогда:[A](f, e) = I.[A∗ ](e, f )[A](f, e) = [I1 ](e, e),[A∗ A](e, e) = [I1 ](e, e),A∗ A = I1 .Пусть x, y ∈ H1 .
Тогда:(Ax, Ay) = A∗ (Ax), y = (A∗ A)x, y = (I1 x, y) = (x, y).Следовательно, A — унитарный оператор.10. Самосопряжённый оператор. Спектральная теория79Лекция 10. Самосопряжённый оператор. Спектральнаятеория10.1. Самосопряжённый операторУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK; A ∈ lin(H, H), A — самосопряжённый оператор.1. Пусть: Q ⊆ D(A), A[Q] ⊆ Q.
Тогда: Q⊥ — подпространство пространства H,A[Q⊥ ] ⊆ Q⊥ .2. Справедливо утверждение: SD(A) ⊆ R.3. Пусть: λ1 , λ2 — собственные значения оператора A, λ1 6= λ2 , H1 , H2 — соответствующие собственные подпространства. Тогда H1 ⊥ H2 .Доказательство.1. Очевидно, Q⊥ — подпространство пространства H. Пусть x ∈ D(A) ∩ Q⊥ . Пустьu ∈ Q. Тогда: u ∈ D(A), Au ∈ Q.
Следовательно: (Ax, u) = (x, Au) = 0. Тогда Ax ∈ Q⊥ .Итак, A[Q⊥ ] ⊆ Q⊥ .2. Пусть K = R. Тогда: SD(A) ⊆ K = R.Пусть K = C. Пусть λ ∈ SD(A). Тогда существует вектор x, удовлетворяющий условиям: x ∈ D(A), Ax = λx, x 6= θ. Следовательно:(x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x),(x, Ax) = (Ax, x) = (λx, x) = λ(x, x);(λ − λ)(x, x) = 0,λ − λ = 0,λ = λ,λ ∈ R.Итак, SD(A) ⊆ R.3. Пусть: x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 . Тогда:(x1 , Ax2 ) = (x1 , λ2 x2 ) = λ2 (x1 , x2 ),(x1 , Ax2 ) = (Ax1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 );(λ1 − λ2 )(x1 , x2 ) = 0.Так как λ1 6= λ2 , то (x1 , x2 ) = 0.
Итак, H1 ⊥ H2 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K,N ∈ N, dim(H) = N ; A ∈ Lin(H, H), A — самосопряжённый оператор. Тогда ker(F̃A ) ⊆ R.Доказательство. Пусть K = C. Тогда F̃A = FA . Так как A — самосопряжённый оператор,то: ker(F̃A ) = ker(FA ) = SD(A) ⊆ R.Пусть K = R. Очевидно, существуют объекты e, HC , f , AC , удовлетворяющие условиям: e — ортонормированный базис пространства H, HC — линейное евклидово пространство над полем C, dim(HC ) = N , f — ортонормированный базис пространства HC ,AC ∈ Lin(HC , HC ), [AC ](f ) = [A](e).8010. Самосопряжённый оператор. Спектральная теорияОчевидно, D(F̃A ), D(FAC ) = C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
