Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно:x1 , . . . , xq — циклическая серия векторов оператора A, x1 = x.Пусть: n ∈ N, q1 , . . . , qn ∈ N. Обозначим, α = max qi . Тогда: ∃i = 1, n(qi = α), ∀i =i=1,n1, n(qi 6 α). Пусть k ∈ N. Тогда:(i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k + 1} = = (i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k} ∪ (i, k + 1) : i = 1, n ∧ qi > k + 1 ;(i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, qi = = (i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k} ∪ (i, j) : i = 1, n ∧ qi > k + 1 ∧ j = k + 1, qi .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).Пусть: n ∈ N, xi,1 , .
. . , xi,qi — циклическая серия векторов оператора A при i = 1, n;i=1,n— линейно независимые век{xi,1 }i=1,n — линейно независимые векторы. Тогда {xi,j }j=1,qiторы.Доказательство. Обозначим, α = max qi . Используя конечную индукцию, докажем слеi=1,ni=1,n— линейно независимые векдующее утверждение. Пусть k = 1, α. Тогда {xi,j }j=1,min{qi ,k}торы.Докажем, что утверждение справедливо при k = 1. Так как: {xi,j }i=1,n=j=1,min{q ,1}ii=1,n{xi,j }j=1,min{qi ,1}{xi,1 }i=1,n , {xi,1 }i=1,n — линейно независимые векторы, то— линейно независимые векторы.Пусть: k0 = 1, α − 1, утверждение справедливо при k = k0 . Докажем, что утверждениепри k = k0 + 1. Пусть: C i,j ∈ K при: i = 1, n, j = 1, min{qi , k0 + 1};PP справедливоC i,j xi,j = θ. Так как α > k0 + 1, то ∃i = 1, n(qi > k0 + 1).
Тогда:i=1,n j=1,min{qi ,k0 +1}Ak0XXC i,j xi,j = Ak0 θ,i=1,n j=1,min{qi ,k0 +1}XC i,k0 +1 xi,1 = θ.i=1,n, qi >k0 +1Так как {xi,1 }i=1,n — линейно независимые векторы, то {xi,1 }i=1,n, qi >k0 +1 — линейнонезависимые векторы. Тогда: C i,k0 +1 = 0 при: i = 1, n, qi > k0 + 1. Следовательно,PP— линейно независимые векторы, то:C i,j xi,j = θ.
Так как {xi,j }i=1,nj=1,min{q ,k }ii=1,n j=1,min{qi ,k0 }0C i,j = 0 при: i = 1, n, j = 1, min{qi , k0 }. Итак: C i,j = 0 при: i = 1, n, j = 1, min{qi , k0 + 1}.i=1,ni=1,n, {xi,j }i=1,n— линейно независимые векто= {xi,j }j=1,min{qТак как: {xi,j }j=1,q,α}j=1,min{q ,α}iiры, то{xi,j }i=1,nj=1,qi— линейно независимые векторы.i405. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой формеЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), Q — подпространство пространства L.Пусть: n ∈ N, ei,1 , . . . , ei,qi — циклическая серия векторов оператора A при i = 1, n;i=1,n— базис подпространства Q.
Будем говорить, что {ei,j }i=1,n— циклический{ei,j }j=1,qj=1,qiiбазис подпространства Q для оператора A.i=1,nПусть {ei,j }j=1,q— циклический базис подпространства Q для оператора A. Обозначим,ii=1,n—α = max qi . Очевидно: ei,j ∈ kerj (A) ⊆ kerα (A) при: i = 1, n, j = 1, qi . Так как {ei,j }j=1,qii=1,nбазис подпространства Q, то:⊆ kerα (A).Q = L {ei,j }i=1,nj=1,qiОчевидно: Q — подпространство пространства L, Q ⊆ L = D(A). Пусть ∀i = 1, n(qi 6 1).i=1,n— базис подпространства Q, то:Так как {ei,j }j=1,qi i=1,nA[Q] = A L {ei,j }j=1,qi = {θ} ⊆ Q.i=1,nПусть ∃i = 1, n(qi > 2). Так как {ei,j }j=1,q— базис подпространства Q, то:i i=1,n, qi >2i=1,n⊆ Q.A[Q] = A L {ei,j }j=1,qi = L {ei,j−1 }j=2,qiИтак, Q — инвариантное подпространство оператора A.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), h — высота оператора A.— циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A.Пусть {ei,j }i=1,nj=1,qi1.
Справедливо утверждение: max qi = h.i=1,ni=1,n{ei,j }j=1,min{q ,k}i— циклический базис подпространства kerk (A)2. Пусть k ∈ N. Тогдадля оператора A.3. Пусть k = 1, h. Тогда {ei,1 }i=1,n, qi >k — циклический базис подпространства ker(A) ∩Rk−1 (A) для оператора A.4. Справедливы утверждения:n = dim ker(A) ;card {i : i = 1, n ∧ qi > k} = dim kerk (A) − dim kerk−1 (A) , k ∈ N;card {i : i = 1, n ∧ qi = k} = 2 dim kerk (A) − dim kerk+1 (A) − dim kerk−1 (A) , k ∈ N.Тогда: число n определяется однозначно, числа q1 , . . . , qn определяются однозначно, с точностью до перестановки.Доказательство.i=1,n— линейно независимые векторы, то: ei,1 6=1.
Обозначим, α = max qi . Так как {ei,j }j=1,qii=1,nθ при i = 1, n. Тогда ∀i = 1, n(qi 6 h). Следовательно, α 6 h. Предположим, что α 6= h.i=1,n—Тогда α < h. Следовательно, kerα (A) ⊂ kerh (A). С другой стороны, так как {ei,j }j=1,qiциклический базис подпространства kerh (A) для оператора A, то kerh (A) ⊆ kerα (A). Итак,α = h.5.1. Циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A41i=1,n, kerk (A) = kerh (A), {ei,j }i=1,n—= {ei,j }j=1,q2. Пусть k > h. Так как: {ei,j }i=1,nj=1,qij=1,min{q ,k}iii=1,nциклический базис подпространства kerh (A) для оператора A, то {ei,j }j=1,min{q— цикi ,k}лический базис подпространства kerk (A) для оператора A.Пусть k 6 h − 1.
Очевидно: ei,j ∈ kerj (A) ⊆ kerk (A) при: i = 1, n, j = 1, min{qi , k}. Такi=1,ni=1,n— линейно независимые— линейно независимые векторы, то {ei,j }j=1,min{qкак {ei,j }j=1,qii ,k}векторы.i=1,nПусть x ∈ kerk (A). Так как kerk (A) ⊆ kerh (A), то x ∈ kerh (A). Так как {ei,j }j=1,q—ii=1,nбазис подпространства kerh (A), то существуют числа {C i,j }j=1,q, удовлетворяющие услоP P i,j ii,jвиям: C ∈ K при: i = 1, n, j = 1, qi ; x =C ei,j . Так как h > k + 1, тоi=1,n j=1,qi∃i = 1, n(qi > k + 1). Тогда:Ak x = AkX XC i,j ei,j ,i=1,n j=1,qiθ=XXC i,j ei,j−k .i=1,n, qi >k+1 j=k+1,qii=1,nqi >k+1Так как {ei,j }j=1,q— линейно независимые векторы, то {ei,j−k }i=1,n,— линейно незаj=k+1,qiiвисимые векторы. Тогда: C i,j = 0 при: i = 1, n, qi > k + 1, j = k + 1, qi . СледовательPPC i,j ei,j .
Итак, {ei,j }i=1,nно, x =— базис подпространства kerk (A).j=1,min{q ,k}i=1,n j=1,min{qi ,k}iТак как: ei,1 , . . . , ei,min{qi ,k} — циклическая серия векторов оператора A при i = 1, n, тоi=1,n{ei,j }j=1,min{q— циклический базис подпространства kerk (A) для оператора A.,k}i— базис подпространства3. Так как h > k, то ∃i = 1, n(qi > k). Так как {ei,j }i=1,nj=1,min{qi ,k}kerk (A), то: i=1,nk−1k−1L {ei,j }j=1,min{q ,k} = L {ei,1 }i=1,n, qi >k .ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) = Akerk (A) = Aii=1,n— линейно независимые векторы, то {ei,1 }i=1,n, qi >k — линейно незавиТак как {ei,j }j=1,qiсимые векторы.
Тогда {ei,1 }i=1,n, qi >k — базис подпространства ker1 (A) ∩ Rk−1 (A). Так какei,1 — циклическая серия векторов оператора A при: i = 1, n, qi > k, то {ei,1 }i=1,n, qi >k —циклический базис подпространства ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) для оператора A.i=1,ni=1,n4. Так как: {ei,1 }i=1,n = {ei,j }j=1,min{q, {ei,j }j=1,min{q— базис подпространства,1}ii ,1}ker1 (A), то {ei,1 }i=1,n — базис подпространства ker1 (A).
Тогда n = dim ker1 (A) .Пусть: k ∈ Z, k > h+1. Так как k−1 > h, то: ∀i = 1, n(qi 6 k−1), kerk (A) = kerk−1 (A).Тогда:card {i : i = 1, n ∧ qi > k} = 0 = dim kerk (A) − dim kerk−1 (A) .Пусть k = 1, h. Так как {ei,1 }i=1,n, qi >k — базис подпространства ker1 (A) ∩ Rk−1 (A), то:card {i : i = 1, n ∧ qi > k} = dim ker1 (A) ∩ Rk−1 (A) = dim kerk (A) − dim kerk−1 (A) .Пусть k ∈ N. Тогда:card {i : i = 1, n ∧ qi = k} = card {i : i = 1, n ∧ qi > k} − card {i : i = 1, n ∧ qi > k + 1} =425. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме = dim kerk (A) − dim kerk−1 (A) − dim kerk+1 (A) − dim kerk (A) == 2 dim kerk (A) − dim kerk+1 (A) − dim kerk−1 (A) .Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), h — высота оператора A, ker(A) 6= {θ}.Пусть: n ∈ N, ei,1 , . . . , ei,qi — циклическая серия векторов оператора A при i = 1, n;—{ei,1 }i=1,n, qi >k — базис подпространства ker(A) ∩ Rk−1 (A) при k = 1, h. Тогда {ei,j }i=1,nj=1,qiциклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A.Доказательство. Обозначим, α=max qi . Так как: {ei,1 }i=1,ni=1,n={ei,1 }i=1,n, qi >1 ,{ei,1 }i=1,n, qi >1 — линейно независимые векторы, то {ei,1 }i=1,n — линейно независимые векторы. Тогда: ei,1 6= θ при i = 1, n. Следовательно, ∀i = 1, n(qi 6 h).
Тогда α 6 h. Предположим, что α 6= h. Тогда α < h. Следовательно, ∀i = 1, n(qi < h). Так как {ei,1 }i=1,n, qi >h —базис подпространства ker(A) ∩ Rh−1 (A), то {ei,1 }i=1,n, qi >h — не пустое семейство векторов.Тогда ∃i = 1, n(qi > h). Итак, α = h.Так как: ei,1 , . . . , ei,qi — циклическая серия векторов оператора A при i = 1, n;— линейно независимые векторы.{ei,1 }i=1,n — линейно независимые векторы, то {ei,j }i=1,nj=1,qiИспользуя конечную индукцию, докажем следующее утверждение. Пусть k = 1, h. Тогда{ei,j }i=1,n— базис подпространства kerk (A).j=1,min{q ,k}ii=1,n=Докажем, что утверждение справедливо при k = 1. Так как: {ei,j }j=1,min{qi ,1}{ei,1 }i=1,n = {ei,1 }i=1,n, qi >1 , ker1 (A) = ker1 (A) ∩ L = ker1 (A) ∩ R0 (A), {ei,1 }i=1,n, qi >1 — ба-— базис подпространства ker1 (A).зис подпространства ker1 (A) ∩ R0 (A), то {ei,j }i=1,nj=1,min{q ,1}iПусть: k0 = 1, h − 1, утверждение справедливо при k = k0 .
Докажем, что утверждение справедливо при k = k0 + 1. Очевидно: ei,j ∈ kerj (A) ⊆ kerk0 +1 (A) при:i = 1, n, j = 1, min{qi , k0 + 1}. Так как {ei,j }i=1,n— линейно независимые векторы, тоj=1,qii=1,n{ei,j }j=1,min{q,ki0 +1}— линейно независимые векторы.Так как: {ei,j }i=1,n— базис подпространства kerk0 (A), {ei,1 }i=1,n, qi >k0 +1 — базисj=1,min{qi ,k0 }подпространства ker1 (A) ∩ Rk0 (A), то:card (i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k0 + 1} == card (i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k0 } + card (i, k0 + 1) : i = 1, n ∧ qi > k0 + 1 == card (i, j) : i = 1, n ∧ j = 1, min{qi , k0 } + card {i : i = 1, n ∧ qi > k0 + 1} == dim kerk0 (A) + dim ker1 (A) ∩ Rk0 (A) = = dim kerk0 (A) + dim kerk0 +1 (A) − dim kerk0 (A) = dim kerk0 +1 (A) .i=1,nИтак, {ei,j }j=1,min{q,ki0 +1}— базис подпространства kerk0 +1 (A).i=1,ni=1,n= {ei,j }j=1,min{q, {ei,j }j=1,min{q— базис подпространства kerh (A),Так как: {ei,j }i=1,nj=1,qi,h},h}iтоi=1,n{ei,j }j=1,qii— базис подпространства kerh (A).
Так как: ei,1 , . . . , ei,qi — циклическая серияi=1,nвекторов оператора A при i = 1, n, то {ei,j }j=1,q— циклический базис подпространстваikerh (A) для оператора A.5.2. Базис Жордана пространства L для оператора A43Теорема. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,i=1,n, удовлетворяdim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), ker(A) 6= {θ}. Существуют векторы {ei,j }j=1,qiющие условию: {ei,j }i=1,n— циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператораj=1,qiA.Доказательство. Обозначим через h высоту оператора A. Пусть k = 1, h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
