Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Линейная алгебраБадьин А. В.СодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Подпространства линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Операции над множествами векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Линейно независимые подпространства, прямая сумма подпространств . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Линейное дополнение одного подпространства до другого . . . . . . .2. Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Числовые наборы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Геометрические объекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Возможные обобщения . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператора . .3.1. Общие сведения о линейных операторах . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора .

. . . .4.1. Инвариантные подпространства линейного оператора . . . . . . . . .4.2. Собственные подпространства линейного оператора . . . . . . . . . .4.3. Общие сведения о полиномах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Характеристический полином линейного оператора . . . . . . . . . .5. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме . . . .

. . .5.1. Циклический базис подпространства ker∞ (A) для оператора A . . . .5.2. Базис Жордана пространства L для оператора A . . . . . . . . . . . .6. Линейные, билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . .

.6.1. Линейные и полулинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Билинейные и полуторалинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . .7. Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . .8. Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства . . . . . .8.1. Линейные евклидовы пространства . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .8.2. Линейные псевдоевклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . .9. Сопряжённый оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1. Линейные формы в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . .

.9.2. Полуторалинейные формы в евклидовых пространствах . . . . . . . .9.3. Сопряжённый оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Самосопряжённый оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5. Унитарный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . ....133...............................479991016171720262627293136364346464854606067717172737576210. Самосопряжённый оператор. Спектральная теория . . . . . . . . . . . . .10.1. Самосопряжённый оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Эрмитовы полуторалинейные формы в евклидовом пространстве11. Кривые и поверхности второго порядка . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .11.1. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Кривые и поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Классификация кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .........................79798284848592951. Подпространства линейных пространств3Лекция 1. Подпространства линейных пространств1.1. Операции над множествами векторовОпределение (операции над множествами векторов). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейноепространство над полем K.1. Пусть Q1 , Q2 ⊆ L. Обозначим:Q1 + Q2 = {x1 + x2 : x1 ∈ Q1 ∧ x2 ∈ Q2 } = y : ∃x1 ∃x2 (x1 ∈ Q1 ∧ x2 ∈ Q2 ∧ y = x1 + x2 ) .2. Пусть: λ ∈ K, Q ⊆ L. Обозначим:λQ = {λx : x ∈ Q} = y : ∃x(x ∈ Q ∧ y = λx) .Утверждение.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Пусть Q1 , Q2 — подпространства пространства L. Тогда Q1 + Q2 — подпространство пространства L.2. Пусть: r1 , r2 ∈ N, x1 , . . . , xr1 , y1 , . . . , yr2 ∈ L. Тогда:L(x1 , . . . , xr1 ) + L(y1 , . . . , yr2 ) = L(x1 , . . .

, xr1 , y1 , . . . , yr2 ).3. Пусть: Q1 , Q2 — подпространства пространства L, dim(Q1 ), dim(Q2 ) 6= +∞. Тогдаdim(Q1 + Q2 ) 6 dim(Q1 ) + dim(Q2 ).4. Пусть: r ∈ Z, r > 2, Q1 , . . . , Qr — подпространства пространства L. Тогда: Qk ⊆Q1 + · · · + Qr при k = 1, r.5. Пусть: Q1 — подпространство пространства L, Q2 ⊆ Q1 , Q2 6= ∅. Тогда Q1 + Q2 =Q1 .Доказательство.1. Очевидно, Q1 + Q2 ⊆ L. Так как Q1 , Q2 6= ∅, то Q1 + Q2 6= ∅.Пусть x, y ∈ Q1 + Q2 . Тогда существуют векторы x1 , x2 , y1 , y2 , удовлетворяющиеусловиям: x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x = x1 + x2 , y1 ∈ Q1 , y2 ∈ Q2 , y = y1 + y2 . Следовательно:x + y = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) ∈ Q1 + Q2 .Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q1 + Q2 .

Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющиеусловиям: x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x = x1 + x2 . Следовательно:λx = λ(x1 + x2 ) = λx1 + λx2 ∈ Q1 + Q2 .Итак, Q1 + Q2 — подпространство пространства L.2. Пусть u ∈ L(x1 , . . . , xr1 ) + L(y1 , . . . , yr2 ). Тогда существуют векторы u1 , u2 , удовлетворяющие условиям: u1 ∈ L(x1 , . .

. , xr1 ), u2 ∈ L(y1 , . . . , yr2 ), u = u1 + u2 . Так какu1 ∈ L(x1 , . . . , xr1 ), то существуют числа α1 , . . . , αr1 ∈ K, удовлетворяющие условиюu1 = α1 x1 + · · · + αr1 xr1 . Так как u2 ∈ L(y1 , . . . , yr2 ), то существуют числа β 1 , . . . , β r2 ∈ K,удовлетворяющие условию u2 = β 1 y1 + · · · + β r2 yr2 . Тогда:u = u1 + u2 = (α1 x1 + · · · + αr1 xr1 ) + (β 1 y1 + · · · + β r2 yr2 ) == α1 x1 + · · · + αr1 xr1 + β 1 y1 + · · · + β r2 yr2 ∈ L(x1 , .

. . , xr1 , y1 , . . . , yr2 ).Пусть u ∈ L(x1 , . . . , xr1 , y1 , . . . , yr2 ). Тогда существуют числа α1 , . . . , αr1 , β 1 , . . . , β r2 ∈K, удовлетворяющие условию u = α1 x1 + · · · + αr1 xr1 + β 1 y1 + · · · + β r2 yr2 . Следовательно:u = α 1 x1 + · · · + α r 1 xr 1 + β 1 y1 + · · · + β r 2 yr 2 == (α1 x1 + · · · + αr1 xr1 ) + (β 1 y1 + · · · + β r2 yr2 ) ∈ L(x1 , . . .

, xr1 ) + L(y1 , . . . , yr2 ).41. Подпространства линейных пространств3. Обозначим: N1 = dim(Q1 ), N2 = dim(Q2 ). Пусть N1 , N2 6= 0. Так как N1 ∈ N, то существуют векторы e1 , . . . , eN1 , удовлетворяющие условию e1 , . . . , eN1 — базис подпространства Q1 . Так как N2 ∈ N, то существуют векторы f1 , . . .

, fN2 , удовлетворяющие условиюf1 , . . . , fN2 — базис подпространства Q2 . Тогда:dim(Q1 + Q2 ) = dim L(e1 , . . . , eN1 ) + L(f1 , . . . , fN2 ) = dim L(e1 , . . . , eN1 , f1 , . . . , fN2 ) == rank {e1 , . . . , eN1 , f1 , . . . , fN2 } 6 N1 + N2 .Пусть N1 = 0.

Тогда Q1 = {θ}. Следовательно:dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ).Пусть N2 = 0. Тогда Q2 = {θ}. Следовательно:dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ).4. Фиксируем номер k = 1, r. Пусть x ∈ Qk . Обозначим: yk = x, ym = θ при: m = 1, r,m 6= k. Тогда: y1 ∈ Q1 , . . . , yr ∈ Qr , x = y1 + · · · + yr . Следовательно, x ∈ Q1 + · · · + Qr .Итак, Qk ⊆ Q1 + · · · + Qr .5. Пусть x ∈ Q1 + Q2 . Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям:x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x = x1 +x2 .

Так как: x2 ∈ Q2 , Q2 ⊆ Q1 , то x2 ∈ Q1 . Тогда: x = x1 +x2 ∈ Q1 .Пусть x ∈ Q1 . Так как Q2 6= ∅, то существует вектор x2 , удовлетворяющий условиюx2 ∈ Q2 . Так как Q2 ⊆ Q1 , то x2 ∈ Q1 . Тогда: x = x + (−x2 ) + x2 ∈ Q1 + Q2 .1.2. Линейно независимые подпространства, прямая сумма подпространствОпределение (линейно независимые подпространства, прямая сумма подпространств).Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N, Q1 , . . . , Qr —подпространства пространства L.1.

Будем говорить, что Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства, если:∀x1 ∈ Q1 · · · ∀xr ∈ Qr x1 + · · · + xr = θ =⇒ x1 = θ ∧ · · · ∧ xr = θ .2. Пусть Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства. Обозначим,rPk=1Qk . Будем говорить, чтоrLrLQk =k=1Qk — прямая сумма подпространств Q1 , . . . , Qr .k=1Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q — подпространство пространства L. Очевидно, Q — линейно независимое подпространство.Утверждение.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈Z, r > 2, Q1 , . . . , Qr — подпространства пространства L. Подпространства Q1 , . . . , Qrлинейно независимы тогда и только тогда, когда:∀x1 ∈ Q1 · · · ∀xr ∈ Qr ∀y1 ∈ Q1 · · · ∀yr ∈ Qrx1 + · · · + xr = y1 + · · · + yr =⇒ x1 = y1 ∧ · · · ∧ xr = yr .1.2. Линейно независимые подпространства, прямая сумма подпространств5Доказательство.

Пусть Q1 , . . . , Qr — линейно независимые подпространства. Пусть: x1 ∈Q1 , . . . , xr ∈ Qr , y1 ∈ Q1 , . . . , yr ∈ Qr , x1 + · · · + xr = y1 + · · · + yr . Тогда: x1 − y1 ∈Q1 , . . . , xr −yr ∈ Qr , (x1 −y1 )+· · ·+(xr −yr ) = θ. Так как Q1 , . . . , Qr — линейно независимыеподпространства, то: x1 − y1 = θ, . . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций