ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630), страница 4
Текст из файла (страница 4)
∫4.9.3. ∫pxx11p ∈ [a; +∞) , a > 0 ;p ∈ [0; +∞) ;1xp∫ 1 − x dx ,0p ∈ [0; +∞) :4.9.2.4.10. Докажите, что функция f (p) =∫+∞−∞cos(px )dx непрерывна на промежутке1 + x2p ∈ (−∞; +∞) .4.11. Для каких значений p сходится интеграл∫102x p (ln x ) dx ? Вычислите его, диф-1ференцируя по параметру интеграл∫ x dx . Обоснуйте возможность примененияp0этого метода.4.12. Вычислите:4.12.1.+∞∫−∞12π4.12.2.12π4.12.3.4.13.лера .4.13.1.2x 2e −x dx , дифференцируя по параметру интеграл∫+∞−∞∫+∞−∞x2−42xedx ,дваждыдифференцируяпо∫+∞−∞2e −px dx ;параметруинтеграл2e −px dx .sin x −pxe dx , p > 0 , дифференцируя по параметру.0xУкажите область сходимости интеграла и выразите его через интегралы Эй-∫∫0+∞+∞2t p−1e −t dt ;4.13.2.15∫0+∞pe −x dx ;4.13.3.∫10p(− ln t ) dt ;4.13.5.x p−1dx ;4.13.4. ∫0(1 + x )qЗадачи повышенной трудности.+∞5.4.13.6.∫∫+∞010∞x p−1dx (q > 0 ) ;1 + xq⎛⎜ −1⎞⎟⎜ ⎟⎟p ⎜⎝ p ⎠⎟(1 − x )dx , p > 0 .sin xdx на равномернуюxp∫5.1.С помощью критерия Коши исследуйте интеграл5.2.сходимость на промежутке p ∈ (0; +∞) .Докажите, что функция f(p) непрерывна на указанном промежутке05.2.1.5.2.2.5.3.∫f (p ) = ∫f (p ) =+∞0+∞02e −(x −p ) dx , p ∈ (0; +∞) ;xdx , p ∈ (2; +∞) .1+ xpДля каких значений q сходится интегралдифференцируя по параметру интеграл∫∫+∞0+∞02xe −x sin qxdx ? Вычислите его,2e −x cos qxdx .
Обоснуйте воз-можность применения этого метода.Тема 6. Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметра.1. Определения.1.1. Сформулируйте определение равномерной сходимости в точке M o несобственногоинтеграла вида∫ ∫ ∫ f (M , P )g(P )dV.PG2.Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1.Сформулируйте теорему о достаточных условиях равномерной сходимости вточке Mo несобственного интеграла∫ ∫ ∫ f (M , P )g(P )dVP.G3.Теоремы с доказательством.3.1.Докажите теорему о достаточных условиях равномерной сходимости в точкеM o несобственного интеграла∫ ∫ ∫ f (M , P )g(P )dVP.G3.2.Докажите, что если несобственный интеграл u(M ) =∫ ∫ ∫ f (M , P )g(P )dVPGсходится равномерно относительно M в точке M 0 , то функция u(M ) непрерывна в точке M 0 .4.
Вопросы и задачи.4.1.Напишите выражение для ньютонова потенциала.4.2.Напишите формулы для частных производных первого порядка ньютоновапотенциала.5. Задачи повышенной трудности.5.1.Докажите, что ньютонов потенциал является непрерывной функцией.16Тема 7. Ряды Фурье.1. Определения.1.1.Сформулируйте определение кусочно-непрерывной функции на отрезке [a, b ] .1.2.Сформулируйте определение кусочно-гладкой функции на отрезке [a, b ] .1.3. Что такое тригонометрическая система функций на отрезке [−l, l ] ?1.4.
Какой ряд называют рядом Фурье функции f (x ) по тригонометрической системефункций на отрезке [−l, l ] ?1.5. Сформулируйте определение бесконечномерного евклидова пространства.1.6.Что такое евклидово пространство кусочно-непрерывных функций Q [a, b ] ?1.7. Сформулируйте определение нормированного пространства.1.8.Сформулируйте определения ортогональной и ортонормированной систем в бесконечномерном евклидовом пространстве.1.9. Что такое ряд Фурье элемента f бесконечномерного евклидова пространства поортогональной системе {ψn } ? Напишите выражение для коэффициентов Фурьеэлемента f .1.10.
Сформулируйте определение сходимости ряда Фурье элемента f к этому элементу по норме данного пространства.1.11. Сформулируйте определение замкнутой системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.1.12. Сформулируйте определение полной системы в бесконечномерном евклидовомпространстве.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1. Запишите ряд Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе функций наотрезке [−π; π ] и выражения для коэффициентов этого ряда.2.2.
Запишите ряд Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе функций наотрезке [−l ; l ] и выражения для коэффициентов этого ряда.2.3. Запишите тригонометрический ряд Фурье функции f (x ) в комплексной форме наотрезке [−l ; l ] и выражения для коэффициентов этого ряда.2.4. Сформулируйте теорему о поточечной сходимости и сумме тригонометрическогоряда Фурье2.5. Запишите ряд Фурье элемента f бесконечномерного евклидова пространства поортогональной системе элементов этого пространства и выражения для коэффициентов этого ряда.2.6.
Сформулируйте теорему об экстремальном свойстве частичных сумм ряда Фурьеэлемента f бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированнойсистеме элементов этого пространства.2.7. Запишите тождество Бесселя для элемента f бесконечномерного евклидова пространства.2.8. Запишите неравенство Бесселя для элемента f бесконечномерного евклидова пространства.2.9. Запишите неравенство Бесселя для коэффициентов ряда Фурье функции f (x ) потригонометрической системе функций на отрезке [−π; π ] .2.10.
Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии замкнутости ортонормированной системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.2.11. Сформулируйте теорему о связи замкнутости и полноты ортонормированнойсистемы в бесконечномерном евклидовом пространстве.172.12. Сформулируйте теорему о равномерной сходимости тригонометрического рядаФурье функции f (x ) на отрезке [−π; π ] .2.13. Сформулируйте теорему об m – кратном почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) на отрезке [−π; π ] .2.14.
Сформулируйте теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [−l ; l ]функции тригонометрическим многочленом.2.15. Сформулируйте теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [a;b ] функции алгебраическим многочленом.2.16. Сформулируйте теорему о замкнутости тригонометрической системы функций.3.
Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте функции непрерывной кусочно-гладкой функцией.3.2. Докажите, что если f (x ) - кусочно-непрерывная на сегменте [a;b ] функция, тоb∫abf (x ) cos λxdx → 0 при λ → ∞ и∫ f (x ) sin λxdx → 0 при λ → ∞ .a3.3. Докажите теорему о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.3.4. Докажите теорему об экстремальном свойстве частичных сумм ряда Фурье элемента f бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированной системе элементов этого пространства. Обоснуйте тождество Бесселя и неравенствоБесселя.3.5. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии замкнутости ортонормированной системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.3.6.
Докажите, что если ортонормированная система в бесконечномерном евклидовомпространстве замкнута, то любой элемент пространства можно разложить в рядФурье по этой системе, сходящийся к данному элементу по норме пространства.Докажите единственность такого разложения.3.7. Докажите теорему о связи замкнутости и полноты ортонормированной системы вбесконечномерном евклидовом пространстве.3.8. Докажите теорему о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурьефункции f (x ) на отрезке [−π; π ] .3.9. Докажите теорему об m – кратном почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) на отрезке [−π; π ] .3.10. Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [−π; π ] функциитригонометрическим многочленом.3.11.
Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [a;b ] функции алгебраическим многочленом.3.12. Докажите теорему о замкнутости тригонометрической системы функций в пространстве Q [−π; π ] .4. Вопросы и задачи.4.1. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке[−π; π ] , каждый элемент которой ортогонален всем функциям sin nx , n ≥ 1 . Является ли эта система полной?4.2. Приведите пример бесконечной системы функций на отрезке [−π; π ] , которая неявляется замкнутой в пространстве Q [−π; π ] , но если к ней добавить еще однуфункцию, то она станет замкнутой.4.3.
Приведите пример бесконечной системы функций на отрезке [−π; π ] , которая неявляется замкнутой в пространстве Q [−π; π ] , но является замкнутой в подпро18странстве пространства Q [−π; π ] , состоящем из всех четных кусочнонепрерывных функций.4.4. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке[−π; π ] , которая не является полной в пространстве Q [−π; π ] .4.5. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке[−π; π ] , которая не является замкнутой в пространстве Q [−π; π ] .4.6. Верно ли, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [−π; π ] функции f (x ) ,её ряд Фурье по тригонометрической системе сходится в среднем на указанномотрезке? Ответ обоснуйте ссылкой на теорему.4.7.
Верно ли, что для любой 2π – периодической непрерывно дифференцируемой навсей числовой оси функции f (x ) её ряд Фурье по тригонометрической системесходится к f (x ) равномерно на всей числовой оси? Ответ обоснуйте ссылкой натеорему.4.8.
Верно ли, что для любой 2π – периодической дважды непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции f (x ) её ряд Фурье по тригонометрическойсистеме можно дифференцировать почленно и ряд из производных сходится кf ′(x ) равномерно на отрезке [−π; π ] ? Ответ обоснуйте ссылкой на теорему.4.9. Верно ли, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [−π; π ] функции f (x ) еёряд Фурье по тригонометрической системе можно интегрировать почленно и рядиз интегралов сходится к интегралу от функции f (x ) равномерно на отрезке[−π; π ] ? Ответ обоснуйте ссылкой на теорему.4.10. Сформулируйте достаточные условия того, что ряд Фурье функции f (x ) , заданной на отрезке [0; π ] , по системе функций {sin nx , n ≥ 1} , сходится в каждой точке числовой оси. Чему равна при этом сумма указанного ряда Фурье?4.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
