Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Очевидно,L∗ — линейное пространство над полем K. Будем говорить, что L∗ — сопряжённое пространство к пространству L.2. Пусть e — базис пространства L. Обозначим: ϕ(A) = [A](e) при A ∈ L∗ . Очевидно,ϕ — изоморфизм пространства L∗ на пространство KN . Тогда: dim(L∗ ) = dim(KN ) = N .3. Пусть e — базис пространства L. Очевидно, следующие утверждения эквивалентныдруг другу:3.1. ω 1 , . .
. , ω N ∈ L∗ , [ω m ]k (e) = δkm при k, m = 1, N ;3.2. ω 1 , . . . , ω N ∈ L∗ , ω m (ek ) = δkm при k, m = 1, N .4. Пусть e — базис пространства L. Очевидно, существует единственный набор функций1ω , . . . , ω N , удовлетворяющий условиям: ω 1 , . . . , ω N ∈ L∗ , [ω m ]k (e) = δkm при k, m = 1, N .Тогда существует единственный набор функций ω 1 , . . . , ω N , удовлетворяющий условиям:ω 1 , . .
. , ω N ∈ L∗ , ω m (ek ) = δkm при k, m = 1, N .5. Пусть e — базис пространства L. Пусть: ω 1 , . . . , ω N ∈ L∗ , ω m (ek ) = δkm при k, m = 1, N .Тогда: [ω m ]k (e) = δkm при k, m = 1, N . Следовательно, [ω 1 ](e), . . . , [ω N ](e) — базис пространства KN .
Тогда ω 1 , . . . , ω N — базис пространства L∗ . Будем говорить, что ω 1 , . . . , ω N —сопряжённый базис к базису e пространства L.Пусть: x ∈ L, m = 1, N . Тогда: ω m (x) = [ω m ]k (e)[x]k (e) = δkm [x]k (e) = [x]m (e).Пусть A ∈ L∗ . Пусть x ∈ L. Тогда: A(x) = [A]k (e)[x]k (e) = [A]k (e)ω k (x). Следовательно, A = [A]k (e)ω k .486. Линейные, билинейные и квадратичные формы6.2. Билинейные и полуторалинейные формыОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Будем говорить, что A — билинейная форма в пространстве L, если: A : L2 =⇒ K;A(x1 + x2 , y) = A(x1 , y) + A(x2 , y) при x1 , x2 , y ∈ L; A(λx, y) = λA(x, y) при: λ ∈ K, x,y ∈ L; A(x, y1 + y2 ) = A(x, y1 ) + A(x, y2 ) при x, y1 , y2 ∈ L; A(x, λy) = λA(x, y) при: λ ∈ K,x, y ∈ L.2. Пусть A — билинейная форма в пространстве L.
Будем говорить, что A — симметричная билинейная форма, если: A(y, x) = A(x, y) при x, y ∈ L. Будем говорить, что A —антисимметричная билинейная форма, если: A(y, x) = −A(x, y) при x, y ∈ L.3. Пусть: A — билинейная форма в пространстве L, A(x, x) ∈ R при x ∈ L. Будемписать, что A > 0 (A > 0, A < 0, A 6 0, A = 0), если: A(x, x) > 0 (A(x, x) > 0, A(x, x) < 0,A(x, x) 6 0, A(x, x) = 0) при: x ∈ L, x 6= θ. Будем говорить, что A — знакопеременнаябилинейная форма, если: ∃x ∈ L A(x, x) > 0 , ∃x ∈ L A(x, x) < 0 .4. Будем говорить, что A — полуторалинейная форма в пространстве L, если:A : L2 =⇒ K; A(x1 + x2 , y) = A(x1 , y) + A(x2 , y) при x1 , x2 , y ∈ L; A(λx, y) = λA(x, y) при:λ ∈ K, x, y ∈ L; A(x, y1 + y2 ) = A(x, y1 ) + A(x, y2 ) при x, y1 , y2 ∈ L; A(x, λy) = λA(x, y)при: λ ∈ K, x, y ∈ L.5. Пусть A — полуторалинейная форма в пространстве L.
Будем говорить, что A —эрмитова полуторалинейная форма, если: A(y, x) = A(x, y) при x, y ∈ L. Будем говорить,что A — антиэрмитова полуторалинейная форма, если: A(y, x) = −A(x, y) при x, y ∈ L.6. Пусть: A — полуторалинейная форма в пространстве L, A(x, x) ∈ R при x ∈ L. Будемписать, что A > 0 (A > 0, A < 0, A 6 0, A = 0), если: A(x, x) > 0 (A(x, x) > 0, A(x, x) < 0,A(x, x) 6 0, A(x, x) = 0) при: x ∈ L, x 6= θ.
Будем говорить, что A — знакопеременнаяполуторалинейная форма, если: ∃x ∈ L A(x, x) > 0 , ∃x ∈ L A(x, x) < 0 .Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Будем говорить, что Q — квадратичная форма в пространстве L, если: Q — функция,D(Q) = L, существует функция A, удовлетворяющая условиям: A — билинейная форма впространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Пусть Q — квадратичная форма в пространствеL. Очевидно, Q : L =⇒ K.2. Пусть: Q — квадратичная форма в пространстве L, R(Q) ⊆ R. Будем писать, чтоQ > 0 (Q > 0, Q < 0, Q 6 0, Q = 0), если: Q(x) > 0 (Q(x) > 0, Q(x) < 0, Q(x) 6 0,Q(x) = 0) при: x ∈ L, x 6= θ.Будем говорить, что Q — знакопеременная квадратичнаяформа, если: ∃x ∈ L Q(x) < 0 , ∃x ∈ L Q(x) > 0 .3. Будем говорить, что Q — обобщённая квадратичная форма в пространстве L, если:Q — функция, D(Q) = L, существует функция A, удовлетворяющая условиям: A — полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.
Пусть Q — обобщённаяквадратичная форма в пространстве L. Очевидно, Q : L =⇒ K.4. Пусть: Q — обобщённая квадратичная форма в пространстве L, R(Q) ⊆ R. Будемписать, что Q > 0 (Q > 0, Q < 0, Q 6 0, Q = 0), если: Q(x) > 0 (Q(x) > 0, Q(x) < 0,Q(x) 6 0, Q(x) = 0) при: x ∈ L, x 6= θ. Будем говорить,что Q — знакопеременнаяобобщённая квадратичная форма, если: ∃x ∈ L Q(x) < 0 , ∃x ∈ L Q(x) > 0 .5. Будем говорить, что Q — эрмитова квадратичная форма в пространстве L, если: Q —функция, D(Q) = L, существует функция A, удовлетворяющая условиям: A — эрмитоваполуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q —квадратичная форма в пространстве L. Существует единственная функция A, удо-6.2. Билинейные и полуторалинейные формы49влетворяющая условиям: A — симметричная билинейная форма в пространстве L,Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.Доказательство. По определению квадратичной формы, существует функция A0 , удовлетворяющая условиям: A0 — билинейная форма в пространстве L, Q(x) = A0 (x, x) приx ∈ L. Обозначим: A(x, y) = 21 A0 (x, y)+A0 (y, x) при x, y ∈ L. Очевидно, A — билинейнаяформа в пространстве L.
Пусть x, y ∈ L. Тогда:A(y, x) = 11A0 (y, x) + A0 (x, y) = A0 (x, y) + A0 (y, x) = A(x, y).22Следовательно, A — симметричная билинейная форма. Пусть x ∈ L. Тогда:A(x, x) =1A0 (x, x) + A0 (x, x) = A0 (x, x) = Q(x).2Пусть: A — симметричная билинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) приx ∈ L. Пусть x, y ∈ L. Тогда:Q(x + y) = A(x + y, x + y) = A(x, x) + A(x, y) + A(y, x) + A(y, y) = Q(x) + 2A(x, y) + Q(y);1A(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) .2Очевидно, форма A определяется однозначно.Утверждение. Пусть: L — линейное пространство над полем C; Q — обобщённая квадратичная форма в пространстве L. Существует единственная функция A, удовлетворяющая условиям: A — полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) приx ∈ L.Доказательство.
По определению обобщённой квадратичной формы, существует функция A, удовлетворяющая условиям: A — полуторалинейная форма в пространстве L,Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.Пусть: A — полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.Пусть: x, y ∈ L, λ ∈ C. Тогда:Q(x + λy) = A(x + λy, x + λy) = A(x, x) + A(x, λy) + A(λy, x) + A(λy, λy) == A(x, x) + λA(x, y) + λA(y, x) + λλA(y, y) = Q(x) + λA(x, y) + λA(y, x) + |λ|2 Q(y);λA(x, y) + λA(y, x) = Q(x + λy) − Q(x) − |λ|2 Q(y);A(x, y) + A(y, x) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y),iA(x, y) − iA(y, x) = Q(x + iy) − Q(x) − Q(y);1Q(x + y) − Q(x) − Q(y) − i Q(x + iy) − Q(x) − Q(y) .A(x, y) =2Очевидно, форма A определяется однозначно.Утверждение.
Пусть: L — линейное пространство над полем C.1. Пусть A — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L. Тогда A(x, x) ∈R при x ∈ L.2. Пусть: A — полуторалинейная форма в пространстве L, A(x, x) ∈ R при x ∈ L.Тогда A — эрмитова полуторалинейная форма.506. Линейные, билинейные и квадратичные формыДоказательство.1. Пусть x ∈ L. Тогда A(x, x) = A(x, x). Следовательно, A(x, x) ∈ R.2. Обозначим: Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Так как A — полуторалинейная форма впространстве L, то Q — обобщённаяквадратичная форма в пространстве L. Обозначим:1A0 (x, y) = 2 A(x, y) + A(y, x) при x, y ∈ L.
Очевидно, A0 — полуторалинейная форма впространстве L. Пусть x, y ∈ L. Тогда:A0 (y, x) = 1 11A(y, x) + A(x, y) = A(y, x) + A(x, y) = A(x, y) + A(y, x) = A0 (x, y).222Следовательно, A0 — эрмитова полуторалинейная форма. Пусть x ∈ L.
Так как A(x, x) ∈R, то:A0 (x, x) = 11A(x, x) + A(x, x) = A(x, x) + A(x, x) = A(x, x) = Q(x).22Так как: A — полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L; A0 —полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A0 (x, x) при x ∈ L, то A = A0 . Так какA0 — эрмитова полуторалинейная форма, то A — эрмитова полуторалинейная форма.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A — билинейная (полуторалинейная) форма в пространстве L, e — базиспространства L.
Обозначим: [A]k,m (e) = A(ek , em ) при k, m = 1, N . Будем говорить, что[A](e) — матрица билинейной (полуторалинейной) формы A в базисе e.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e — базис пространства L.1. Пусть A — билинейная форма в пространстве L. Тогда: A(x, y)=[A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.2. Пусть: Ã ∈ KN ×N , A(x, y) = Ãk,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.
Тогда: A — билинейнаяформа в пространстве L, [A](e) = Ã.3. Пусть A — полуторалинейная форма в пространстве L. Тогда: A(x, y) =[A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.4. Пусть: Ã ∈ KN ×N , A(x, y) = Ãk,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
