Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно:x1 + x2 ∈ H, (x1 + x2 , u) = (x1 , u) + (x2 , u) = 0. Тогда x1 + x2 ∈ Q⊥ .Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q⊥ , u ∈ Q. Тогда: λ ∈ K, x ∈ H, (x, u) = 0. Следовательно: λx ∈ H,(λx, u) = λ(x, u) = 0. Тогда λx ∈ Q⊥ . Итак, Q⊥ — подпространство пространства H.Пусть: Q ⊆ H; Q0 ⊆ Q⊥ .
Очевидно: Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q.Пусть: Q ⊆ H; Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q. Очевидно, Q0 ⊆ Q⊥ .Пусть Q ⊆ H. Тогда Q⊥ ⊥ Q. Следовательно, Q ⊥ Q⊥ . Тогда Q ⊆ (Q⊥ )⊥ .Пусть: Q ⊆ H; Q0 ⊆ H, Q0 ⊥ Q, Q0 + Q = H. Докажем, что Q0 = Q⊥ .Очевидно, Q0 ⊆ Q⊥ . Пусть x ∈ Q⊥ . Тогда x ∈ H. Так как Q0 +Q = H, то существуютвекторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям: x1 ∈ Q0 , x2 ∈ Q, x = x1 +x2 . Тогда: (x, x2 ) = 0,(x1 + x2 , x2 ) = 0, (x1 , x2 ) + (x2 , x2 ) = 0, (x2 , x2 ) = 0, x2 = θ. Следовательно: x = x1 + x2 =x1 ∈ Q0 . Тогда Q⊥ ⊆ Q0 . Так как: Q0 ⊆ Q⊥ , Q⊥ ⊆ Q0 , то Q0 = Q⊥ .Пусть: Q ⊆ H, Q + Q⊥ = H.
Тогда: Q⊥ ⊥ Q, Q + Q⊥ = H. Следовательно: Q ⊥ Q⊥ ,Q + Q⊥ = H. Тогда Q = (Q⊥ )⊥ .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K.1. Пусть: Q — подпространство пространства H, x ∈ H. Будем говорить, что x′ —ортогональная проекция вектора x на подпространство Q, если: x′ ∈ Q, x − x′ ⊥ Q. Будемговорить, что x′′ — перпендикуляр вектора x к подпространству Q, если: x′′ ∈ H, x′′ ⊥ Q,x − x′′ ∈ Q.Пусть: Q — подпространство пространства H, x ∈ H. Пусть x′ — ортогональнаяпроекция вектора x на подпространство Q. Тогда: x′ ∈ Q, x − x′ ⊥ Q.
Следовательно:x − x′ ∈ H, x − x′ ⊥ Q, x − (x − x′ ) = x′ ∈ Q. Тогда x − x′ — перпендикуляр вектора x кподпространству Q.Пусть x′′ — перпендикуляр вектора x к подпространству Q. Тогда: x′′ ∈ H, x′′ ⊥ Q,′′x− x ∈ Q. Следовательно: x− x′′ ∈ Q, x− (x− x′′ ) = x′′ ⊥ Q. Тогда x− x′′ — ортогональнаяпроекция вектора x на подпространство Q.Пусть x′ — ортогональная проекция вектора x на подпространство Q. Тогда: x′ ∈ Q,x − x′ ∈ Q⊥ .
Следовательно: x − x′ ∈ Q⊥ , x − (x − x′ ) = x′ ∈ Q ⊆ (Q⊥ )⊥ . Тогда x − x′ —ортогональная проекция вектора x на подпространство Q⊥ .8.1. Линейные евклидовы пространства63Пусть x′1 , x′2 — ортогональные проекции вектора x на подпространство Q. Тогда: x′1 ,x′2 ∈ Q, x − x′1 , x − x′2 ⊥ Q. Следовательно:(x′1 − x′2 , x′1 − x′2 ) = (x − x′2 ) − (x − x′1 ), x′1 − x′2 == (x − x′2 , x′1 ) − (x − x′2 , x′2 ) − (x − x′1 , x′1 ) + (x − x′1 , x′2 ) = 0.Тогда x′1 − x′2 = θ.
Следовательно, x′1 = x′2 .Пусть Q — подпространство пространства H. Пусть: x ∈ H, x′ — ортогональнаяпроекция вектора x на подпространство Q, y ∈ H, y ′ — ортогональная проекция вектораy на подпространство Q. Тогда: x′ , y ′ ∈ Q, x − x′ , y − y ′ ∈ Q⊥ . Следовательно: x′ + y ′ ∈ Q,(x + y) − (x′ + y ′ ) = (x − x′ ) + (y − y ′ ) ∈ Q⊥ . Тогда x′ + y ′ — ортогональная проекция вектораx + y на подпространство Q.Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, x′ — ортогональная проекция вектора x на подпространствоQ.
Тогда: λ ∈ K, x′ ∈ Q, x − x′ ∈ Q⊥ . Следовательно: λx′ ∈ Q, λx − λx′ = λ(x − x′ ) ∈ Q⊥ .Тогда λx′ — ортогональная проекция вектора λx на подпространство Q.Пусть: Q — подпространство пространства H, x ∈ Q. Тогда: x ∈ Q, x − x = θ ⊥ Q.Следовательно, x — ортогональная проекция вектора x на множество Q.Пусть: r ∈ Z, r > 2, Q1 , . .
. , Qr — ортогональные подпространства пространства H,⊥x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr , x = x1 + · · · + xr . Пусть k = 1, r. Тогда: xm ∈ QPm ⊆ Qk при: m = 1, r,m 6= k. Следовательно: xk ∈ Qk , x − xk = (x1 + · · · + xr ) − xk =xm ∈ Q⊥k . Тогдаm=1,r, m6=kxk — ортогональная проекция вектора x на подпространство Qk .2. Пусть Q — подпространство пространства H. Будем говорить, что Q допускает проектирование, если ∀x ∈ H∃x′ (x′ ∈ Q ∧ x − x′ ⊥ Q).Пусть: Q — подпространство пространства H, Q допускает проектирование. Пусть:x ∈ H, x′ — ортогональная проекция вектора x на подпространство Q. Обозначим,PQ (x) = x′ . Будем говорить, что PQ — оператор ортогонального проектирования на подпространство Q.Пусть: Q — подпространство пространства H, Q допускает проектирование.
Очевидно: PQ ∈ Lin(H, H), R(PQ ) ⊆ Q, PQ x = x при x ∈ Q.Пусть x ∈ Q. Тогда: x ∈ H, x = PQ x. Следовательно, x ∈ R(PQ ). Тогда Q ⊆ R(PQ ).Так как: R(PQ ) ⊆ Q, Q ⊆ R(PQ ), то R(PQ ) = Q.Пусть x ∈ H. Тогда PQ x ∈ Q. Следовательно: (PQ PQ )x = PQ PQ x = PQ x. ТогдаPQ PQ = PQ .3. Пусть: r ∈ N, Q1 , .
. . , Qr — ортогональные подпространства пространства H.Пусть Q1 + · · · + Qr = H. Очевидно: Q1 , . . . , Qr — допускают проектирование,x = PQ1 x + · · · + PQr x при x ∈ H. Тогда: Q1 , . . . , Qr — допускают проектирование,PQ1 + · · · + PQr = I.Пусть: Q1 , . . . , Qr допускают проектирование, PQ1 + · · · + PQr = I. Докажем, чтоQ1 + · · · + Qr = H.Очевидно, Q1 + · · · + Qr ⊆ H. Пусть x ∈ H. Тогда: PQ1 x ∈ Q1 , . . .
, PQr x ∈ Qr ,x = Ix = (PQ1 + · · · + PQr )x = PQ1 x + · · · + PQr x. Следовательно, x ∈ Q1 + · · · + Qr . ТогдаH ⊆ Q1 + · · · + Qr . Так как: Q1 + · · · + Qr ⊆ H, H ⊆ Q1 + · · · + Qr , то Q1 + · · · + Qr = H.Пусть: Q — подпространство пространства H, Q допускает проектирование. Очевидно: Q⊥ допускает проектирование, PQ⊥ (x) = x − PQ x при x ∈ H. Тогда: Q⊥ допускаетпроектирование, PQ + PQ⊥ = I.Так как: Q, Q⊥ — ортогональные подпространства пространства H; Q, Q⊥ допускаютпроектирование, PQ + PQ⊥ = I, то Q + Q⊥ = H.Так как Q + Q⊥ = H, то Q = (Q⊥ )⊥ .648.
Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространстваЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K, N ∈N, dim(H) = N .1. Пусть e — базис пространства H. Обозначим: gk,m (e) = (ek , em ) при k, m = 1, N . Тогдаg(e) — матрица скалярного произведения как полуторалинейной формы. Так как скалярное произведение есть эрмитова полуторалинейная форма, то g(e) — эрмитова матрица.Согласно критерию Сильвестра, так как скалярноепроизведениеесть положительная эрмитова полуторалинейная форма, то ∆1 g(e) , . .
. , ∆N g(e) > 0.Пусть e — ортогональный базис. Тогда: g(e) — диагональная матрица, gk,k (e) =(ek , ek ) = kek k2 при k = 1, N .Пусть g(e) — диагональная матрица. Тогда e — ортогональный базис.Пусть e — ортонормированный базис. Тогда g(e) = I˜ (здесь I˜ — единичная матрицаиз множества KN ×N ).˜ Тогда e — ортонормированный базис.Пусть g(e) = I.Пусть: x, y ∈ H, x̃ = [x](e), ỹ = [y](e). Тогда:(x, y) = gk,m (e)x̃k ỹ m .Пусть e — ортогональный базис. Тогда:XXX(x, y) =gk,k (e)x̃k ỹ k =(ek , ek )x̃k ỹ k =kek k2 x̃k ỹ k .k=1,Nk=1,Nk=1,NПусть e — ортонормированный базис.
Тогда:Xx̃k ỹ k .(x, y) =k=1,NСогласно теореме Лагранжа, так как скалярное произведение есть эрмитова полуторалинейная форма, то существуют векторы e1 , . . . , eN , удовлетворяющие условиям:e1 , . . . , eN — базис пространства H, g(e) — диагональная матрица. Тогда e — ортогональный базис. Обозначим: e′k = ke1k k ek при k = 1, N . Очевидно, e′ — ортонормированныйбазис.′m2. Пусть e, e′ — базисы пространства H. Тогда: gk′ ,m′ (e′ ) = gk,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) приk ′ , m′ = 1, N ; g(e′ ) = α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ ). Будем говорить, что g — ковариантный метрический тензор пространства H.Пусть e, e′ — базисы пространства H. Пусть e, e′ — ортонормированные базисы.˜Тогда: g(e′ ) = α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ ), I˜ = α(e, e′ )T Iα(e,e′ ), I˜ = α(e, e′ )T α(e, e′ ).
Следовательно,′α(e, e ) — унитарная матрица.Пусть: e — ортонормированный базис, α(e, e′ ) — унитарная матрица. Тогда: g(e′ ) =˜ Следовательно, e′ — ортонор˜α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ ) = α(e, e′ )T Iα(e,e′ ) = α(e, e′ )T α(e, e′ ) = I.мированный базис.k,m=1,N= g(e)−1. Так как3.
Пусть e — базис пространства H. Обозначим, g k,m (e)−1g(e) — эрмитоваматрица, то g(e) — эрмитова матрица. Так как det g(e) > 0, то−1det g(e)> 0.Пусть e — ортогональный базис. Тогда: g(e)−1 — диагональная матрица, g k,k (e) =1= ke1k2 при k = 1, N .(ek ,ek )kПусть g(e)−1 — диагональная матрица. Тогда e — ортогональный базис.˜Пусть e — ортонормированный базис. Тогда g(e)−1 = I.˜ Тогда e — ортонормированный базис.Пусть g(e)−1 = I.8.1. Линейные евклидовы пространства65Пусть: x ∈ H, x̃ = [x](e). Пусть m = 1, N .
Тогда:(em , x) = (em , x̃n en ) = x̃n (em , en ) = gm,n (e)x̃n ,gm,n (e)x̃n = (em , x).Пусть k = 1, N . Тогда:g k,m (e)gm,n (e)x̃n = g k,m (e)(em , x),δnk x̃n = g k,m (e)(em , x),x̃k = g k,m (e)(em , x).Очевидно:x = x̃k ek = g k,m (e)(em , x)ek ,x = g k,m (e)(em , x)ek .Пусть e — ортогональный базис. Тогда:(ek , x)(ek , x), k = 1, N ;=(ek , ek )kek k2X (ek , x)XX (ek , x)g k,k (ek , x)ek =x=ek =ek .(ek , ek )kek k2x̃k = g k,k (ek , x) =k=1,Nk=1,Nk=1,NПусть e — ортонормированный базис. Тогда:x̃k = (ek , x), k = 1, N ;X(ek , x).x=k=1,N′4. Пусть e, e — базисы пространства H.
Тогда:−1g(e′ )−1 = α(e, e′ )T g(e)α(e, e′ )= α(e′ , e)g(e)−1 α(e′ , e)T .′′′m′ (e′ , e) при k ′ , m′ = 1, N . Будем говорить, чтоСледовательно:g k ,m (e′ ) = g k,m (e)αkk (e′ , e)αmg(e)−1 e — контравариантный метрический тензор пространства H.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K; Q —подпространство пространства H, dim(Q) = 0. Очевидно: Q допускает проектирование,PQ x = θ при x ∈ H.Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K;Q — подпространство пространства H, N1 ∈ N, dim(Q) = N1 ; G — ковариантный метрический тензор подпространства Q, e — базис подпространства Q. Тогда: Q допускаетпроектирование, PQ x = Gα,β (eβ , x)eα при x ∈ H.Доказательство. Пусть x ∈ H. Обозначим, x′ = Gα,β (eβ , x)eα . Очевидно, x′ ∈ Q. Пустьu ∈ Q. Тогда:(x − x′ , u) = (x, u) − (x′ , u) = (x, u) − Gα,β (eβ , x)eα , u = (x, u) − Gα,β (eβ , x)(eα , u) == (x, u) − Gβ,α (x, eβ )(eα , u) = (x, u) − x, Gβ,α (eα , u)eβ = (x, u) − (x, u) = 0.Следовательно, x−x′ ⊥ Q. Так как: x′ ∈ Q, x−x′ ⊥ Q, то x′ — ортогональная проекция вектора x на подпространство Q.
Очевидно: Q допускает проектирование, PQ x = Gα,β (eβ , x)eαпри x ∈ H.668. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространстваТеорема (процесс ортогонализации Грама—Шмидта). Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ H, x1 , . . . , xr — линейнонезависимые векторы, λ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
