ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Приведите пример отличной от нуля функции, которая совпадает со своим образом Фурье.4.6. Восстановите функцию f (x ) по её образу Фурье fˆ(λ) .pλ2−4.6.1. fˆc (λ) = 2,p>0;4.6.3. fˆ(λ) = e 2 .λ + p2λ4.6.2. fˆs (λ) = 2, p > 0;λ + p2Тема 9. Обобщенные функции.1.Определения.1.1. Какие функции входят в множество основных функций? Что такое носитель основной функции?231.2.

Сформулируйте определение сходящейся последовательности основных функций.1.3. Сформулируйте определение пространства D основных функций.1.4. . Сформулируйте определение функционала и линейного функционала на пространстве D основных функций.1.5. Сформулируйте определение непрерывного функционала на пространстве D .1.6. Сформулируйте определение обобщенной функции.1.7. Сформулируйте определение суммы двух обобщенных функций и произведенияобобщенной функции на число.1.8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности обобщенных функций.1.9.

Что такое пространство D ' обобщенных функций?1.10. Какие обобщенные функции называются регулярными и какие сингулярными?1.11. Что такое δ -функция?1.12. Сформулируйте определение произведения обобщенной функции и бесконечнодифференцируемой функции.1.13. Как определяется линейная замена переменных в обобщенных функциях?1.14. Сформулируйте определение производной обобщенной функции.1.15. Сформулируйте определение производной k -го порядка обобщенной функции.1.16.

Что такое носитель обобщенной функции?2-3. Основные теоремы и формулы.2-3.1. Докажите, что δ -функция является непрерывным линейным функционалом.2-3.2. Докажите, что δ -функция является сингулярной обобщенной функцией.2-3.3. Докажите, что δ -функцию можно представить как предел последовательности регулярных обобщенных функций.2-3.4. Напишите формулу, определяющую произведение обобщенной функции ибесконечно дифференцируемой функции. Обоснуйте эту формулу для регулярных обобщенных функций.2-3.5. Напишите формулу, определяющую линейную замену переменных в обобщенных функциях. Обоснуйте эту формулу для регулярных обобщенныхфункций.2-3.6. Напишите формулу, определяющую производную обобщенной функции.Обоснуйте эту формулу для регулярных обобщенных функций.2-3.7. Докажите, что любая обобщенная функция имеет производные всех порядков.4-5.

Вопросы и задачи.4-5.1. Приведите пример функции из пространства D .4-5.2. Приведите пример сходящейся последовательности функций в пространствеD.4-5.3. Приведите примеры линейного и нелинейного функционалов.4-5.4. Пусть fˆε , gˆε и ĥε - регулярные обобщенные функции., порожденные локально интегрируемыми функциямиx2−11x1εsin , hε (x ) =fε (x ) =e 4 ε , g ε (x ) =.22 πεπxεπ ε + x2Докажите , что• fˆε (x ) → δ(x ) при ε → +0 в D ' ;• gˆε (x ) → δ(x ) при ε → +0 в D ' ;• hˆ (x ) → δ(x ) при ε → +0 в D ' ,εгде δ(x ) есть δ -функция.244-5.5.

Найдите носитель δ -функции.4-5.6. Приведите пример обобщенной функции, носителем которой является всячисловая прямая.4-5.7. Докажите, что• δ(−x ) = δ(x ) ;• (δ(x − x 0 ), ϕ(x )) = ϕ(x 0 ) .4-5.8. Пусть θˆ(x ) есть обобщенная функция, порожденная функцией Хевисайда⎧⎪0, x < 0θ(x ) = ⎪⎨. Докажите, что производная D θˆ обобщенной функции θ̂1,x0≥⎪⎪⎩выражается формулой D θˆ = δ(x ) , где δ(x ) есть δ -функция.4-5.9. Выведите формулу для производной δ -функции.4-5.10.

Выведите формулу для производной k -го порядка δ -функции.4-5.11. Пусть sgn x -регулярная обобщенная функция, порожденная функцией⎧⎪−1, x < 0⎪⎪⎪sgn x = ⎨0, x = 0 . Докажите, что D (sgn x ) = 2δ(x ) .⎪⎪⎪1, x > 0⎪⎪⎩4-5.12. Пусть sin x и cos x - регулярные обобщенные функции, порожденныефункциями sin x и cos x . Докажите, что D (sin x ) = cos x ,D (cos x ) = −sin x .4-5.13. Пусть функция f (x ) имеет в точке x 0 разрыв первого рода, а в остальныхточках числовой прямой f (x ) и f '(x ) непрерывны; пусть fˆ и f ' - регулярные обобщенные функции, порожденные функциями f (x ) и f '(x ) .

Докажите, что для производной Dfˆ обобщенной функции fˆ справедливо равенствоDfˆ = f ' + [ f (x 0 + 0) − f (x 0 − 0)] δ (x − x 0 ) .25.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)