Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 16
Текст из файла (страница 16)
, eN0 , x — линейно зависимыевекторы. Так как e1 , . . . , eN0 — линейно независимые векторы, то x ∈ L(e1 , . . . , eN0 ). ТогдаA(x, x) = 0. Так как: x ∈ L(e1 , . . . , eN0 ), x 6= θ, то A(x, x) > 0. Итак, e1 , . . . , eN0 , x —линейно независимые векторы. Обозначим: e′k = ek при k = 1, N0 ; e′N0 +1 = x. Очевидно,e′1 , . . . , e′N0 +1 — искомые векторы.Докажем вспомогательное утверждение. Пусть: N0 ∈ N, N = N0 + 1, e′ — базиспространства L, e′k = ek при k = 1, N0 ; [A]N0 +1,k (e′ ), [A]k,N0 +1 (e′ ) = 0 при k = 1, N0 . Тогда2∆N0 +1 (Ã) = det α(e′ , e) ∆N0 (Ã)A(e′N0 +1 , e′N0 +1 ).Очевидно: 2∆N0 +1 (Ã) = det(Ã) = det α(e′ , e)T [A](e′ )α(e′ , e) = det α(e′ , e) det [A](e′ ) =22= det α(e′ , e) ∆N0 [A](e′ ) [A]N0 +1,N0 +1 (e′ ) = det α(e′ , e) ∆N0 (Ã)A(e′N0 +1 , e′N0 +1 ).1. Используя индукцию,докажем следующее утверждение. Пусть A > 0.
Тогда∀k = 1, N ∆k (Ã) > 0 .Рассмотрим утверждение при N = 1. Очевидно: ∆1 (Ã) = Ã1,1 = A(e1 , e1 ) > 0.Пусть: N0 ∈ N, утверждение справедливо при N = N0 . Рассмотрим утверждение приN = N0 + 1. Так как: A(x, x) > 0 при: x ∈ L(e1 , . . . , eN0 ), x 6= θ, то: ∀k = 1, N0 ∆k (Ã) >0 , существуют векторы e′1 , . . . , e′N0 +1 , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . .
, e′N0 +1 — базиспространства L, e′k = ek при k = 1, N0 ; [A]N0 +1,k (e′ ), [A]k,N0 +1 (e′ ) = 0 при k = 1, N0 . Тогда:2∆N0 +1 (Ã) = det α(e′ , e) ∆N0 (Ã)A(e′N0 +1 , e′N0 +1 ) > 0.Используя индукцию, докажем следующее утверждение. Пусть ∀k =1, N ∆k (Ã) > 0 . Тогда A > 0.Рассмотрим утверждение при N = 1. Пусть: x ∈ L, x 6= θ.
Обозначим, x̃ = [x](e). Так22как x 6= θ, то x̃ 6= θ̃. Тогда: A(x, x) = Ã1,1 |x̃1 | = ∆1 (Ã) |x̃1 | > 0.Пусть: N0 ∈ N, утверждение справедливо при N = N0 . Рассмотрим утверждениепри N = N0 + 1. Так как ∀k = 1, N0 ∆k (Ã) > 0 , то: A(x, x) > 0 при: x ∈ L(e1 , . . . , eN0 ),7. Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра59x 6= θ. Тогда существуют векторы e′1 , .
. . , e′N0 +1 , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . . , e′N0 +1 —базис пространства L, e′k = ek при k = 1, N0 ; [A]N0 +1,k (e′ ), [A]k,N0 +1 (e′ ) = 0 при k = 1, N0 .Следовательно:∆N0 +1 (Ã)A(e′N0 +1 , e′N0 +1 ) = > 0.det α(e′ , e) 2 ∆N0 (Ã)Пусть: x ∈ L, x 6= θ. Обозначим, x̃˜ = [x](e′ ). Так как x 6= θ, то x̃˜ 6= θ̃. Тогда: XXk ′m ′˜˜A(x, x) = Ax̃ ek ,x̃ em =k=1,N0 +1m=1,N0 +1 XX N +1 2k ′m ′˜˜x̃ ek ,x̃ em + A(e′N0 +1 , e′N0 +1 ) ˜x̃ 0 > 0.=Ak=1,N0m=1,N02. Обозначим: B(x, y) = −A(x, y) при x, y ∈ L.
Тогда B — эрмитова полуторалинейнаяформа в пространстве L. Обозначим, B̃ = [B](e). Тогда B̃ = −Ã.Пусть A < 0. Тогда B > 0. Следовательно ∀k = 1, N ∆k (B̃) > 0 . Тогда:kksgn ∆k (Ã) = sgn ∆k (−B̃)=sgn(−1)∆(B̃)k = (−1) при k = 1, N .Пусть ∀k = 1, N sgn ∆k (Ã) = (−1)k . Тогда: ∆k (B̃) = ∆k (−Ã) = (−1)k ∆k (Ã) > 0при k = 1, N .
Следовательно, B > 0. Тогда A < 0.3. Согласно теореме Лагранжа, существуют векторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . . , e′N — базис пространства L, [A](e′ ) — диагональная матрица. Обозначим,Ø = [A](e′ ). Тогда:A(x, x) =X ˜ 2Ãk,k [x]k (e′ ) при x ∈ L;k=1,N 2Ø1,1 · · · ØN,N = det Ø = det α(e, e′ )T Ãα(e, e′ ) = det α(e, e′ ) det(Ã) 6= 0,Øk,k 6= 0 при k = 1, N .Предположим, что: Øk,k > 0 при k = 1, N . Тогда A > 0 (что противоречит тому, что˜¬(A > 0)).
Итак, ∃k = 1, N Ãk,k < 0 .Предположим, что: Øk,k < 0 при 0 (что противоречит тому, что k = 1, N . Тогда A <˜˜˜¬(A < 0)). Итак, ∃k = 1, N Ãk,k > 0 . Так как: ∃k = 1, N Ãk,k < 0 , ∃k = 1, N Ãk,k > 0 ,то A — знакопеременная форма.608. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространстваЛекция 8. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства8.1.
Линейные евклидовы пространстваЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R}; L — линейное пространство над полем K.Пусть: F : L2 =⇒ K, F (y, x) = F (x, y) при x, y ∈ L. Пусть x ∈ L. Тогда F (x, x) =F (x, x). Следовательно, F (x, x) ∈ R.Пусть: F : L =⇒ R, F (λx) = |λ| F (x) при: λ ∈ K, x ∈ L. Тогда: F (θ) = F (0θ) =|0| F (θ) = 0F (θ) = 0.Определение. Пусть: K ∈ {C, R}; L — линейное пространство над полем K; F : L2 =⇒ K.Далее будем писать (x, y) вместо F (x, y). Пусть:1.
(y, x) = (x, y) при x, y ∈ L;2. (x, y1 + y2 ) = (x, y1 ) + (x, y2 ) при x, y1 , y2 ∈ L;3. (x, λy) = λ(x, y) при: λ ∈ K, x, y ∈ L;4. (x, x) > 0 при: x ∈ L, x 6= θ.Будем говорить, что F — скалярное произведение в пространстве L. Будем говорить, что(L, F ) — линейное евклидово пространство над полем K.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; L — линейное пространство над полем K.1. Пусть F — скалярное произведение в пространстве L.Пусть x1 , x2 , y ∈ L. Тогда: (x1 + x2 , y) = (y, x1 + x2 ) = (y, x1 ) + (y, x2 ) = (y, x1 ) +(y, x2 ) = (x1 , y) + (x2 , y).Пусть: λ ∈ K, x, y ∈ L. Тогда: (λx, y) = (y, λx) = λ(y, x) = λ · (y, x) = λ(x, y).Очевидно, F — положительная эрмитова полуторалинейная форма в пространствеL.2.
Пусть F — положительная эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L.Очевидно, F — скалярное произведение в пространстве L.Утверждение (неравенство Коши–Буняковского). Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейноеевклидово пространство над полем K; x, y ∈ H.p p1. Пусть x, y — линейно зависимые векторы. Тогда (x, y) = (x, x) (y, y).p p2. Пусть x, y — линейно независимые векторы.
Тогда (x, y) < (x, x) (y, y).Доказательство.pp1. Пусть x = θ. Тогда (x, y), (x, x) = 0. Следовательно: (x, y) = 0 = (x, x) (y, y).Пусть x 6= θ. Тогда x — линейно независимый вектор. Так как x, y — линейно зависимые векторы, то существует число λ ∈ K, удовлетворяющее условию y = λx. Тогда: (x, y) = (x, λx) = λ(x, x) = |λ| (x, x);qppppp(x, x) (y, y) = (x, x) (λx, λx) = (x, x) |λ|2 (x, x) = |λ| (x, x).p pСледовательно, (x, y) = (x, x) (y, y).2. Так как x, y — линейно независимыевекторы,p то x, y 6= θ. Тогда (x, x), (y, y) > 0.pПусть (x, y) = 0. Тогда: (x, y) = 0 < (x, x) (y, y).Пусть (x, y) 6= 0.
Пусть: t ∈ R, λ =векторы, то x + λy 6= θ. Тогда:(x,y)t.|(x,y)|Так как x, y — линейно независимые(x + λy, x + λy) > 0,8.1. Линейные евклидовы пространства61(x, x) + (x, λy) + (λy, x) + (λy, λy) > 0,(x, x) + λ(x, y) + λ(y, x) + λλ(y, y) > 0,(x, x) + λ(x, y) + λ · (x, y) + λλ(y, y) > 0,(x, x) + 2(x, y)t + (y, y)t2 > 0.Так как (y, y) 6= 0, то, в силу произвольности выбора t ∈ R:24(x, y) − 4(x, x)(y, y) < 0,p p(x, y) < (x, x) (y, y).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R};p H — линейное евклидово пространство над полем K. Пустьx ∈ H. Обозначим, kxk = (x, x).
Тогда kxk ∈ R. Будем говорить, что kxk — нормавектора x.Докажем утверждения:1. kλxk = |λ| · kxk при: λ ∈ K, x ∈ H;2. kxk > 0 при: x ∈ H, x 6= θ;3. kx + yk 6 kxk + kyk при x, y ∈ H (неравенство треугольника).Пусть: λ ∈ K, x ∈ H. Тогда:qpkλxk = (λx, λx) = |λ|2 (x, x) = |λ| · kxk .Пусть: x ∈ H, x 6= θ. Тогда:kxk =p(x, x) > 0.Пусть x, y ∈ H. Тогда:qqpkx + yk = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 Re (x, y) + (y, y) 6 (x, x) + 2(x, y) + (y, y) 6qqqpp222kxk + kyk =6 (x, x) + 2 (x, x) (y, y) + (y, y) = kxk + 2 kxk · kyk + kyk == kxk + kyk .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R}; H — линейное евклидово пространство над полем K.1. Пусть x, y ∈ H.
Будем писать x ⊥ y, если (x, y) = 0.2. Пусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ H. Будем говорить, что x1 , . . . , xr — ортогональная последовательность векторов, если: xk ⊥ xm при: k, m = 1, r, k 6= m. Будем говорить,что x1 , . . . , xr — ортонормированная последовательность векторов, если: xk ⊥ xm при: k,m = 1, r, k 6= m; kxk k = 1 при k = 1, r.Пусть: r ∈ N, x1 , . .
. , xr — ортогональные векторы пространства H, x1 , . . . , xr 6= θ.Докажем, что x1 , . . . , xr — линейновекторы.P независимыеПусть: C 1 , . . . , C r ∈ K,C m xm = θ. Фиксируем номер k = 1, r. Так как xk 6= θ,то:m=1,rxk ,Xm=1,rC m xm = (xk , θ),C k (xk , xk ) = 0,C k = 0.Итак, x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.628. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства3. Пусть: x ∈ H, Q ⊆ H. Будем писать x ⊥ Q, если ∀u ∈ Q(x ⊥ u).4. Пусть Q1 , Q2 ⊆ H. Будем писать Q1 ⊥ Q2 , если ∀x1 ∈ Q1 ∀x2 ∈ Q2 (x1 ⊥ x2 ).5. Пусть: r ∈ N, Q1 , . . . , Qr ⊆ H.
Будем говорить, что Q1 , . . . , Qr — ортогональнаяпоследовательность множеств, если: Qk ⊥ Qm при: k, m = 1, r, k 6= m.Пусть: r ∈ N, Q1 , . . . , Qr — ортогональные подпространства пространства H. Докажем, что Q1 , . . . , Qr — линейно независимыеподпространства.PПусть: x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr ,xm = θ. Фиксируем номер k = 1, r.
Тогда:m=1,rXxm = (xk , θ),xk ,m=1,r(xk , xk ) = 0,xk = θ.Итак, Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства.6. Пусть Q ⊆ H. Обозначим, Q⊥ = {x : x ∈ H ∧ x ⊥ Q}. Будем говорить, что Q⊥ —ортогональное дополнение множества Q.Пусть Q ⊆ H. Докажем, что Q⊥ — подпространство пространства H.Очевидно: Q⊥ ⊆ H, θ ∈ Q⊥ .Пусть: x1 , x2 ∈ Q⊥ , u ∈ Q. Тогда: x1 , x2 ∈ H, (x1 , u), (x2 , u) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
