Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Связь между векторами и линейными формами в евклидовыхпространствахУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK; x1 , x2 ∈ H, ∀y ∈ H (x1 , y) = (x2 , y) . Тогда x1 = x2 .Доказательство. Очевидно: (x1 − x2 , x1 − x2 ) = (x1 , x1 − x2 ) − (x2 , x1 − x2 ) = 0. Тогдаx1 − x2 = θ. Следовательно, x1 = x2 .Замечание (дираковский формализм). Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K.1. Пусть x ∈ H. Обозначим: hx| (u) = (x, u) при u ∈ H. Очевидно, hx| — линейнаяформа в пространстве H.Пусть: x1 , x2 ∈ H, hx1 | = hx2 |.
Пусть u ∈ H. Тогда: (x1 , u) = hx1 | u = hx2 | u = (x2 , u).Следовательно, x1 = x2 .Пусть x1 , x2 ∈ H. Пусть u ∈ H. Тогда: hx1 + x2 | u = (x1 + x2 , u) = (x1 , u) + (x2 , u) =hx1 | u + hx2 | u = hx1 | + hx2 | u. Следовательно, hx1 + x2 | = hx1 | + hx2 |.Пусть: λ ∈ K, x ∈ H. Пусть u ∈ H. Тогда: hλx| u = (λx, u) = λ(x, u) = λ hx| (u) =λ hx| u. Следовательно, hλx| = λ hx|.Пусть x ∈ H.
Обозначим, |xi = x.Пусть x, y ∈ H. Тогда: hx| |yi = hx| y = (x, y).2. Пусть x ∈ H. Обозначим: Fx (u) = (u, x) при u ∈ H. Очевидно, Fx — полулинейнаяформа в пространстве H.Пусть: x1 , x2 ∈ H, Fx1 = Fx2 . Пусть u ∈ H. Тогда: (u, x1 ) = Fx1 u = Fx2 u = (u, x2 ).Следовательно, x1 = x2 .Пусть x1 , x2 ∈ H. Пусть u ∈ H. Тогда: Fx1 +x2 u = (u, x1 + x2 ) = (u, x1 ) + (u, x2 ) =Fx1 u + Fx2 u = (Fx1 + Fx2 )u. Следовательно, Fx1 +x2 = Fx1 + Fx2 .Пусть: λ ∈ K, x ∈ H. Пусть u ∈ H. Тогда: Fλx u = (u, λx) = λ(u, x) = λFx (u) = (λFx )u.Следовательно, Fλx = λFx .Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK, N ∈ N, dim(H) = N ; x ∈ H, e — базис пространства H.1. Пусть: F (u) = (x, u) при u ∈ H. Тогда: F — линейная форма в пространстве H,[F ]k (e) = [x]m (e)gm,k (e) при k = 1, N ([F ](e) = [x](e)T g(e)).2. Пусть: F — линейная форма в пространстве H, [F ]k (e) = [x]m (e)gm,k (e) при k = 1, N([F ](e) = [x](e)T g(e)).
Тогда: F (u) = (x, u) при u ∈ H.3. Пусть: F (u) = (u, x) при u ∈ H. Тогда: F — полулинейная форма в пространствеTH, [F ]k (e) = gk,m (e)[x]m (e) при k = 1, N ([F ](e) = g(e)[x](e) ).4. Пусть: F — полулинейная форма в пространстве H, [F ]k (e) = gk,m (e)[x]m (e) приTk = 1, N ([F ](e) = g(e)[x](e) ). Тогда: F (u) = (u, x) при u ∈ H.Доказательство.1. Очевидно, F — линейная форма в пространстве H. Пусть k = 1, N .
Тогда:[F ]k (e) = F (ek ) = (x, ek ) = [x]m (e)em , ek = [x]m (e)(em , ek ) = [x]m (e)gm,k (e).729. Сопряжённый оператор2. Пусть u ∈ H. Тогда:F (u) = [F ]k (e)[u]k (e) = [x]m (e)gm,k (e) [u]k (e) = gm,k (e)[x]m (e)[u]k (e) = (x, u).3. Очевидно, F — полулинейная форма в пространстве H. Пусть k = 1, N . Тогда:[F ]k (e) = F (ek ) = (ek , x) = ek , [x]m (e)em = [x]m (e)(ek , em ) = gk,m [x]m (e).4. Пусть u ∈ H. Тогда:F (u) = [F ]k (e)[u]k (e) = gk,m [x]m (e) [u]k (e) = gk,m [u]k (e)[x]m (e) = (u, x).Замечание (построение вектора по линейной форме). Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейноеевклидово пространство над полем K, N ∈ N, dim(H) = N ; e — базис пространства H.1.
Пусть F — линейная форма в пространстве H. Пусть: x ∈ H, [x]m (e) = [F ]n (e)g n,m (e)Tпри m = 1, N ([x](e) = [F ](e)g(e)−1 ). Пусть k = 1, N . Тогда:[x]m (e)gm,k (e) = [F ]n (e)g n,m (e) gm,k (e) = [F ]n (e)g n,m (e) gm,k (e) = [F ]n (e)δkn = [F ]k (e).Следовательно: F (u) = (x, u) при u ∈ H.2. Пусть F — полулинейная форма в пространстве H. Пусть: x ∈ H, [x]m (e) =g m,n (e)[F ]n (e) при m = 1, N ([x](e) = g(e)−1 [F ](e)T ). Пусть k = 1, N . Тогда:gk,m (e)[x]m (e) = gk,m (e) g m,n (e)[F ]n (e) = δkn [F ]n (e) = [F ]k (e).Следовательно: F (u) = (u, x) при u ∈ H.9.2. Связь между линейными операторами и полуторалинейнымиформами в евклидовых пространствахЗамечание.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K.Пусть A ∈ Lin(H, H). Обозначим: FA (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H. Очевидно, F —полуторалинейная форма в пространстве H.Пусть: A1 , A2 ∈ Lin(H, H), FA1 = FA2 . Пусть x, y ∈ H. Тогда: (y, A1 x) = FA1 (y, x) =FA2 (y, x) = (y, A2 x). В силу произвольности выбора y ∈ H получаем, что A1 x = A2 x. Всилу произвольности выбора x ∈ H получаем, что A1 = A2 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK, N ∈ N, dim(H) = N ; A ∈ Lin(H, H), e — базис пространства H.1. Пусть: F (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H. Тогда: F — полуторалинейная форма впространстве H, [F ]k,m (e) = gk,n (e)[A]nm (e) при k, m = 1, N ([F ](e) = g(e)[A](e)).2. Пусть: F — полуторалинейная форма в пространстве H, [F ]k,m (e) = gk,n (e)[A]nm (e)при k, m = 1, N ([F ](e) = g(e)[A](e)).
Тогда: F (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H.Доказательство.1. Очевидно, F — полуторалинейная форма в пространстве H. Пусть k, m = 1, N .Тогда:[F ]k,m (e) = F (ek , em ) = (ek , Aem ) = (ek , [A]nm (e)en ) = [A]nm (e)(ek , en ) = gk,n (e)[A]nm (e).9.3. Сопряжённый оператор732. Пусть x, y ∈ H. Тогда:F (y, x) = [F ]k,m (e)[y]k (e)[x]m (e) = gk,n (e)[A]nm (e) [y]k (e)[x]m (e) == gk,n (e)[y]k (e) [A]nm (e)[x]m (e) = gk,n (e)[y]k (e)[Ax]n (e) = (y, Ax).Замечание (построение линейного оператора по полуторалинейной форме). Пусть: K ∈{C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈ N, dim(H) = N ; F —полуторалинейная форма в пространстве H, e — базис пространства H.Пусть: A ∈ Lin(H, H), [A]nm (e) = g n,i (e)[F ]i,m (e) при n, m = 1, N ([A](e) = g(e)−1 [F ](e)).Пусть k, m = 1, N . Тогда:gk,n (e)[A]nm (e) = gk,n (e) g n,i (e)[F ]i,m (e) = δki [F ]i,m (e) = [F ]k,m (e).Следовательно: F (y, x) = (y, Ax) при x, y ∈ H.9.3.
Сопряжённый операторОпределение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем K; A ∈ lin(H1 , H2 ). Будем говорить, что B — формально сопряжённый оператор коператору A, если: B : H2 → H1 , (y, Ax) = (By, x) при: x ∈ D(A), y ∈ D(B).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем K.1. Пусть: A1 ∈ lin(H1 , H2 ), B1 — формально сопряжённый оператор к оператору A1 ,A2 ∈ lin(H1 , H2 ), B2 — формально сопряжённый оператор к оператору A2 .
Очевидно:A1 + A2 ∈ lin(H1 , H2 ), B1 + B2 : H2 → H1 . Пусть: x ∈ D(A1 + A2 ), y ∈ D(B1 + B2 ). Тогда:y, (A1 + A2 )x = (y, A1 x + A2 x) = (y, A1 x) + (y, A2 x) = (B1 y, x) + (B2 y, x) == (B1 y + B2 y, x) = (B1 + B2 )y, x .Итак: A1 + A2 ∈ lin(H1 , H2 ), B1 + B2 — формально сопряжённый оператор к операторуA1 + A2 .2. Пусть: λ ∈ K, A ∈ lin(H1 , H2 ), B — формально сопряжённый оператор к операторуA.
Очевидно: λA ∈ lin(H1 , H2 ), λB : H2 → H1 . Пусть: x ∈ D(λA), y ∈ D(λB). Тогда:y, (λA)x = y, λA(x) = λ(y, Ax) = λ(By, x) = λB(y), x = (λB)y, x .Итак: λA ∈ lin(H1 , H2 ), λB — формально сопряжённый оператор к оператору λA.3. Пусть: A ∈ lin(H1 , H2 ), B — формально сопряжённый оператор к оператору A. Пусть:x ∈ D(A), y ∈ D(B). Тогда:(Ax, y) = (y, Ax) = (By, x) = (x, By).4.
Пусть: A ∈ lin(H1 , H2 ), B — формально сопряжённый оператор к оператору A, B —линейный оператор. Очевидно: B ∈ lin(H2 , H1 ), A : H1 → H2 , (x, By) = (Ax, y) при:y ∈ D(B), x ∈ D(A). Тогда: B ∈ lin(H2 , H1 ), A — формально сопряжённый оператор коператору B.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 , H3 — линейные евклидовы пространства надполем K; A1 ∈ lin(H1 , H2 ), B1 — формально сопряжённый оператор к оператору A1 ,A2 ∈ lin(H2 , H3 ), B2 — формально сопряжённый оператор к оператору A2 . Очевидно:A2 A1 ∈ lin(H1 , H3 ), B1 B2 : H3 → H1 . Пусть: x ∈ D(A2 A1 ), y ∈ D(B1 B2 ). Тогда:y, (A2 A1 )x = y, A2 (A1 x) = (B2 y, A1 x) = B1 (B2 y), x = (B1 B2 )y, x .Итак: A2 A1 ∈ lin(H1 , H3 ), B1 B2 — формально сопряжённый оператор к оператору A2 A1 .749. Сопряжённый операторОпределение.
Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полемK; A ∈ Lin(H1 , H2 ). Будем говорить, что B — сопряжённый оператор к оператору A, если:B : H2 =⇒ H1 , (y, Ax) = (By, x) при: x ∈ H1 , y ∈ H2 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем K;A ∈ Lin(H1 , H2 ), B1 , B2 — сопряжённые операторы к оператору A. Пусть: x ∈ H1 , y ∈ H2 .Тогда: (B1 y, x) = (y, Ax) = (B2 y, x). В силу произвольности выбора x ∈ H1 получаем, чтоB1 y = B2 y.
В силу произвольности выбора y ∈ H2 получаем, что B1 = B2 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 , H2 — линейные евклидовы пространства над полем K,dim(H1 ) = 0 ∨ dim(H2 ) = 0; A ∈ Lin(H1 , H2 ).Очевидно: Ax = θ2 при x ∈ H1 . Пусть: By = θ1 при y ∈ H2 . Очевидно: B ∈ Lin(H2 , H1 ),B — сопряжённый оператор к оператору A.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H1 — линейное евклидово пространство над полемK, N1 ∈ N, dim(H1 ) = N1 ; H2 — линейное евклидово пространство над полем K, N2 ∈ N,dim(H2 ) = N2 ; A ∈ Lin(H1 , H2 ), G — ковариантный метрический тензор пространстваH1 , e — базис пространства H1 , g — ковариантный метрический тензор пространстваH2 , f — базис пространства H2 .β,α (e) при: α = 1, N , k = 1, NПусть: B ∈ Lin(H2 , H1 ), [B]αk (e, f ) = gk,m (f )[A]m12β (f, e)GT([B](e, f ) = g(f )[A](f, e)G(e)−1 ). Тогда B — сопряжённый оператор к оператору A.Доказательство. Пусть: x ∈ H1 , y ∈ H2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
