ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1111630)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра математикиВ.Ф.Бутузов, А.А.Быков, Н.Т. Левашова, Н.Е. ШапкинаВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ(3 СЕМЕСТР)Москва-2008Тема 1. Поверхностные интегралы.1. Определения.1.1. Сформулируйте определение площади поверхности.1.2. Сформулируйте определение поверхностного интеграла первого рода.1.3. Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).2.1. Запишите формулу площади поверхности, заданной уравнениемz = h (x , y ), (x , y ) ∈ D , и сформулируйте условия ее применимости.2.2. Запишите формулу площади поверхности, заданной параметрически, и сформулируйте условия ее применимости.2.3.Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода∫∫ f (x, y, z )dσ при условии, что поверхность S задана в видеSz = h (x , y ), (x , y ) ∈ G, G – область на плоскости (x,y).2.4.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода∫∫ f (x, y, z )dσ при условии, что поверхность S задана в параметрической форме.S2.5. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода∫∫ f (x, y, z ) cos γd σ при условии, что поверхность S задана в видеSz = h (x , y ), (x , y ) ∈ G, G – область на плоскости (x,y), γ - угол между нормальюк выбранной стороне поверхности и осью Oz .2.6. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода∫∫ f (x, y, z ) cos αd σ при условии, что поверхность S задана в параметрическойSформе, α − угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью Ox .2.7.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy при условии, что поверхность S задана в параметриSческой форме.2.8.Запишите формулу Стокса и сформулируйте достаточные условия её применимости.2.9. Запишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте достаточные условияеё применимости.3. Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему о вычислении площади поверхности, заданной уравнениемz = h (x , y ), (x , y ) ∈ D .3.2.
Докажите, что если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S , то поверхностный интеграл первого рода∫∫ f (x, y, z )d σ существует. Требования к поверхноSсти S сформулируйте самостоятельно.3.3. Докажите, что если функция P(x,y,z) непрерывна на поверхности S , то поверхностный интеграл второго рода∫∫ P (x, y, z ) cos αd σ существует. Требования к поSверхности S сформулируйте самостоятельно.23.4.
Докажите теорему о формуле Стокса.3.5. Докажите теорему о формуле Остроградского-Гаусса.3.6.Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла второгорода от пути интегрирования в пространстве.4. Вопросы и задачи.4.1. Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости к поверхности S в заданной точке М:4.1.1. S : z = x 2 + y 2 ; M (3, 4,25) ;4.1.2.
S : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 2 , M (1,1, 0) ;4.1.3. S : x = 2uv , y = u + v , z = u 2 + v 2 ,M (x (u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 ), z (u 0 , v 0 )), где u 0 = 1, v 0 = −1.4.2. Найдите площадь поверхности с помощью двойного интеграла:4.2.1. z = 3x + 4y , x 2 + y 2 ≤ 1 ;4.2.2. z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 ;4.2.3. 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 ;4.2.4. z = xy , x 2 + y 2 ≤ a 2 ;1;24.2.6. x = u cos v,y = u sin v,z = v,0 ≤ u ≤ a,0 ≤ v ≤ 2π.4.2.5. x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤4.3.Вычислите поверхностный интеграл I рода.4.3.1. ∫∫ dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] ;S4.3.2.∫∫S(x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] ,y ∈ [−1;1] ;4.3.3.4.3.4.∫∫ (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z∫∫ (x + y )ds , где S – граница тела V ={(x,y,z ): x222= 1 ∩ z ≥ 0;S222+ y 2 ≤ z ≤ 1} ;S1+ y 2 + z − )ds , где S – часть параболоида 2z = 2 − x 2 − y 2 , z ≥ 0 .2S4.4.
Найдите координаты центра масс части однородной сферыx 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 с помощью поверхностного интеграла.4.3.5.∫∫ (x24.5. Вычислите поверхностный интеграл второго рода, не пользуясь формулой Остроградского-Гаусса:4.5.1. ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , где S – верхняя сторона плоскостиSx + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] , то есть нормаль к плоскости составляет острый угол с осью Oz ;4.5.2. ∫∫ (y 2 + z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны цилиндрической поверхSности z = a 2 − x 2 , 0 ≤ y ≤ b ;34.5.3.∫∫ (x2+ y 2 + z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны конической поверх-Sности z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ c (внешняя нормаль образует тупой угол сосью Oz );4.5.4.
∫∫ x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , где S - часть внутренней стороны гипербоSлоида x 2 + y 2 − z 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 3 ;4.5.5.∫∫Sx 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , где S – внешняя сторона сферыx 2 + y2 + z 2 = 1;4.6. Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите интеграл:4.6.1. ∫∫ (x + e y )dydz + (y − e z )dxdz + (z + e x )dxdy , где S – внешняя сторонаSсферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;⎛⎛ ∂R ∂Q ⎞⎞⎟⎟ cos α + ⎛⎜ ∂P − ∂R ⎞⎟⎟ cos β + ⎛⎜⎜ ∂Q − ∂P ⎞⎟⎟ cos γ ⎟⎟ds , где S –4.6.2. ∫∫ ⎜⎜⎜⎜⎜−⎜⎝⎟⎜⎝ ∂y∂z ⎠⎟∂z∂x ⎠⎟∂y ⎠⎟⎝⎜ ∂x⎠⎟S ⎝гладкая поверхность, ограничивающая область D, cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S, P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z) имеют в D непрерывные частные производные второго порядка.4.6.3.∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , где S- внутренняя сторона эллипсоидаS2xy2 z 2++= 1;a 2 b2 c24.6.4.
∫∫ x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , где S - внешняя сторона поверхности телаS{x4.6.5.2∫∫S}+ y2 ≤ z ≤ H ;x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , где S – внешняя сторона поверхности кубаx ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] , z ∈ [−1;1] .4.7. Используя формулу Стокса, вычислите интеграл:4.7.1. ∫ (x 2 − yz )dx + (y 2 − xz )dy + (z 2 − xy )dz , где AB есть отрезок винтовойABлинии x = a cos ϕ , y = a sin ϕ , z =hϕ от точки A (a, 0, 0) до точки2πB (a, 0, h ) .4.7.2.
∮ y 2dx + xydy + (x 2 + y 2 )dz , где L – замкнутый контур, образованный приLпересечении трех плоскостей x = 0 , y = 0 , z = a с эллиптическим параболоидом x 2 + y 2 = az , причем x ≥ 0 , y ≥ 0 ( a > 0 ). Обход контура совершается против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0,2a ) .4.7.3.
∮ xdx + xdy + zdz , где L – окружность, образованная при пересечении сфеLры x 2 + y 2 + z 2 = 8 и плоскости x = z . Обход окружности совершаетсяпротив часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 5) .44.7.4. ∮ (y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz , где L – эллипс, образованный при переLx z+ =1a h( a > 0 , h > 0 ), пробегаемый против часовой стрелки, если смотреть из точки (2a, 0, 0) .сечении цилиндрической поверхности x 2 + y 2 = a 2 и плоскости4.8. Найдите поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешнейнормали к S:4.8.1. F = {−x 3 , −y 3 , −z 3 } , S — поверхность куба{0 ≤ x ≤ a,}0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a ;4.8.2.
F = {0, y 3 , z } , S — часть параболоида z = x 2 + y 2, 0 ≤ z ≤ 2.4.9.Докажите, что объём V тела, ограниченного гладкой поверхностью S, выража1ется формулой V = ∫∫ (x cos α + y cos β + z cos γ )ds , где cosα, cosβ, cosγ – на3 Sправляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.4.10. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, сведите к тройному интегралу по⎛ ∂u⎞∂u∂uверхностный интеграл ∫∫ ⎜⎜ cos α +cos β +cos γ ⎟⎟⎟ds , где S — гладкая⎜⎝ ∂x∂y∂z⎠Sповерхность, ограничивающая конечную область D, cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S, u(x,y,z) имеет в D непрерывные частные производные второго порядка.4.11.
Найдите момент инерции относительно оси Oz части конической поверхностиz = x 2 + y 2 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x . Поверхностная плотностьρ=x.4.12. Найдите момент инерции относительно оси Oz части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 , y ≥ 0 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x . Поверхностная плотностьρ = zy .4.13. Пользуясь формулой Стокса, найдите циркуляцию векторного поляF = {z 3 , x 3, y 3 } вдоль контура, образованного при пересечении гиперболоида2x 2 + z 2 − y 2 = a 2 и плоскости x + y = 0 . Обход контура совершается противчасовой стрелки, если смотреть из точки (0,2a, 0) .4.14.
Найдите работу силового поля F = {x + 3y + 2z ,2x + z , x − y } вдоль замкнутогоконтура MNPM, где MNP — треугольник с вершинами в точках M (1, 0, 0) ,N (0,1, 0) , P (0, 0,1) . Обход контура совершается против часовой стрелки, еслисмотреть из точки (5, 5, 5) .5.Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая некоторое тело, l –постоянный вектор, n - вектор нормали к поверхности S, ϕ – угол между векторами l и n , то∫∫ cos ϕdS = 0 .S55.2. Докажите формулу∫∫∫Vd ξd ηd ζ1= ∫∫ cos αds , где S –поверхность, ограничиr2 S222вающая тело V, r = (ξ − x ) + (η − y ) + (ζ − z ) , r — радиус-вектор, идущийот точки (x,y,z), лежащей внутри V, к точке (ξ,η,ζ), α — угол между вектором r ивнешней нормалью n к поверхности S .5.3.Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V, и u(x,y,z)имеет в D непрерывные частные производные второго порядка, то∂u∂u∫∫ ∂n ds = ∫∫∫ Δudxdydz , где ∂n - производная по направлению внешнейSVнормали к поверхности S, Δ =∂2∂2∂2++– оператор Лапласа.∂x 2 ∂y 2 ∂z 25.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
