Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . , λr ∈ K, λ1 , . . . , λr 6= 0.Существуют векторы y1 , . . . , yr , удовлетворяющие условиям: y1 , . . . , yk — ортогональный базис подпространства L(x1 , . . . , xk ) при k = 1, r; y1 = λ1 x1 , yk = λk xk −P (ym ,xk ) при k = 2, r.y(ym ,ym ) mm=1,k−1Доказательство. Докажем утверждение, используя индукцию.
Рассмотрим утверждениепри r = 1. Обозначим, y1 = λ1 x1 . Очевидно, y1 — искомая последовательность векторов.Пусть: r0 ∈ N, утверждение справедливо при r = r0 . Рассмотрим утверждение приr = r0 + 1. Так как утверждение справедливо при r = r0 , то существуют векторыy1 , .
. . , yr0 , удовлетворяющие условиям: y1 , . . ., yk — ортогональный базис подпространстваP (ym ,xk )L(x1 , . . . , xk ) при k = 1, r0 ; y1 = λ1 x1 , yk = λk xk −при k = 2, r0 .y(ym ,ym ) mm=1,k−1P (ym ,xr0 +1 ) ym . Так как y1 , . . . , yr0 ∈ L(x1 , . . .
, xr0 ),Обозначим, yr0 +1 = λr0 +1 xr0 +1 −(ym ,ym )m=1,r0то yr0 +1 ∈ L(x1 , . . . , xr0 +1 ). Пусть k = 1, r0 . Так как y1 , . . . , yr0 — ортогональные векторы,то:X (ym , xr +1 ) 0(yk , yr0 +1 ) = yk , λr0 +1 xr0 +1 −=ym(ym , ym )m=1,r0(yk , xr0 +1 )= λr0 +1 (yk , xr0 +1 ) −(yk , yk ) = 0.(yk , yk )Предположим, что yr0 +1 = θ. Так как: λr0 +1 6= 0, y1 , . .
. , yr0 ∈ L(x1 , . . . , xr0 ), то:X (ym , xr +1 ) 0ym = θ,λr0 +1 xr0 +1 −(ym , ym )m=1,r0X (ym , xr +1 )0xr0 +1 −ym = θ,(ym , ym )m=1,r0xr0 +1 =X (ym , xr +1 )0ym ,(ym , ym )m=1,r0xr0 +1 ∈ L(x1 , . . . , xr0 ).Тогда x1 , . . . , xr0 +1 — линейно зависимые векторы (что противоречит условию). Итак,yr0 +1 6= θ.Очевидно: y1 , . . . , yr0 +1 ∈ L(x1 , .
. . , xr0 +1 ), y1 , . . . , yr0 +1 — ортогональные векторы, y1 , . . . , yr0 +1 6= θ. Так как x1 , . . . , xr0 +1 — линейно независимые векторы, тоdim L(x1 , . . . , xr0 +1 ) = r0 + 1. Тогда y1 , . . . , yr0 +1 — ортогональный базис подпространства L(x1 , . . . , xr0 +1 ). Так как:базис подпространстваr0 +1 — ортогональный y1 , . . .
, yP(ym ,xr0 +1 )ym , то y1 , . . . , yr0 +1 — искомая поL(x1 , . . . , xr0 +1 ), yr0 +1 = λr0 +1 xr0 +1 −(ym ,ym )m=1,r0следовательность векторов.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полемK; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ H, x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, λ1 , . . . , λr ∈ K,λ1 , . . . , λr 6= 0.8.2. Линейные псевдоевклидовы пространстваПусть: y1 , . . .
, yr ∈ H, y1 , . . . , yr 6= θ, y1 = λ1 x1 , yk = λk xk −k = 2, r.Пусть: z1 , . . . , zr ∈ H, z1 , . . . , zr 6= θ, z1 = λ1 x1 , zk = λk xk −k = 2, r.Тогда: y1 = z1 , . . . , yr = zr .67P(ym ,xk )y(ym ,ym ) mприP(zm ,xk )z(zm ,zm ) mприm=1,k−1m=1,k−18.2. Линейные псевдоевклидовы пространстваОпределение. Пусть: K ∈ {C, R}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; F — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L, det [F ](e) 6= 0при: e — базис пространства L. Далее будем писать (x, y) вместо F (x, y). Будем говорить,что F — псевдоскалярное произведение в пространстве L. Будем говорить, что (L, F ) —линейное псевдоевклидово пространство над полем K.Замечание.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное псевдоевклидово пространство над полемK.1. Пусть x ∈ H. Будем говорить, что x — изотропный вектор, если (x, x) = 0. Будемговорить, что x — неизотропный вектор, если (x, x) 6= 0.2. Пусть Q ⊆ H. Будем говорить, что Q — изотропное множество, если ∀x x ∈ Q ∧ x 6=θ =⇒ (x, x) = 0. Будем говорить, что Q — неизотропное множество, если ∀x x ∈ Q ∧ x 6=θ =⇒ (x, x) 6= 0 .3. Пусть x, y ∈ H. Будем писать x ⊥ y, если (x, y) = 0.4. Пусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ H. Будем говорить, что x1 , . .
. , xr — псевдоортогональнаяпоследовательность векторов, если: xk ⊥ xm при: k, m = 1, r, k 6= m. Будем говорить, чтоx1 , . . . , xr — псевдоортонормированная последовательность векторов, если: xk ⊥ xm при:k, m = 1, r, k 6= m; (xk , xk ) = ±1 при k = 1, r.Пусть: r ∈ N, x1 , .
. . , xr — псевдоортогональные векторы пространства H, x1 , . . . , xr —неизотропные векторы. Докажем,x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.P чтоПусть: C 1 , . . . , C r ∈ K,C m xm = θ. Фиксируем номер k = 1, r. Так как xk —m=1,rнеизотропный вектор, то:xk ,Xm=1,rC m xm = (xk , θ),C k (xk , xk ) = 0,C k = 0.Итак, x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.5. Пусть: x ∈ H, Q ⊆ H.
Будем писать x ⊥ Q, если ∀u ∈ Q(x ⊥ u).6. Пусть Q1 , Q2 ⊆ H. Будем писать Q1 ⊥ Q2 , если ∀x1 ∈ Q1 ∀x2 ∈ Q2 (x1 ⊥ x2 ).7. Пусть: r ∈ N, Q1 , . . . , Qr ⊆ H. Будем говорить, что Q1 , . . . , Qr — псевдоортогональнаяпоследовательность множеств, если: Qk ⊥ Qm при: k, m = 1, r, k 6= m.Пусть: r ∈ N, Q1 , . . .
, Qr — псевдоортогональные подпространства пространства H,Q1 , . . . , Qr — неизотропные подпространства. Докажем, что Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.688. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространстваПусть: x1 ∈ Q1 , . . .
, xr ∈ Qr ,Pxm = θ. Фиксируем номер k = 1, r. Так как Qk —m=1,rнеизотропное подпространство, то:Xxk ,xm = (xk , θ),m=1,r(xk , xk ) = 0,xk = θ.Итак, Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.8. Пусть Q ⊆ H. Обозначим, Q⊥ = {x : x ∈ H ∧ x ⊥ Q}. Будем говорить, что Q⊥ —псевдоортогональное дополнение множества Q.Пусть Q ⊆ H. Докажем, что Q⊥ — подпространство пространства H.Очевидно: Q⊥ ⊆ H, θ ∈ Q⊥ .Пусть: x1 , x2 ∈ Q⊥ , u ∈ Q. Тогда: x1 , x2 ∈ H, (x1 , u), (x2 , u) = 0. Следовательно:x1 + x2 ∈ H, (x1 + x2 , u) = (x1 , u) + (x2 , u) = 0.
Тогда x1 + x2 ∈ Q⊥ .Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q⊥ , u ∈ Q. Тогда: λ ∈ K, x ∈ H, (x, u) = 0. Следовательно: λx ∈ H,(λx, u) = λ(x, u) = 0. Тогда λx ∈ Q⊥ . Итак, Q⊥ — подпространство пространства H.Пусть: Q ⊆ H; Q0 ⊆ Q⊥ . Очевидно: Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q.Пусть: Q ⊆ H; Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q. Очевидно, Q0 ⊆ Q⊥ .Пусть Q ⊆ H. Тогда Q⊥ ⊥ Q. Следовательно, Q ⊥ Q⊥ . Тогда Q ⊆ (Q⊥ )⊥ .Пусть: Q ⊆ H, Q — неизотропное множество; Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q, Q0 +Q = H. Докажем,что Q0 = Q⊥ .Очевидно, Q0 ⊆ Q⊥ . Пусть x ∈ Q⊥ .
Тогда x ∈ H. Так как Q0 +Q = H, то существуютвекторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям: x1 ∈ Q0 , x2 ∈ Q, x = x1 +x2 . Тогда: (x, x2 ) = 0,(x1 + x2 , x2 ) = 0, (x1 , x2 ) + (x2 , x2 ) = 0, (x2 , x2 ) = 0, x2 = θ. Следовательно: x = x1 + x2 =x1 ∈ Q0 . Тогда Q⊥ ⊆ Q0 . Так как: Q0 ⊆ Q⊥ , Q⊥ ⊆ Q0 , то Q0 = Q⊥ .Пусть: Q ⊆ H, Q + Q⊥ = H, Q⊥ — неизотропное множество. Тогда: Q⊥ ⊥ Q, Q +⊥Q = H, Q⊥ — неизотропное множество.
Следовательно: Q ⊥ Q⊥ , Q + Q⊥ = H, Q⊥ —неизотропное множество. Тогда Q = (Q⊥ )⊥ .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈N, dim(H) = N .1. Пусть e — базис пространства H. Обозначим: gk,m (e) = (ek , em ) при k, m = 1, N .Тогда g(e) — матрица псевдоскалярного произведения как полуторалинейной формы.
Таккак псевдоскалярное произведение есть эрмитова полуторалинейная форма, то g(e) —эрмитова матрица. По определению псевдоскалярного произведения, det g(e) 6= 0.Пусть e — псевдоортогональный базис. Тогда: g(e) — диагональная матрица, gk,k (e) =(ek , ek ) при k = 1, N . Так как det g(e) 6= 0, то e1 , . . . , eN — неизотропные векторы.Пусть g(e) — диагональная матрица.
Тогда e — псевдоортогональный базис.Пусть e — псевдоортонормированный базис. Тогда: g(e) — диагональная матрица,gk,k (e) = ±1 при k = 1, N .Пусть: g(e) — диагональная матрица, gk,k (e) = ±1 при k = 1, N . Тогда e — псевдоортонормированный базис.Пусть: x, y ∈ H, x̃ = [x](e), ỹ = [y](e). Тогда:(x, y) = gk,m (e)x̃k ỹ m .8.2. Линейные псевдоевклидовы пространства69Пусть e — псевдоортогональный базис. Тогда:(x, y) =Xgk,k (e)x̃k ỹ k =X(ek , ek )x̃k ỹ k .k=1,Nk=1,NСогласно теореме Лагранжа, так как псевдоскалярное произведение есть эрмитоваполуторалинейная форма, то существуют векторы e1 , .
. . , eN , удовлетворяющие условиям:e1 , . . . , eN — базис пространства H, g(e) — диагональная матрица. Тогда e — псевдоортогональный базис. Обозначим: e′k = √ 1ek при k = 1, N . Очевидно, e′ — псевдоорто|(ek ,ek )|нормированный базис.m′2. Пусть e, e′ — базисы пространства H. Тогда: gk′ ,m′ (e′ ) = gk,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) приk ′ , m′ = 1, N ; g(e′ ) = α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ ).
Будем говорить, что g — ковариантный метрический тензор пространства H.k,m=1,N= g(e)−1. Так как3. Пусть e — базис пространства H. Обозначим, g k,m (e)−1g(e) — эрмитоваматрица, то g(e) — эрмитова матрица. Так как det g(e) 6= 0, то−1det g(e)6= 0.Пусть e — псевдоортогональный базис.
Тогда: g(e)−1 — диагональная матрица,k,kg (e) = (ek1,ek ) при k = 1, N .Пусть g(e)−1 — диагональная матрица. Тогда e — псевдоортогональный базис.Пусть e — псевдоортонормированный базис. Тогда: g(e)−1 — диагональная матрица,g k,k (e) = ±1 при k = 1, N .Пусть: g(e)−1 — диагональная матрица, g k,k (e) = ±1 при k = 1, N . Тогда e — псевдоортонормированный базис.Пусть: x ∈ H, x̃ = [x](e). Пусть m = 1, N . Тогда:(em , x) = (em , x̃n en ) = x̃n (em , en ) = gm,n (e)x̃n ,gm,n (e)x̃n = (em , x).Пусть k = 1, N . Тогда:g k,m (e)gm,n (e)x̃n = g k,m (e)(em , x),δnk x̃n = g k,m (e)(em , x),x̃k = g k,m (e)(em , x).Очевидно:x = x̃k ek = g k,m (e)(em , x)ek ,x = g k,m (e)(em , x)ek .Пусть e — псевдоортогональный базис. Тогда:(ek , x);(ek , ek )X (ek , x)Xek .g k,k (ek , x)ek =x=(ek , ek )x̃k = g k,k (ek , x) =k=1,Nk=1,N708.
Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства4. Пусть e, e′ — базисы пространства H. Тогда:−1g(e′ )−1 = α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ )= α(e′ , e)g(e)−1 α(e′ , e)T .′′′m′ (e′ , e) при k ′ , m′ = 1, N . Будем говорить, чтоСледовательно:g k ,m (e′ ) = g k,m (e)αkk (e′ , e)αmg(e)−1 e — контравариантный метрический тензор пространства H.9. Сопряжённый оператор71Лекция 9. Сопряжённый оператор9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
