ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630), страница 3
Текст из файла (страница 3)
f (x ) = ∑ x ,4.9.2. f (x ) = ∑ x .k =1 kk =1 k∞sin nx4.10. Докажите, что функция f (x ) = ∑непрерывна и имеет непрерывнуюn3n =1производную на интервале (−∞; ∞) .4.11. Найдите сумму степенного ряда и укажите область сходимости:+∞+∞(−1)k 2k4.11.1.
∑ x k ;4.11.4. ∑x ;k =1k =0 (2k )!+∞+∞xkxk4.11.2. ∑ ;4.11.5. ∑ ;k =0 k !k =1 kk∞+∞(−1)2k +14.11.6. ∑ nx n .4.11.3. ∑x;n =1k =0 (2k + 1)!4.12. Получите разложение в степенной ряд функции f (x ) = arctg x . Найдите сумму∞n +1(−1). Указание: сначала разложите в степенной ряд производнуюряда ∑n =1 2n − 1f (x ) = arctg x , а потом примените почленное интегрирование.4.13. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = x n 1 − x сходится вкаждой точке и в среднем на сегменте [0;1] к функции f (x ) = 0 .4.14. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = nx n 1 − x сходитсяв каждой точке сегмента [0;1] к функции f (x ) = 0 и не сходится в среднем на сегменте [0;1] к этой функции.5.Задачи повышенной трудности.5.1.Найдите предел и исследуйте на равномерную сходимость функциональную последовательность fn (x ) = x n на промежутке x ∈ [0,1] .5.2.При каких значениях параметра α последовательность fn (x ) = n αxe −nx (a) сходитсяна сегменте [0;1], (b) сходится равномерно на сегменте [0;1]?∞5.3.Докажите, что функциональный ряд∑xна промежутке x∈(−1;1) не являетсяkk =0равномерно сходящимся.∞∑ (−1)5.4.Докажите, что функциональный рядkx k на промежутке x∈(−1;1) не явля-k =0ется равномерно сходящимся.∞5.5.Докажите, что функциональный ряд∑ kxk =1равномерно сходящимся.11kна промежутке x∈(0;1) не является∞5.6.Докажите, что функциональный ряд∑ (−1)kkx k на промежутке x∈(−1;1) не явля-k =1ется равномерно сходящимся.5.7.Исследуйте сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости:nk2∞+∞(3 + (−1)n ) n⎛1 ⎞⎟ k5.7.3.
∑x .5.7.1. ∑ ⎜⎜1 + ⎟ x ;⎝nk⎠n =1k =1+∞5.7.2.(k !)2∑ (2k )! xk;k =15.8. Приведите пример функциональной последовательности, которая сходится кфункции f (x ) в каждой точке сегмента [a, b ] , но не сходится к f (x ) в среднем на[a, b ] .5.9. Приведите пример функциональной последовательности, которая сходится в среднем к некоторой функции на сегменте [a, b ] , но не сходится ни в одной точке этого сегмента.5.10. Докажите, что если функциональная последовательность { fn′ (x )} равномерно ограничена на промежутке X , то функциональная последовательность {fn (x )} равностепенно непрерывна на промежутке X .5.11.
Приведите пример функциональной последовательности, которая ограничена вкаждой точке x ∈ X , но не является равномерно ограниченной на множестве X .n5.12. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) =сходится неx +nравномерно на множестве [ 0, +∞ ) , но предельная функция непрерывна на этоммножестве.5.13. Приведите пример функциональной последовательности { fn (x )} , которая сходится неравномерно к функции f (x ) на промежутке X , и при этомxxx0x0lim ∫ fn (t )dt ≠ ∫ f (t )dt , где [x 0 , x ] ⊂ X .n →∞5.14.
Приведите пример функциональной последовательности { fn (x )} , такой, что каждая функция fn (x ) равномерно непрерывна на сегменте [a, b ] , но последовательность не является равностепенно непрерывной на этом сегменте.Тема 4. Несобственные интегралы.1. Определения.1.1.Сформулируйте определение несобственного интеграла I рода.1.2.Сформулируйте определение несобственного интеграла II рода.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1.Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла I рода.2.2.Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла II рода.2.3.Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов I рода.2.4.Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов II рода.2.5.Сформулируйте признак Дирихле-Абеля для несобственного интеграла I рода.3.
Теоремы с доказательством.3.1.Докажите теорему о критерии Коши сходимости несобственного интеграла I рода.3.2.Докажите теорему о критерии Коши сходимости несобственного интеграла II рода.3.3.Докажите теорему о признаке сравнения для несобственных интегралов I рода.3.4.Докажите теорему о признаке сравнения для несобственных интегралов II рода.3.5.Докажите теорему о признаке Дирихле-Абеля для несобственного интеграла I рода.124. Вопросы и задачи.4.1.Исследуйте интегралы на сходимость:+∞ x 2 + 14.1.1.
∫dx ;0x4 +1+∞ x 3 + 14.1.2. ∫dx ;0x4 +1+∞ ln(1 + x 3 )4.1.3.∫0 x 3 x dx ;+∞ ln(1 + x 3 )4.1.4. ∫dx ;0x4 x4.2.Докажите, что интеграл сходятся:4.2.1.4.2.2.4.3.∫∫+∞0+∞04.1.5.4.1.6.4.1.7.+∞∫ ( x + 1 − x − 1)dx ;∫ ( x + 1 − x − 1)dx ;∫ x sin(x )dx .1+∞331+∞30x 2e −xdx ;x ne −xdx , n ∈ Z , n > −1 .Докажите, что интеграл сходится, и вычислите его:4.3.1.4.3.2.+∞2∫∫ x ln xdx ;01xe −x dx ;4.3.3.4.3.4.0∫∫+∞0+∞0e −x sin xdx ;e −x cos xdx .4.4.Исследуйте интеграл на сходимость и вычислите в случае сходимости.+∞+∞ sin(ln x )4.4.1.
∫ sin(ln x )dx ;dx .4.4.3. ∫11x2+∞ sin(ln x )4.4.2. ∫dx ;1x4.5.Найдите, при каких значениях параметра p сходится интеграл:1 dx+∞dx4.5.1. ∫ p ;4.5.3. ∫;20 xx (ln x )p+∞ dx+∞arctg(ax ) dx4.5.2. ∫;p4.5.4.,a > 0.1xp∫x0Найдите, при каких значениях параметра p интеграл сходится абсолютно ипри каких − условно:+∞ cos x+∞ sin x4.6.2.4.6.1. ∫;dx∫1 x p dx .0xp5. Задачи повышенной трудности.4.6.+∞5.1.Вычислите∫2e −x dx .0∞5.2.Пусть∫ f (x )dxсходится. Следует ли из этого, что f (x ) → 0 при x → +∞ ? От-aвет обоснуйте.∞5.3.Пусть f (x ) - монотонная функция при x ∈ (a; +∞) ,∫ f (x )dxa⎛1⎞те, что f (x ) = ο ⎜⎜ ⎟⎟ при x → +∞ .⎝x ⎠13сходится.
Докажи-Тема 5. Интегралы, зависящие от параметра.1. Определения.1.1. Сформулируйте определение равномерной сходимости несобственного интеграла Iрода, зависящего от параметра.1.2. Сформулируйте определение равномерной сходимости несобственного интегралаII рода, зависящего от параметра.1.3.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.1.4.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости несобственного интеграла II рода, зависящего от параметра.2.
Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1. Сформулируйте теорему о непрерывности собственного интеграла, зависящего отпараметра.2.2. Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра.2.3. Сформулируйте теорему о дифференцировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра.2.4. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.2.5. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла II рода, зависящего от параметра.2.6.
Сформулируйте признак Вейерштрасса (мажорантный) равномерной сходимостинесобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.2.7. Сформулируйте признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.2.8. Сформулируйте теорему о непрерывности несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.2.9.Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.2.10.Сформулируйте теорему о дифференцировании по параметру несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.3.
Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему о критерии Коши равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.3.2. Докажите теорему о непрерывности по параметру несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.3.3.
Докажите теорему об интегрировании по параметру несобственного интеграла Iрода, зависящего от параметра.3.4.Докажите теорему о дифференцировании по параметру несобственного интеграла Iрода, зависящего от параметра.4. Вопросы и задачи.4.1. Запишите формулу для гамма-функции Γ (p ) в виде несобственного интеграла.Укажите область сходимости.4.2. Укажите области равномерной сходимости для гамма-функции Γ (p ) .4.3.Докажите, что гамма-функция Γ (p ) непрерывна при p > 0 .4.4.
Докажите, что гамма-функция Γ (p ) при p > 0 имеет производную любого порядка.4.5. Докажите, что гамма-функция удовлетворяет тождеству Γ (p + 1) = p Γ (p ) приp > 0.144.6.Напишите формулу для бета-функции B (p, q ) в виде несобственного интеграла.Укажите область сходимости.4.7. Напишите формулу, выражающую бета-функцию через гамма-функцию, и докажите, что B (p, q ) непрерывна в области p > 0 , q > 0 .4.8.Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежутке изменения параметра p, используя определение равномерной сходимости несобственного интеграла.+∞1dxdx4.8.1.
∫ p , p ∈ (1; +∞) . ∫ p , p ∈ (0;1) ;xx01+∞∫4.8.2.pe −pxdx , а) p ∈ [a;b ] , 0 < a < b , б) p ∈ [0;b ] , b > 0 ;0+∞4.8.3.∫e−px∫e−pxsin xdx , а) p ∈ (0; +∞) , б) p ∈ [a; +∞) , a > 0 ;0+∞4.8.4.dx а) p ∈ (0; +∞) ; б) p ∈ [a; +∞) , a > 0 .04.9. Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежутке изменения параметра p, используя признаки равномерной сходимости интеграла.+∞+∞sin xcos x −pxdx ,e dx ,4.9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
