Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Обозначим,Nk = dim kerk (A) . Очевидно, Nk = 1, N . Тогда существуют векторы fk,1 , . . . , fk,Nk , удовлетворяющие условию: fk,1 , . . . , fk,Nk — базис подпространства kerk (A). Очевидно:Ak−1 fk,m , . . . , A0 fk,m — циклическая серия векторов оператора A при m = 1, Nk ;ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) = Ak−1 kerk (A) = Ak−1 L(fk,1 , . .

. , fk,Nk ) = L(Ak−1 fk,1 , . . . , Ak−1 fk,Nk ).Пусть k = 1, h − 1. Очевидно:ker1 (A) ∩ Rh−1 (A) ⊆ · · · ⊆ ker1 (A) ∩ Rk−1 (A);ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) = L(Ah−1 fh,1 , . . . , Ah−1 fh,Nh ; . . . ; Ak−1 fk,1 , . . . , Ak−1 fk,Nk ).Рассмотрим последовательность подпространств:ker1 (A) ∩ Rh−1 (A); .

. . ; ker1 (A) ∩ R0 (A).Рассмотрим последовательность векторов:Ah−1 fh,1 , . . . , Ah−1 fh,Nh ; . . . ; A0 f1,1 , . . . , A0 f1,N1 .Так как ker1 (A) ∩ Rh−1 (A) 6= {θ}, то, используя метод Гаусса, можно указать числоn = 1, Nh + · · · + N1 , можно указать числа q1 , m1 , . . . , qn , mn , удовлетворяющие условиям: q1 = h, m1 = 1, Nq1 , q2 = 1, q1 , m2 = 1, Nq2 , . . . , qn = 1, qn−1 , mn = 1, Nqn ,{Aqi −1 fqi ,mi }i=1,n, qi >k — базис подпространства ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) при k = 1, h.

Так как:ker(A) 6= {θ}, Aqi −1 fqi ,mi , . . . , A0 fqi ,mi — циклическая серия векторов оператора A приi=1,ni = 1, n, то {Aqi −j fqi ,mi }j=1,q— циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператораiA.5.2. Базис Жордана пространства L для оператора AОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).1. Пусть λ ∈ K. Обозначим, QA (λ) = ker∞ (A − λI).2.

Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что QA (λ) — корневоеподпространство оператора A, соответствующее собственному значению λ.3. Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что x — корневойвектор оператора A, соответствующий собственному значению λ, если x ∈ QA (λ).4. Пусть λ — собственное значение оператора A. Будем говорить, что x — присоединённый вектор оператора A, соответствующий собственному значению λ, если: x ∈ QA (λ),x∈/ HA (λ).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).Пусть: λ1 ∈ K, n1 ∈ Z+ , λ2 ∈ K, n2 ∈ Z+ .

Очевидно, (A − λ1 I)n1 , (A − λ2 I)n2 = Θ.Тогда kern2 (A−λ2 I), Rn2 (A−λ2 I) — инвариантные подпространства оператора (A−λ1 I)n1 .445. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой формеУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), λ0 — собственное значение оператора A. Тогда dim QA (λ0 ) =mA (λ0 ).Доказательство. Так как λ0 — собственное значение оператора A, то ker(A − λ0 I) 6= {θ}.i=1,n, удовлетворяющие условию: {ei,j }j=1,q— цикличеТогда существуют векторы {ei,j }i=1,nj=1,qiiский базис подпространства ker∞ (A − λ0 I) для оператора A − λ0 I.

Обозначим: h — высотаоператора A − λ0 I, Q = ker∞ (A − λ0 I), R = R∞ (A − λ0 I), m = mA (λ0 ), m̃ = dim(Q).Очевидно: Q, R — линейно независимые подпространства, Q + R = L, m̃ = 1, N , R —инвариантное подпространство оператора A, ker(A − λ0 I) ∩ R = {θ}.— линейно независимые векторы пространства L,Пусть m̃ = N . Так как: {ei,j }i=1,nj=1,qi— базис пространства L. Обозначим через Ã матрицуdim(L) = N = m̃, то {ei,j }i=1,nj=1,qii=1,n. Пусть λ ∈ K.

Тогда:оператора A в базисе {ei,j }j=1,qi˜ = (λ0 − λ)m̃ .FA (λ) = det(Ã − λI)Следовательно, m = m̃.Пусть m̃ 6= N . Тогда m̃ < N . Следовательно: dim(R) = N − m̃ > 0. Тогда существуют векторы f1 , . . . , fN −m̃ , удовлетворяющие условию: f1 , . . . , fN −m̃ — базис подпространства R. Так как: Q, R — линейно независимые подпространства, Q + R = L, тоe1,1 , .

. . , e1,q1 , . . . , en,1 , . . . , en,qn , f1 , . . . , fN −m̃ — базис пространства L. Обозначим через Ãматрицу оператора A в базисе e1,1 , . . . , e1,q1 , . . . , en,1 , . . . , en,qn , f1 , . . . , fN −m̃ . Пусть λ ∈ K.Тогда:˜ = (λ0 − λ)m̃ det Ãm̃+j − λδ m̃+j j=1,N −m̃ .FA (λ) = det(Ã − λI)m̃+im̃+i i=1,N −m̃Так как R — инвариантное подпространство оператора A, то: A|R ∈ Lin(R, R),jA|R i (f ) = Ãm̃+jm̃+i при i, j = 1, N − m̃. Тогда: FA (λ) = (λ0 − λ)m̃ det A|R (f ) − λ I|R (f ) = (λ0 − λ)m̃ F A|R (λ).Предположим, что F A|R (λ0 ) = 0.

Тогда существует вектор x, удовлетворяющийусловиям: x ∈ ker A|R − λ0 I|R , x 6= θ. Следовательно: x ∈ ker (A − λ0 I)|R , x 6= θ. Тогда:x ∈ ker(A − λ0 I) ∩ R, x 6= θ. Так как ker(A − λ0 I) ∩ R = {θ}, то: x = θ, x 6= θ. Итак,F A|R (λ0 ) 6= 0. Тогда m = m̃.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), r ∈ N, λ1 , . . . , λr — различные собственные значения оператора A, Q1 , . . .

, Qr — соответствующие корневые подпространства. Тогда Q1 , . . . , Qr —линейно независимые подпространства.Доказательство. Докажем утверждение, используя индукцию. Очевидно, утверждениесправедливо при r = 1.Пусть: r0 ∈ N, утверждение справедливо при r = r0 . Рассмотрим утверждение приr = r0 + 1. Пусть k = 1, r0 + 1. Обозначим черезhk высоту оператора A − λk I.PПусть: x1 ∈ Q1 , . . .

, xr0 +1 ∈ Qr0 +1 ,xk = θ. Предположим, что x1 6= θ. Такk=1,r0 +10как: (A − λ1 I) x1 = Ix1 = x1 6= θ, (A − λ1 I)h1 x1 = θ, то существует число n1 =5.2. Базис Жордана пространства L для оператора A450, h1 − 1, удовлетворяющее условиям: (A − λ1 I)n1 x1 6= θ, (A − λ1 I)n1 +1 x1 = θ. Очевидно:Q1 , . . . , Qr0 +1 — инвариантныеподпространства оператора (A − λ1 I)n1 ; (A − λ1 I)n1 x1 6= θ,(A − λ1 I) (A − λ1 I)n1 x1 = θ; Q1 , . . . , Qr0 +1 — инвариантные подпространства оператора(A − λr0 +1 I)hr0 +1 ; (A − λr0 +1 I)hr0 +1 xr0 +1 = θ. Тогда:X(A − λ1 I)n1xk = (A − λ1 I)n1 θ,k=1,r0 +1(A − λ1 I)n1 x1 +(A − λr0 +1 I)hr0 +1 (A − λ1 I)n1 x1 +X(A − λ1 I)n1 xk = θ,k=2,r0 +1X(A − λ1 I)n1 xk = (A − λr0 +1 I)hr0 +1 θ,k=2,r0 +1(λ1 − λr0 +1 )hr0 +1 (A − λ1 I)n1 (x1 ) +Xk=2,r0(A − λr0 +1 I)hr0 +1 (A − λ1 I)n1 xk = θ.Так как Q1 , . .

. , Qr0 — линейно независимые подпространства, то (λ1 − λr0 +1 )hr0 +1 (A −− λ1 I)n1 x1 = θ (что противоречит тому, чтоλ1 I)n1 (x1 ) = θ. Так как λ1 6= λr0 +1 , то (A Pn1(A − λ1 I) x1 6= θ). Итак, x1 = θ. Тогдаxk = θ. Так как Q2 , . . . , Qr0 +1 — линейноk=2,r0 +1независимые подпространства, то x2 , . .

. , xr0 +1 = θ.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; C — алгебраически замкнутое поле, A ∈ Lin(L, L), ker(F̃A ) ⊆ K.Так как: C — алгебраически замкнутое поле, ker(F̃A ) ⊆ K, то: SD(A) 6= ∅,PmA (λ) = N . Очевидно, существует число r ∈ N, существуют числа λ1 , . . . , λr , удо-λ∈SD(A)влетворяющие условию: λ1 , . . . , λr — все различные собственные значения оператора A.Пусть: m1 , . . . , mr — соответствующие алгебраическиекратности, Q1 , .

. . , Qr — соответPствующие корневые подпространства. Тогда:mk = N , Q1 , . . . , Qr — линейно незавиk=1,rсимые подпространства, dim(Qk ) = mk при k = 1, r.Фиксируем номер k = 1, r. Так как λk — собственное значение оператора A, тоk, удовлетворяющие условию:ker(A − λk I) 6= {θ}. Тогда существуют векторы {ek,i,j }i=1,nj=1,qk,ik— циклический базис подпространства Qk для оператора A − λk I. Так как:{ek,i,j }i=1,nj=1,qk,iPPdim(Qk ) =mk = N , тоQ1 , .

. . , Qr — линейно независимые подпространства,k=1,rk=1,r, i=1,nk{ek,i,j }j=1,qk,i— базис пространства L. Будем говорить, чтоЖордана пространства L для оператора A.k=1,rk=1,r, i=1,nk{ek,i,j }j=1,qk,i— базис466. Линейные, билинейные и квадратичные формыЛекция 6. Линейные, билинейные и квадратичные формы6.1. Линейные и полулинейные формыОпределение.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Будем говорить, что A — линейная форма в пространстве L, если: A : L =⇒ K, A —линейный оператор.2. Будем говорить, что A — полулинейная форма в пространстве L, если: A : L =⇒ K,A — полулинейный оператор.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A — линейная (полулинейная) форма в пространстве L, e — базис пространства L.

Обозначим: [A]k (e) = A(ek ) при k = 1, N . Будем говорить, что [A](e) — наборкомпонент линейной (полулинейной) формы A в базисе e.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e — базис пространства L.1. Пусть A — линейная форма в пространстве L. Тогда: A(x) = [A]k (e)[x]k (e) приx ∈ L.2. Пусть: Ã ∈ KN , A(x) = Ãk [x]k (e) при x ∈ L.

Тогда: A — линейная форма в пространстве L, [A](e) = Ã.3. Пусть A — полулинейная форма в пространстве L. Тогда: A(x) = [A]k (e)[x]k (e) приx ∈ L.4. Пусть: Ã ∈ KN , A(x) = Ãk [x]k (e) при x ∈ L. Тогда: A — полулинейная форма впространстве L, [A](e) = Ã.Доказательство.1. Пусть x ∈ L.

Тогда:A(x) = A [x]k (e)ek = [x]k (e)A(ek ) = [A]k (e)[x]k (e).2. Докажем, что A — линейная форма в пространстве L. Очевидно, A : L =⇒ K. Таккак D(A) = L, то D(A) — подпространство пространства L.Пусть x, y ∈ L. Тогда:A(x + y) = Ãk [x + y]k (e) = Ãk [x]k (e) + [y]k (e) = Ãk [x]k (e) + Ãk [y]k (e) = A(x) + A(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L. Тогда:A(λx) = Ãk [λx]k (e) = Ãk λ[x]k (e) = λ Ãk [x]k (e) = λA(x).Докажем, что [A](e) = Ã. Пусть k = 1, N .

Тогда:[A]k (e) = A(ek ) = Ãm [ek ]m (e) = Ãm δkm = Ãk .3. Пусть x ∈ L. Тогда:A(x) = A [x]k (e)ek = [x]k (e)A(ek ) = [A]k (e)[x]k (e).6.1. Линейные и полулинейные формы474. Докажем, что A — полулинейная форма в пространстве L. Очевидно, A : L =⇒ K.Так как D(A) = L, то D(A) — подпространство пространства L.Пусть x, y ∈ L. Тогда:A(x + y) = Ãk [x + y]k (e) = Ãk [x]k (e) + [y]k (e) = Ãk [x]k (e) + Ãk [y]k (e) = A(x) + A(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L. Тогда:A(λx) = Ãk [λx]k (e) = Ãk λ[x]k (e) = λ Ãk [x]k (e) = λA(x).Докажем, что [A](e) = Ã. Пусть k = 1, N . Тогда:[A]k (e) = A(ek ) = Ãm [ek ]m (e) = Ãm δkm = Ãm δkm = Ãk .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e, e′ — базисы пространства L.1.

Пусть A — линейная форма в пространстве L. Тогда: [A]k′ (e′ ) = [A]k (e)αkk′ (e, e′ ) при′k = 1, N ([A](e′ ) = [A](e)α(e, e′ )).2. Пусть A — полулинейная форма в пространстве L. Тогда: [A]k′ (e′ ) = [A]k (e)αkk′ (e, e′ )при k ′ = 1, N ([A](e′ ) = [A](e)α(e, e′ )).Доказательство.1. Пусть k ′ = 1, N . Тогда:[A]k′ (e′ ) = A(e′k′ ) = A αkk′ (e, e′ )ek = αkk′ (e, e′ )A(ek ) = [A]k (e)αkk′ (e, e′ ).2.

Пусть k ′ = 1, N . Тогда:[A]k′ (e′ ) = A(e′k′ ) = A αkk′ (e, e′ )ek = αkk′ (e, e′ )A(ek ) = [A]k (e)αkk′ (e, e′ ).Замечание (сопряжённое пространство, сопряжённый базис). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L —линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) = N .1. Обозначим через L∗ множество всех линейных форм в пространстве L.

Характеристики

Список файлов лекций