Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, xr − yr = θ. Тогда: x1 = y1 , . . . , xr = yr .Пусть:∀x1 ∈ Q1 · · · ∀xr ∈ Qr ∀y1 ∈ Q1 · · · ∀yr ∈ Qrx1 + · · · + xr = y1 + · · · + yr =⇒ x1 = y1 ∧ · · · ∧ xr = yr .Пусть: x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr , x1 + · · · + xr = θ. Обозначим, y1 , . . . , yr = θ. Тогда: x1 ∈Q1 , . . . , xr ∈ Qr , y1 ∈ Q1 , . . .
, yr ∈ Qr , x1 + · · · + xr = y1 + · · · + yr . Следовательно: x1 = y1 =θ, . . . , xr = yr = θ. Итак, Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L. Подпространства Q1 , Q2 линейно независимытогда и только тогда, когда Q1 ∩ Q2 = {θ}.Доказательство.
Пусть Q1 , Q2 — линейно независимые подпространства. Так как: θ ∈ Q1 ,θ ∈ Q2 , то θ ∈ Q1 ∩ Q2 . Пусть x ∈ Q1 ∩ Q2 . Тогда: x ∈ Q1 , x ∈ Q2 . Следовательно: x ∈ Q1 ,−x ∈ Q2 , x + (−x) = θ. Так как Q1 , Q2 — линейно независимые подпространства, то x = θ.Итак, Q1 ∩ Q2 = {θ}.Пусть Q1 ∩Q2 = {θ}. Пусть: x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x1 +x2 = θ. Тогда: x1 ∈ Q1 , x1 = −x2 ∈ Q2 ;x2 = −x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 . Следовательно: x1 ∈ Q1 ∩ Q2 , x2 ∈ Q1 ∩ Q2 . Так как Q1 ∩ Q2 = {θ},то: x1 = θ, x2 = θ.
Итак, Q1 , Q2 — линейно независимые подпространства.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ Z,r > 2.1. Пусть: Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства пространства L, r0 =1, r − 1, k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · < kr0 . Тогда Qk1 , . .
. , Qkr0 — линейно независимыеподпространства.2. Пусть: r0 = 1, r − 1, k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · < kr0 , Qk1 , . . . , Qkr0 — линейно независимые подпространства пространства L, Qm = {θ} при: m = 1, r, m ∈/ {k1 , . . . , kr0 }.Тогда Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.3. Пусть: Q1 , . .
. , Qr — линейно независимые подпространства пространства L, σ ∈Sr . Тогда Qσ(1) , . . . , Qσ(r) — линейно независимые подпространства.Доказательство.1. Пусть: x1 ∈ Qk1 , . . . , xr0 ∈ Qkr0 , x1 + · · · + xr0 = θ. Обозначим: yk1 = x1 , . . . , ykr0 = xr0 ,ym = θ при: m = 1, r, m ∈/ {k1 , . . . , kr0 }. Тогда: y1 ∈ Q1 , . . . , yr ∈ Qr , y1 +· · ·+yr = θ. Так какQ1 , . .
. , Qr — линейно независимые подпространства, то y1 , . . . , yr = θ. Тогда: x1 = yk1 =θ, . . . , xr0 = ykr0 = θ. Итак, Qk1 , . . . , Qkr0 — линейно независимые подпространства.2. Пусть: x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr , x1 + · · · + xr = θ. Фиксируем номер: m = 1, r, m ∈/{k1 , . . . , kr0 }. Так как: xm ∈ Qm , Qm = {θ}, то xm = θ. Тогда: xk1 ∈ Qk1 , .
. . , xkr0 ∈ Qkr0 ,xk1 + · · · + xkr0 = θ. Так как Qk1 , . . . , Qkr0 — линейно независимые подпространства, тоxk1 , . . . , xkr0 = θ. Итак, Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.3. Пусть: x1 ∈ Qσ(1) , . . . , xr ∈ Qσ(r) , x1 + · · · + xr = θ. Тогда: xσ−1 (1) ∈ Q1 , . . . , xσ−1 (r) ∈ Qr ,xσ−1 (1) + · · · + xσ−1 (r) = θ. Так как Q1 , .
. . , Qr — линейно независимые подпространства, тоxσ−1 (1) , . . . , xσ−1 (r) = θ. Тогда x1 , . . . , xr = θ. Итак, Qσ(1) , . . . , Qσ(r) — линейно независимыеподпространства.61. Подпространства линейных пространствЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ Z, r > 2,k0 = 1, r, Qk0 — подпространство пространства L, Qm = {θ} при: m = 1, r, m 6= k0 . Таккак: Qk0 — линейно независимое подпространство, Qm = {θ} при: m = 1, r, m 6= k0 , тоQ1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ Z,r > 2, N1 , .
. . , Nr ∈ N.1. Пусть: Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства пространства L;xk,1 , . . . , xk,Nk — линейно независимые векторы подпространства Qk при k = 1, r. Тогдаx1,1 , . . . , x1,N1 , . . . , xr,1 , . . . , xr,Nr — линейно независимые векторы.2. Пусть: Q1 , .
. . , Qr — линейно независимые подпространства пространства L; ek,1 , . . . , ek,Nk — базис подпространства Qk при k=1, r. Тогдаe1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — базис подпространства Q1 + · · · + Qr .3. Пусть: e1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — линейно независимые векторы пространства L; Qk = L(ek,1 , . . . , ek,Nk ) при k = 1, r. Тогда Q1 , . . . , Qr — линейно независимыеподпространства.Доказательство.1. Пусть: αk,m ∈ K при: k = 1, r, m = 1, Nk ;при k = 1, r;Nkr PPPαk,m xk,m = θ.
Тогда:NkPm=1k=1,r,m=1,Nkαk,m xk,m ∈ Qkαk,m xk,m = θ. Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимые под-k=1 m=1NkPпространства, то:αk,m xk,m = θ при k = 1, r. Фиксируем номер k = 1, r. Так какm=1xk,1 , . . . , xk,Nk — линейно независимые векторы, то: αk,m = 0 при m = 1, Nk . Итак,x1,1 , .
. . , x1,N1 , . . . , xr,1 , . . . , xr,Nr — линейно независимые векторы.2. Очевидно:Q1 + · · · + Qr = L(e1,1 , . . . , e1,N1 ) + · · · + L(er,1 , . . . , er,Nr ) == L(e1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr ).Так как: Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства; ek,1 , . . . , ek,Nk — линейнонезависимые векторы подпространства Qk при k = 1, r, то e1,1 , .
. . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr —линейно независимые векторы. Тогда e1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — базис подпространства Q1 + · · · + Qr .3. Пусть: x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr , x1 + · · · + xr = θ. Фиксируем номер k = 1, r. Таккак xk ∈ Qk , то существуют числа αk,1 , . . . , αk,Nk ∈ K, удовлетворяющие условию xk =αk,1 ek,1 + · · · + αk,Nk ek,Nk . Тогда:θ=rXk=1xk =Nkr XXk=1 m=1αk,m ek,m =Xαk,m ek,m .k=1,r,m=1,NkТак как e1,1 , . .
. , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — линейно независимые векторы, то: αk,m = 0 при:k = 1, r, m = 1, Nk . Тогда: xk = αk,1 ek,1 +· · ·+αk,Nk ek,Nk = θ при k = 1, r. Итак, Q1 , . . . , Qr —линейно независимые подпространства.1.3. Линейное дополнение одного подпространства до другого7Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ Z,r > 2, Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства пространства L, dim(Qk ) ∈ Nпри k = 1, r. Тогда dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ).Доказательство. Обозначим: Nk = dim(Qk ) при k = 1, r. Фиксируем номер k = 1, r.Так как Nk ∈ N, то существуют векторы ek,1 , .
. . , ek,Nk , удовлетворяющие условиюek,1 , . . . , ek,Nk — базис подпространства Qk . Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимыеподпространства, то e1,1 , . . . , e1,N1 , . . . , er,1 , . . . , er,Nr — базис подпространства Q1 + · · · + Qr .Тогда dim(Q1 + · · · + Qr ) = N1 + · · · + Nr .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ Z,r > 2, Q1 , . .
. , Qr — линейно независимые подпространства пространства L, dim(Qk ) 6=+∞ при k = 1, r. Тогда dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ).Доказательство. Обозначим: Nk = dim(Qk ) при k = 1, r. Обозначим через r0 количествочисел k, удовлетворяющих условиям: k = 1, r, Nk 6= 0.Пусть r0 = r. Тогда: Nk 6= 0 при k = 1, r. Так как: Q1 , . .
. , Qr — линейно независимыеподпространства, Nk ∈ N при k = 1, r, то dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ).Пусть r0 = 2, r − 1. Тогда существуют числа k1 , . . . , kr0 , удовлетворяющие условиям: k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · < kr0 , Nk1 , . . . , Nkr0 6= 0, Nm = 0 при: m = 1, r,m ∈/ {k1 , . . . , kr0 }. Так как: Nm = 0 при: m = 1, r, m ∈/ {k1 , . .
. , kr0 }, то: Qm = {θ} при:/ {k1 , . . . , kr0 }. Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства,m = 1, r, m ∈то Qk1 , . . . , Qkr0 — линейно независимые подпространства. Так как Nk1 , . . . , Nkr0 ∈ N, тоdim(Qk1 + · · · + Qkr0 ) = Nk1 + · · · + Nkr0 . Тогда:dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Qk1 + · · · + Qkr0 ) = Nk1 + · · · + Nkr0 = N1 + · · · + Nr .Пусть r0 = 0, 1. Тогда существует число k0 , удовлетворяющее условиям: k0 = 1, r,Nm = 0 при: m = 1, r, m 6= k0 . Следовательно: Qm = {θ} при: m = 1, r, m 6= k0 . Тогда:dim(Q1 + · · · + Qr ) = dim(Qk0 ) = dim(Q1 ) + · · · + dim(Qr ).1.3.
Линейное дополнение одного подпространства до другогоОпределение (линейное дополнение одного подпространства до другого). Пусть: K ∈{C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 , Q2 — подпространства пространства L, Q1 ⊆ Q2 . Будем говорить, что D — линейное дополнение подпространства Q1 доподпространства Q2 , если: D — подпространство пространства L, Q2 = Q1 + D; Q1 , D —линейно независимые подпространства.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L, Q1 ⊆ Q2 , dim(Q2 ) 6= +∞, dim(Q1 ) = dim(Q2 ).Тогда Q1 = Q2 .Доказательство. Обозначим, N = dim(Q1 ).
Тогда dim(Q2 ) = N .Пусть N 6= 0. Так как: N ∈ N, dim(Q1 ) = N , то существуют векторы e1 , . . . , eN , удовлетворяющие условиям: e1 , . . . , eN ∈ Q1 , e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы. Так какdim(Q1 ) = N , то e1 , . . . , eN — базис подпространства Q1 . Так как: e1 , . . . , eN ∈ Q1 , Q1 ⊆ Q2 ,то e1 , . . . , eN ∈ Q2 . Так как: e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы, dim(Q2 ) = N , тоe1 , .
. . , eN — базис подпространства Q2 . Очевидно: Q1 = L(e1 , . . . , eN ) = Q2 .Пусть N = 0. Так как dim(Q1 ), dim(Q2 ) = N , то Q1 , Q2 = {θ}. Тогда Q1 = Q2 .81. Подпространства линейных пространствУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L, Q1 ⊆ Q2 , dim(Q2 ) 6= +∞. Тогда существуетлинейное дополнение D подпространства Q1 до подпространства Q2 .Доказательство. Обозначим: N1 = dim(Q1 ), N2 = dim(Q2 ). Так как Q1 ⊆ Q2 , то N1 6 N2 .Пусть: N1 6= 0, N1 6= N2 .
Так как N1 ∈ N, то существуют векторы e1 , . . . , eN1 , удовлетворяющие условию e1 , . . . , eN1 — базис подпространства Q1 . Так как: Q1 ⊆ Q2 , N1 , N2 ∈ N,N1 < N2 , то существуют векторы eN1 +1 , . . . , eN2 , удовлетворяющие условию e1 , . . . , eN2 —базис подпространства Q2 . Обозначим, D = L(eN1 +1 , . .
. , eN2 ). Тогда: D — подпространствопространства L,Q1 + D = L(e1 , . . . , eN1 ) + L(eN1 +1 , . . . , eN2 ) = L(e1 , . . . , eN2 ) = Q2 .Так как: e1 , . . . , eN2 — линейно независимые векторы, Q1 = L(e1 , . . . , eN1 ), D =L(eN1 +1 , . . . , eN2 ), то Q1 , D — линейно независимые подпространства.Пусть N1 = 0. Тогда Q1 = {θ}. Обозначим, D = Q2 . Тогда: D — подпространствопространства L, Q1 + D = {θ} + Q2 = Q2 ; Q1 , D — линейно независимые подпространства.Пусть N1 = N2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
