Матан 3 семестр (Чирский) (1111226), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если в правую часть 
уравнения (1) входят слагаемые вида 
(5), где 
- многочлены, то можно искать решение уравнений 
(6) в виде 
, где 
- кратность корня 
в характеристическом многочлене однородного уравнения (
, если - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов 
равна наивысшей из степеней многочленов .
Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции.
Рассмотрим важный пример.
Пример. Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической силы: 
, 
- постоянные.
Корни характеристичского уравнения 
равны 
. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения 
состоит из функций 
.
Если 
, то решение исходного уравнения ищем в виде 
. Подставляем его в уравнение: 
, 
, откуда 
, или 
, откуда 
. Тем самым, общее решение уравнения имеет вид 
. Здесь 
- амплитуда свободных колебаний, 
- частота свободных колебаний, 
- амплитуда вынужденных колебаний с частотой 
. Чем ближе величина 
, тем больше амплитуда вынужденных колебаний.
Если же 
, то решение, согласно указанным выше правилам, следует искать в виде 
. Тогда 
. Подставим в уравнение: 
, или 
. Итак, общее решение уравнения имеет вид: 
. При 
амплитуда колебаний возрастает неограниченно. Это – явление резонанса.
43
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
