ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V и u(x,y,z)имеет в D непрерывные частные производные второго порядка, .то⎛⎛ ∂u ⎞2 ⎛ ∂u ⎞2 ⎛ ∂u ⎞2 ⎞⎟∂u∂u⎜∫∫ u ∂n ds = ∫∫∫ ⎜⎜⎝⎜⎜⎝⎜ ∂x ⎠⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜⎝ ∂y ⎠⎟⎟⎟ + ⎝⎜⎜ ∂z ⎠⎟⎟⎟ ⎠⎟⎟⎟⎟dxdydz + ∫∫∫ uΔudxdydz , где ∂n SVVпроизводная по направлению внешней нормали к поверхности S, Δ − операторЛапласа.1.2.3.4.Тема 2. Скалярные и векторные поля.Определения.1.1. Сформулируйте определение градиента скалярного поля в декартовой системе координат.1.2.
Сформулируйте определение дивергенции векторного поля в декартовой системекоординат.1.3. Сформулируйте определение ротора векторного поля в декартовой системе координат.1.4. Сформулируйте инвариантное определение дивергенции.1.5. Сформулируйте инвариантное определение ротора.1.6.Сформулируйте определение циркуляции векторного поля вдоль кривой.1.7. Сформулируйте определение потока векторного поля через заданную сторону поверхности.1.8.Сформулируйте определение потенциального векторного поля.1.9.Сформулируйте определение соленоидального векторного поля.Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1.Сформулируйте свойства потенциального векторного поля.2.2.
Сформулируйте свойства соленоидального векторного поля.2.3. Сформулируйте теорему о представлении векторного поля как суммы потенциального и соленоидального полей.2.4.Запишите формулу для gradu в криволинейных ортогональных координатах.2.5. Запишите формулу для div a в криволинейных ортогональных координатах.2.6. Запишите формулу для rot a в криволинейных ортогональных координатах.Теоремы с доказательством.Вопросы и задачи.4.1. Найдите угол между:64.1.1. Градиентами функций u = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) иv = xy + yz + zx − 18x − 6z − y в точке M (3, 5, 4).y4.1.2. Градиентами скалярного поля u = 2в точкахx + y2 + z 2M 1(1,2,2) и M 2 (−3,1, 0).4.2. Вычислите, если r = x 2 + y 2 + z 2 , r = xi + yj + zk ,b = b1i + b2 j + b3k , c = c1i + c2 j + c3k – постоянные векторы:⎛1⎞4.2.1. grad ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝r ⎠4.2.2.
divr , div(rr ) , div(r 2r ) , div(r −1r ) , div(r −2r ) ;4.2.3. grad(c , r ) ;4.2.4. div(rc ) , div(b (r , c )) ;⎛r ⎞4.2.5. rotr , rot(rr ) , rot ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ;⎜⎝ r ⎠4.2.6. div [c × r ] ;4.2.7. rot [c × r ] .4.3. Вычислите grad(uv ) , grad(u 2 ) , grad f (u ) , grad(sin u ) , grad1, где u , v – дифuференцируемые скалярные поля.4.4. Применяя оператор Гамильтона, докажите следующие соотношения, если u –дифференцируемое скалярное поле, a и b – дифференцируемые векторные поля:4.4.1. div(ua ) = (grad u ⋅ a ) + u div a ;4.4.2. rot(ua ) = [grad u ⋅ a ] + u rot a ;4.4.3.
div[a , b ] = b rot a − a rot b .4.5. Используя оператор Гамильтона ∇ , докажите следующие соотношения, если u иv – дважды дифференцируемые скалярные поля, a и b - дважды дифференцируемые векторные поля, Δ - оператор Лапласа:4.5.1. div(u grad v ) = (grad u ⋅ grad v ) + u Δv ;4.5.2. rot(rot a ) = grad div a − Δa ;()4.5.3. rot ⎡⎢a × b ⎤⎥ = b , ∇ a − (a , ∇)b + a div b − b div a ;⎣⎦4.5.4. grad a , b = (a , ∇)b + b , ∇ a + ⎡⎢a × rot b ⎤⎥ + ⎡⎢b × rot a ⎤⎥ .⎣⎦ ⎣⎦4.6. Вычислите rot grad u , где u – дважды дифференцируемое скалярное поле.( )()4.7. Вычислите div rot a , где a – дважды дифференцируемое векторное поле.4.8. Вычислите дивергенцию электрического поля E точечного заряда e, помещенного в точку (x 0 , y 0 , z 0 ) .yzj− 2k в точках, где4.9.
Вычислите ротор векторного поля a = xi + 22y +zy + z2y 2 + z 2 ≠ 0 , и циркуляцию этого поля вдоль окружности L : {y 2 + z 2 = 1 ,x = x0 }.74.10. Найдите поток векторного поля r = xi + yj + zk : а) через внешнюю сторонубоковой поверхности конуса x 2 + y 2 ≤ z 2 ( 0 ≤ z ≤ h ); б) через внутреннююсторону основания этого конуса.4.11.
Найдите поток векторного поля a = yzi + xzj + xyk в направлении внешней нормали к поверхности: а) через боковую поверхность цилиндра x 2 + y 2 ≤ a 2( 0 ≤ z ≤ h ); б) через полную поверхность этого цилиндра.4.12. Найдите поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 3 k через сферу x 2 + y 2 + z 2 = xв направлении внешней нормали к поверхности.4.13. Проверьте, что векторное поле a является потенциальным и найдите его скалярный потенциал:4.13.1. a = 2xyzi + x 2zj + x 2yk ;xy4.13.2. a = 2i+ 2j ( x 2 + y 2 ≠ 0 );22x +yx +y4.13.3.
a = yz (2x + y + z ) i + xz (x + 2y + z ) j + xy (x + y + 2z ) k .2xy4.14. Убедитесь, что векторное поле a =1 i−3 j−3 k является(y + z ) 2(y + z ) 2(y + z ) 2потенциальным и найдите работу этого поля вдоль пути, соединяющего точки()()M 1, 1, 3 и N 2, 4, 5 и расположенного в октанте x > 0,y > 0, z > 0 .2()24.15. Проверьте, что векторное поле a = ye x i + 2yzj − 2xyze x + z 2 k является соленоидальным.5. Задачи повышенной трудности.5.1.Вычислите, еслиr = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k − постоянный вектор:5.1.1. div (r 5 (a , r ) r ) ;5.1.6. div grad (r 4 ) ;5.1.2. rot (r 5 (a , r ) r ) ;5.1.7.div grad ((a , r ) ) ;5.1.3. rot (r (a , r ) r ) ;5.1.8.grad r ⋅ (a , r ) ;5.1.9.div grad (r 2 (a , r )) ;5.1.4.(7)grad r ⋅ (a , r ) ;5.1.5.
grad (r 7 (a , r )) ;5(4)5.1.10. div (r 2 (a , r ) ⋅ r ) .5.2. Разложите векторное поле a = (x + y )i + (x − y ) j + (z + 1) k на сумму потенциального и соленоидального полей.xyi+ 2j является соленоидаль5.3. Проверьте, что векторное поле a = 22x +yx + y2ным, и найдите его векторный потенциал.Тема 3. Функциональные последовательности и ряды.1 Определения.1.1. Сформулируйте два определения равномерной сходимости функциональной последовательности.1.2. Сформулируйте определение равномерной сходимости функционального ряда.1.3.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости функциональной последовательности.1.4.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости функционального ряда.81.5.
Сформулируйте определение сходимости в среднем функциональной последовательности.1.6. Сформулируйте определение сходимости в среднем функционального ряда.1.7.Сформулируйте определение равномерно ограниченной функциональной последовательности.1.8.Сформулируйте определение равностепенно непрерывной функциональной последовательности.2 Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.2.2. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.2.3. Сформулируйте мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимостифункционального ряда.2.4.
Сформулируйте признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости функционального ряда.2.5. Сформулируйте теорему о непрерывности предела функциональной последовательности.2.6. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда.2.7. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком производной для функциональной последовательности.2.8. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.2.9. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной последовательности.2.10.
Сформулируйте теорему о почленном интегрировании функционального ряда.2.11. Сформулируйте теорему Арцела.3. Теоремы с доказательством.3.1. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Докажите необходимость условия Коши.3.2. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Докажите необходимость условия Коши.3.3. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Докажите достаточность условия Коши.3.4.
Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Докажите достаточность условия Коши.3.5. Докажите теорему о мажорантном признаке Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.3.6. Докажите теорему о признаке Дирихле-Абеля равномерной сходимости функционального ряда3.7. Докажите теорему о непрерывности предела функциональной последовательности.3.8. Докажите теорему о непрерывности суммы функционального ряда.3.9. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком производной для функциональной последовательности.3.10. Докажите теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.3.11.
Докажите теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для равномерносходящейся функциональной последовательности.3.12. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной последовательности, сходящейся в среднем.3.13. Докажите теорему о почленном интегрировании функционального ряда, сходящегося в среднем.94.Вопросы и задачи.4.1.Найдите предел и исследуйте на равномерную сходимость функциональную последовательность на заданном промежутке:4.1.9.
fn (x ) = arctg (nx ) ,4.1.1. fn (x ) = x n , x ∈ (0,1) ;nx ∈ (−∞; +∞) ;4.1.2. fn (x ) = arcsin (x ) ,4.1.10. fn (x ) = e −nx а) x ∈ (0,1) ;x ∈ ( 0,1) ;б) x ∈ [1, ∞) ;4.1.3. fn (x ) = arctg (x n ) ,x ∈ ( 0,1) ;4.1.4. fn (x ) = n x , x ∈ ( 0,1) ;⎛1⎞4.1.5. fn (x ) = arctg ⎜⎜ n ⎟⎟ ,⎝x ⎠x ∈ ( 0,1) ;14.1.6. fn (x ) =,1 + (x − n )2x ∈ (−∞; +∞) ;4.1.11. fn (x ) = x n − x n +1 , x ∈ [0;1] ;14.1.12. fn (x ) =,1 + n 2x 2x ∈ (−∞; +∞) ;2nx,4.1.13. fn (x ) =1 + n 2x 2а) x ∈ [1; +∞) ; б) x ∈ [0;1] ;nx 24.1.14. fn (x ) =,1 + nx−nx 24.1.7. fn (x ) = e,x ∈ [0; +∞) ;x ∈ (−∞; +∞) ;nx4.1.15. fn (x ) =,4.1.8. fn (x ) = ln (1 − x n ) ,1 + n 4x 4x ∈ ( 0,1) ;x ∈ (−∞; +∞) .n4.2.Докажите, что последовательность fn (x ) = nx (1 − x ) сходится неравномерно на11сегменте [0;1], но lim ∫ fn (x )dx =n →∞0∫ lim fn →∞0n(x )dx4.3.Докажите, что последовательность fn (x ) =()′(−∞;+∞), но lim fn (x )n →∞x =1.1arctg (x n ) сходится равномерно наn⎛⎞≠ lim ⎜⎜ fn ′ (x ) ⎟⎟⎟ .n →∞ ⎝x =1 ⎠4.4.Докажите, что последовательность fn (x ) = x 2 +1π⎞⎛sin n ⎜⎜x + ⎟⎟ сходится равно⎝2⎠n′мерно на (−∞;+∞), но соотношение lim fn (x ) = lim fn ′ (x ) не имеет места.(n →∞)n →∞∞4.5.Определите область сходимости функционального рядаn∑xn =1n.4.6.Определите область абсолютной и условной сходимости функционального ряда:+∞+∞ sin k(−1)k4.6.1.
∑ k =1 x ;4.6.2. ∑ x.kkk =1 2k + (−1)4.7.Исследуйте ряд на равномерную сходимость.+∞∞kx4.7.1. ∑ e −kx , x ∈ (0; +∞) ;,4.7.3. ∑4 2k =1k =1 1 + k x+∞arctg(2kx )x ∈ (−∞; +∞) ;4.7.2. ∑,k k+∞(−1)kk =14.7.4. ∑ k =1,x ∈ (−∞; +∞) ;k+ xx ∈ [0; +∞) ;10∞sin kx, x ∈ [ε,2π − ε ] , где ε > 0 , 0 < ε < π .kk =14.8.Определите радиус и интервал сходимости степенного ряда:4.7.5.∑k2+∞∞⎛1⎞4.8.1. ∑ ⎜⎜1 + ⎟⎟ x k ;⎝k⎠k =1+∞4.8.2.2(k !)∑ (2k )! xk4.8.3.∑n(3 + (−1)n )n =1nxn .;k =14.9.Укажите область определения функции f (x ) и исследуйте функцию на непрерывность:+∞+∞1sin k4.9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
