ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Сформулируйте достаточные условия того, что ряд Фурье функции f (x ) , заданной на отрезке [0; π ] , по системе функций {cos nx , n ≥ 0} , сходится в каждой точке числовой оси. Чему равна при этом сумма указанного ряда Фурье?4.12. Пусть f (x ) – непрерывная кусочно-гладкая функция на отрезке [−π; π ] ,f (−π ) = f (π ) , an , bn – коэффициенты ряда Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе. При каких p справедливы равенства an = o (n −p ) , bn = o (n −p ) ?4.13.
Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (−π; π ] по тригонометрической системе функций и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .4.14. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x ∈ (0; π ) , по системе функ-{}ций sin nx , n ≥ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .4.15.
Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x ∈ (0; π ) , по системе функ-{}ций cos nx , n ≥ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .4.16. Найдите разложение в{ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (0; π ) , по системе}функций sin nx , n ≥ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .4.17. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (0; π ) , по системе функ-{}ций cos nx , n ≥ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .194.18. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции⎧⎪0, −π ≤ x < 0. Найдите S (π) .f (x ) = ⎪⎨⎪⎪x , 0 ≤ x ≤ π⎩4.19.
Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x ,0 ≤ x < 2π , продолженной на всю числовую ось с периодом 2π . Найдите S (0) .4.20. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции⎧⎪1, 0 ≤ x < πf (x ) = ⎪⎨, продолженной на всю числовую ось с периодом 2π . Най⎪⎪2, π ≤ x < 2π⎩дите S (0) .4.21. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x 2 ,0 ≤ x < 2π , продолженной на всю числовую ось с периодом 2π . Найдите S (0) .4.22.
Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на [a;b ] функция, {ϕk (x )} – ортогональнаясистема функций в пространстве Q [a;b ] , fk – коэффициенты Фурье функции f (x )по системе{ϕk (x )} . Чему равно наименьшее значение функцииbF (C 1,C 2 ,...,C n ) =∫a2n⎛⎞⎜⎜ f (x ) − ∑ C ϕ (x )⎟⎟ dx ?k k⎜⎝⎠⎟k =14.23. Пусть f (x ) – интегрируемая на отрезке [a;b ] функция, {ϕk (x )} – ортогональнаясистема функций на отрезке [a;b ] , C k – произвольные числа. При каких значенияхbC k функция F (C 1,C 2 ,...,C n ) =∫a2n⎛⎞⎜⎜ f (x ) − ∑ C ϕ (x )⎟⎟ dx принимает наименьшееk k⎜⎝⎠⎟k =1значение?∞a0+ ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) , причем ряд сходится равномерно на2k =1всей числовой оси, C k – произвольные числа. Чему равно наименьшее значение4.24.
Пусть f (x ) =πфункции F (C 1,C 2 ,...,C n ) =∫−π2n⎛⎞⎜⎜ f (x ) − ∑ C sin kx ⎟⎟ dx ? Выразите ответ толькоk⎜⎝⎠⎟k =1через числовые величины ak , bk .∞a4.25. Пусть f (x ) = 0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) , причем ряд сходится равномерно на2k =1всей числовой оси, C k – произвольные числа. Чему равно наименьшее значениеπфункции F (C 0 ,C 1,C 2 ,...,C n ) =∫−π2n⎛⎞⎜⎜ f (x ) − C 0 − ∑ C cos kx ⎟⎟ dx ? Выразите ответk⎜⎝2⎠⎟k =1только через известные величины ak , bk .5.
Задачи повышенной трудности.∞⎛ π⎞5.1.Пусть f (x ) = ∑ bn sin 2nx , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = x , x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ . Нарисуйте⎝ 2⎠n =1график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурье равномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.20∞⎛ π⎞5.2.Пусть f (x ) = ∑ bn sin (2n + 1) x , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = x , x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ .
Нари⎝ 2⎠n =0суйте график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурьеравномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.∞⎛ π⎞5.3.Пусть f (x ) = ∑ bn cos 2nx , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = x , x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ . Нарисуйте⎝ 2⎠n =0график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурье равномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.∞⎛ π⎞5.4.Пусть f (x ) = ∑ bn cos (2n + 1) x , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = x , x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ .
Нари⎝ 2⎠n =0суйте график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурьеравномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.∞⎛ π⎞5.5.Пусть f (x ) = ∑ bn sin 2nx , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = 1, x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ . Нарисуйте⎝ 2⎠n =1график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурье равномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.∞⎛ π⎞5.6.Пусть f (x ) = ∑ bn cos(2n + 1)x , x ∈ (−∞; +∞) , и f (x ) = 1, x ∈ ⎜⎜0; ⎟⎟ .
Нарисуй⎝ 2⎠n =0те график функции f (x ) на отрезке [−π; π ] . Является ли указанный ряд Фурье равномерно сходящимся на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте.5.7.Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная четная функция на промежутке [−π; π ] , C k –произвольные числа. Чему равно значение lim Z n , если Z n = min F (C 1,C 2 ,...,C n ) ,πгде F (C 1,C 2 ,...,C n ) =n →∞2⎛⎞⎜ f (x ) − ∑ C cos kx ⎟⎟ dx ?⎜k∫ ⎜⎝⎠⎟k =1−πn5.8.Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная нечетная функция на отрезке [−π; π ] , C k –произвольные числа. Чему равно значение lim Z n , если Z n = min F (C 1,C 2 ,...,C n ) ,πгде F (C 1,C 2 ,...,C n ) =⎛∫ ⎜⎜⎝⎜ f (x ) − ∑C−πn →∞2nk =1k⎞sin kx ⎟⎟ dx ?⎠⎟5.9.Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [−π; π ] нечетная функция, ak и bk –коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) , C k – произвольныечисла.Чемуравнонаименьшеезначениефункции2πn⎛⎞F (C 1,C 2 ,...,C n ) = ∫ ⎜⎜ f (x ) − ∑ C k sin kx ⎟⎟⎟ dx ?⎜⎝⎠k =1−π5.10.
Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [−π; π ] нечетная функция, ak и bk– коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) , C k – произвольныечисла.Чемуравнонаименьшеезначениефункции2πn⎛⎞CF (C 0 ,C 1,C 2 ,...,C n ) = ∫ ⎜⎜ f (x ) − 0 − ∑ C k cos kx ⎟⎟⎟ dx ?2⎝⎜⎠k =1−π5.11.
Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [−π; π ] четная функция, ak и bk –коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) , C k – произволь21ныечисла.Чемуравнонаименьшее2n⎛⎞F (C 1,C 2 ,...,C n ) = ∫ ⎜⎜ f (x ) − ∑ C k sin kx ⎟⎟⎟ dx ?⎝⎜⎠k =1значениефункцииπ−π5.12. Докажите, что если производная f '(x ) существует в правой полуокрестноститочкиx0 ,исуществует lim f '(x ) = f '(x 0 + 0) ,тосуществуетx →x 0 + 0f (x 0 + ξ ) − f (x 0 + 0)= f ' (x 0 + 0) .ξ5.13. Докажите, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [−π, π ] функции f (x )коэффициенты тригонометрического ряда Фурье an и bn удовлетворяют условиям:• an → 0, bn → 0 при n → ∞ ;limξ →+0• ряд∞∑ (a2n+ bn 2 ) сходится.n =15.14.
Докажите, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [−π, π ] функции f (x )ее тригонометрического ряд Фурье можно интегрировать почленно.5.15. Сколько раз можно почленно дифференцировать на отрезке [−π, π ] тригонометрический ряд Фурье функции2• f (x ) = e sin x• f (x ) = (x 2 − π 2 )• f (x ) = e cos x• f (x ) = sin(cos x )Тема 8.
Интеграл Фурье.1. Определения.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1. Запишите представление функции f (x ) в виде интеграла Фурье. При каких условиях оно имеет место?2.2. Запишите интеграл Фурье функции f (x ) в комплексной форме.2.3. Запишите формулу преобразования Фурье функции f (x ) .2.4. Запишите формулу синус - преобразования Фурье функции f (x ) .2.5. Запишите формулу косинус - преобразования Фурье функции f (x ) .2.6. Запишите формулу обратного преобразования Фурье функции f (x ) .2.7.
Запишите формулу обратного синус - преобразования Фурье функции f (x ) .2.8. Запишите формулу обратного косинус - преобразования Фурье функции f (x ) .3.Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему о представлении функции в виде интеграла Фурье.4.Вопросы и задачи.4.1. Представьте в виде интеграла Фурье следующие функции:π⎧⎧sgn x ,⎪⎪cos x , x ≤ ;⎪⎪⎪4.1.2.()fx=⎨2f (x ) = ⎪4.1.1.0,⎪⎨⎪π⎩⎪⎪x≥0,;⎪2⎪⎩4.2.Найдите образ Фурье следующих функций:x24.2.1. f (x ) = e −p x , p > 0 ;−4.2.2. f (x ) = e 2 ;22x < 1;x > 1.4.2.3.
f (x ) = e −p x sin βx , p > 0 ;4.2.4. f (x ) = 1 , x ∈ [−p; p ] f (x ) = 0 , x ∉ [−p; p ] .4.3. Найдите косинус - образ Фурье четной функции f (x ) .⎧⎪1, x < p,4.3.1. f (x ) = ⎪⎨ x ≥ p. , p > 0 . Чему равно значение интеграла Фурье в точках0,⎪⎪⎩px = 0, x = , x = −p ?2cos qx4.3.2. f (x ) = e −p x , p > 0 ;, p > 0,4.3.6. f (x ) = 222 −p xp+x4.3.3.
f (x ) = x e , p > 0 ;q > 0;4.3.4. f (x ) = e −p x cos qx , p > 0 ,x2− 21e 2σ , σ > 0 .2πσq > 0;4.3.7. f (x ) =14.3.5. f (x ) = 2, p > 0;p + x24.4. Найдите синус - образ Фурье нечетной функции f (x ) .⎧1, 0 < x < p,⎪4.4.1. f (x ) = ⎪, f (−x ) = −f (x ) , p > 0 . Чему равно значение инте⎨ x ≥ p,0,⎪⎪⎩pграла Фурье в точках x = 0, x = , x = −p ?24.4.2. f (x ) = sign x ⋅ e −p x , p > 0 ;4.4.3. f (x ) = xe −p x , p > 0 ;4.4.4.
f (x ) = e −p x sin qx , p > 0 ,q > 0;x4.4.5. f (x ) = 2, p > 0;p + x24.4.6. f (x ) =x sin qx, p > 0,p2 + x 2q > 0;x2− 2x4.4.7. f (x ) =e 2σ , σ > 0 . При решении этой задачи можно использовать2πσдифференцирование по параметру образа Фурье четной функцииx2− 21f (x ) =e 2σ .2πσ4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
