Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Приведение матрицы линейного оператора к жордановой формеЛекция 5. Приведение матрицы линейного оператора кжордановой форме5.1. Циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора AЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; Q1 , Q2 — подпространства пространства L, Q1 ⊆ Q2 .Так как Q1 ⊆ Q2 , то dim(Q1 ) 6 dim(Q2 ).Пусть Q1 = Q2 . Тогда dim(Q1 ) = dim(Q2 ).Пусть dim(Q1 ) = dim(Q2 ).
Так как: Q1 ⊆ Q2 , dim(Q2 ) 6= +∞, то Q1 = Q2 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).Пусть k ∈ Z+ . Обозначим: kerk (A) = ker(Ak ), Rk (A) = R(Ak ). Тогдаkerk (A), Rk (A) —kподпространствапространстваL. Так как: N 6= +∞, dim D(A ) = dim(L) = N , тоdim kerk (A) + dim Rk (A) = N (это не значит, что kerk (A) + Rk (A) = L). Так как[A, Ak ] = Θ, то kerk (A), Rk (A) — инвариантные подпространства оператора A.Очевидно:ker0 (A) = ker(A0 ) = ker(I) = {θ},R0 (A) = R(A0 ) = R(I) = L,ker1 (A) = ker(A1 ) = ker(A),R1 (A) = R(A1 ) = R(A).TSRk (A).
Тогда ker∞ (A), R∞ (A) ⊆ L.kerk (A), R∞ (A) =Обозначим: ker∞ (A) =k∈Z+k∈Z+Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).m1. Пусть: k ∈ Z+ , m = 0, k. ТогдаAker(A)= kerk−m (A) ∩ Rm (A).Пусть:k ∈ Z+ ,km ∈ Z, m > k. Тогда Am kerk (A) = {θ}. Пусть k, m ∈ Z+ . Тогда Am Rk (A) = Rk+m (A).2. Пусть k ∈ Z+ . Тогда: kerk (A) ⊆ kerk+1 (A), Rk+1 (A) ⊆ Rk (A).3.
Существует число h, удовлетворяющее условиям: h ∈ Z+ ; kerk (A) ⊂ kerk+1 (A),Rk+1 (A) ⊂ Rk (A) при k = 0, h − 1; kerk (A) = kerk+1 (A), Rk+1 (A) = Rk (A) при: k ∈ Z,k > h. Будем говорить, что h — высота оператора A. Очевидно, высота оператора Aопределяется однозначно.4. Пусть k, m ∈ Z+ . Тогда:dim kerk (A) ∩ Rm (A) = dim kerk+m (A) − dim kerm (A) .5. Пусть: k ∈ N, m = 0, h − 1. Тогда kerk (A) ∩ Rm (A) 6= {θ}. Пусть: k ∈ Z+ , m ∈ Z,m > h. Тогда kerk (A) ∩ Rm (A) = {θ}.
Пусть m ∈ Z+ . Тогда ker0 (A) ∩ Rm (A) = {θ}.6. Справедливы утверждения: ker∞ (A) = kerh(A), R∞ (A) = R h (A); ker∞ (A), R∞ (A) —подпространства пространства L, dim ker∞ (A) + dim R∞ (A) = N , ker∞ (A), R∞ (A) —инвариантные подпространства оператора A; ker∞ (A), R∞ (A) — линейно независимыеподпространства, ker∞ (A) + R∞ (A) = L.Доказательство.1. Пусть: k ∈ Z+ , m = 0, k. Пусть x ∈ Am kerk (A) . Тогда существует вектор u,удовлетворяющий условиям: u ∈ kerk (A), x = Am u. Следовательно: u ∈ L, Ak u = θ,5.1.
Циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A37x = Am u. Тогда: x ∈ L, Ak−m x = Ak−m (Am u) = Ak u = θ; u ∈ L, x = Am u. Следовательно:x ∈ kerk−m (A), x ∈ Rm (A). Тогда x ∈ kerk−m (A) ∩ Rm (A).Пусть x ∈ kerk−m (A) ∩ Rm (A). Тогда: x ∈ kerk−m (A), x ∈ Rm (A). Следовательно:x ∈ L, Ak−m x = θ; существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u ∈ L, x = Am u.Тогда: u ∈ L, Ak u = Ak−m (Amu) = Ak−m x = θ, x= Am u. Следовательно: u ∈ kerk (A),x = Am u. Тогда x ∈ Am kerk (A) .
Итак, Am kerk (A) = kerk−m (A) ∩ Rm (A).Пусть: k ∈ Z+ , m ∈ Z, m > k. Пусть x ∈ Am kerk (A) . Тогда существует вектор u,kудовлетворяющий условиям: u ∈ kerk (A), x = Am u. Следовательно:u ∈ L, A u = θ, x =mmm−kkm−kmA u. Тогда: x = A u = A (A u)= Aθ = θ. Так как A kerk (A) — подпространствоmmA kerk (A)пространства L, то θ ∈ A kerk (A) . Итак, k ={θ}. k+mmmПусть k, m ∈ Z+ . Очевидно: A Rk (A) = A A [L] = A[L] = Rk+m (A).2. Пусть x ∈ kerk (A).
Тогда: x ∈ L, Ak x = θ. Следовательно: x ∈ L, Ak+1 x = A(Ak x) =Aθ = θ. Тогда x ∈ kerk+1 (A). Итак,ker k (A) ⊆ kerk+1 (A).Очевидно: Rk+1 (A)n = Ak R1 (A) ⊆ Ak [L] = Rk (A).o3. Обозначим, µ = k : k ∈ Z+ ∧ dim Rk+1 (A) = dim Rk (A) . Предположим, чтоµ = ∅. Тогда:dimR(A)<dimR(A)приk∈Z.Следовательно:dimR(A)k+1k+k+1 6dim Rk (A) − 1 при k ∈ Z+ . Используя индукцию, получаем, что: dim Rk+m (A) 6dim Rk (A) − m при: k ∈ Z+ , m ∈ N. Тогда:dim RN +1 (A) 6 dim R0 (A) − (N + 1) = dim(L) − (N + 1) = N − (N + 1) = −1(что противоречит тому, что dim RN +1 (A) > 0).
Итак, µ 6= ∅. Обозначим, h = min(µ).Тогда: h ∈ Z+ ; dim Rk+1 (A) < dim Rk (A) при k = 0, h − 1; dim Rh+1 (A) = dim Rh (A) .Пусть k = 0,h−1.ТаккакdimR(A)<dimR(A), то Rk+1 (A) ⊂ Rk (A). Такk+1kкак dim Rh+1 (A) = dim Rh (A) , то Rh+1 (A) = Rh (A). Пусть: k ∈ Z, k > h + 1. Так какk−hk−hRh+1 (A) = Rh (A), то: Rk+1 (A) = ARh+1 (A) = ARh (A) = Rk (A).Пусть k = 0, h − 1.
Так как dim Rk+1 (A) < dim Rk (A) , то:dim kerk (A) = N − dim Rk (A) < N − dim Rk+1 (A) = dim kerk+1 (A) .Тогда kerk (A) ⊂ kerk+1 (A). Пусть: k ∈ Z, k > h. Так как dim Rk+1 (A) = dim Rk (A) , то:dim kerk (A) = N − dim Rk (A) = N − dim Rk+1 (A) = dim kerk+1 (A) .Тогда kerk (A) = kerk+1 (A).4. Так как: kerk+m (A) ⊆ L, kerm (A) ⊆ kerk+m (A), то: dim kerk (A) ∩ Rm (A) = dim Am kerk+m (A) = dim R Am |kerk+m (A)= == dim D Am |kerk+m (A) − dim ker Am |kerk+m (A)= dim L ∩ kerk+m (A) − dim kerm (A) ∩ kerk+m (A) = dim kerk+m (A) − dim kerm (A) .5.
Пусть: k ∈ N, m = 0, h − 1. Предположим, что kerk (A) ∩ Rm (A) = {θ}. Тогда:Am kerk+m (A) = kerk (A) ∩ Rm (A) = {θ}.Следовательно, kerk+m (A) ⊆ kerm (A). С другой стороны, так как: m = 0, h − 1, k + m > m,то kerm (A) ⊂ kerk+m (A). Итак, kerk (A) ∩ Rm (A) 6= {θ}.385. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой формеПусть: k ∈ Z+ , m ∈ Z, m > h. Так как: m > h, k + m > m, то kerk+m (A) = kerm (A).Тогда:kerk (A) ∩ Rm (A) = Am kerk+m (A) = Am kerm (A) = {θ}.Пусть m ∈ Z+ . Так как {θ} ⊆ Rm (A), то: ker0 (A) ∩ Rm (A) = {θ} ∩ Rm (A) = {θ}.6. Очевидно: kerk (A) ⊂ kerh (A) при k S= 0, h − 1; kerk (A) = kerh (A) при: k ∈ Z, k > h.Пусть x ∈ ker∞ (A). Так как ker∞ (A) =kerk (A), то существует число k, удовлетворяk∈Z+ющее условиям: k ∈ Z+ , x ∈ kerSk (A). Так как kerk (A) ⊆ kerh (A), то x ∈ kerh (A). Пустьx ∈ kerh (A).
Так как ker∞ (A) =kerk (A), то x ∈ ker∞ (A). Итак, ker∞ (A) = kerh (A).k∈Z+Очевидно: Rh (A) ⊂ Rk (A) при Tk = 0, h − 1; Rh (A) = Rk (A) при: k ∈ Z, k > h.Пусть x ∈ R∞ (A). Так как R∞ (A) =Rk (A), то x ∈ Rh (A). Пусть x ∈ Rh (A). Так как:k∈Z+TRk (A), тоRh (A) ⊆ Rk (A) при k ∈ Z+ , то: x ∈ Rk (A) при k ∈ Z+ . Так как R∞ (A) =k∈Z+x ∈ R∞ (A). Итак, R∞ (A) = Rh (A).Так как: ker∞ (A) = kerh (A),R∞ (A) = Rh (A), то: ker∞ (A), R∞ (A) — подпространства пространства L, dim ker∞ (A) + dim R∞ (A) = N , ker∞ (A), R∞ (A) — инвариантныеподпространства оператора A.Так как h ∈ Z+ , то: ker∞ (A) ∩ R∞ (A) = kerh (A) ∩ Rh (A) = {θ}.
Тогда ker∞ (A),R∞ (A) — линейно независимые подпространства. Следовательно:dim ker∞ (A) + R∞ (A) = dim ker∞ (A) + dim R∞ (A) = N.Так как: ker∞ (A) + R∞ (A) — подпространство пространства L, N 6= +∞, dim(L) = N , тоker∞ (A) + R∞ (A) = L.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), h — высота оператора A, ker(A) 6= {θ}.Предположим, что h = 0. Тогда: ker(A) = ker1 (A) = ker0 (A) = {θ} (что противоречитусловию ker(A) 6= {θ}). Итак, h 6= 0.Пусть k ∈ N.
Так как: ker(A) = ker1 (A) ⊆ kerk (A), ker(A) 6= {θ}, то kerk (A) 6= {θ}.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), h — высота оператора A, ker(A) = {θ}.Так как: ker1 (A) = ker(A) = {θ} = ker0 (A), то h = 0.Пусть k ∈ Z+ . Так как k > h, то: kerk (A) = kerh (A) = ker0 (A) = {θ}.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L).Пусть: q ∈ N, x1 , . . .
, xq ∈ L, Ax1 = θ, Axj = xj−1 при j = 2, q. Будем говорить, чтоx1 , . . . , xq — циклическая серия векторов оператора A.Пусть x1 , . . . , xq — циклическая серия векторов оператора A. Пусть: j = 1, q, m =0, j − 1. Очевидно, Am xj = xj−m . Пусть: j = 1, q, m ∈ Z, m > j. Тогда:Am xj = Am−(j−1) (Aj−1 xj ) = Am−(j−1) x1 = Am−j (Ax1 ) = Am−j θ = θ.Пусть j = 1, q. Тогда: xj ∈ L, Aj xj = θ; xq ∈ L, xj = Aq−j xq . Следовательно: xj ∈ kerj (A),xj ∈ Rq−j (A).
Тогда xj ∈ kerj (A) ∩ Rq−j (A). Пусть: x1 6= θ, h — высота оператора A.Предположим, что q > h. Тогда: xq ∈ kerq (A) = kerh (A). Так как q − 1 > h, то: x1 =Aq−1 xq = θ (что противоречит условию x1 6= θ). Итак, q 6 h.5.1. Циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A39Пусть: q ∈ N, u ∈ kerq (A).
Тогда: u ∈ L, Aq u = θ. Обозначим: xj = Aq−j u при j = 1, q.Тогда: x1 , . . . , xq ∈ L, Axj = A(Aq−j u) = Aq−(j−1) u = xj−1 при j = 2, q; Ax1 = A(Aq−1 u) =Aq u = θ, xq = A0 u = Iu = u. Следовательно: x1 , . . . , xq — циклическая серия векторовоператора A, xq = u.Пусть: q ∈ N, x ∈ ker(A) ∩ Rq−1 (A). Тогда: x ∈ ker(A), x ∈ Rq−1 (A). Следовательно:x ∈ L, Ax = θ; существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u ∈ L, x = Aq−1 u.Обозначим: xj = Aq−j u при j = 1, q. Тогда: x1 , . . . , xq ∈ L, Axj = A(Aq−j u) = Aq−(j−1) u =xj−1 при j = 2, q; x1 = Aq−1 u = x, Ax1 = Ax = θ, xq = A0 u = Iu = u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
