Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ

3 семестр

Содержание

1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Условная сходимость. Теорема Лейбница.

6. Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса.

7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда.

8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование.

9. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

10. Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости.

11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида .

12. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения.

14. Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения.

15. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.

16. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

17. Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.

18. Метод вариации постоянных.

19. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.

20. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится  существует предел его частичных сумм.

Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т.е. ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид . и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится  остаток - сходится.

Доказательство.

сходится  сходится . Но - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится  существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема. (1).

Примечание. Поскольку (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы , получим, что частичные суммы рядов равны соответственно , и . Эти величины имеют пределы , , . Теорема доказана.

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится .

Доказательство.

. Пусть . Тогда при всех .

. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .

Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится.

Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится.

Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится.

Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то при и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим.

Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.

Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов и : при , при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .

Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму: и при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.

Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , .

Эту теорему оставим без доказательства.

В применении к ряду она дает: , - ряд расходится. Для ряда имеем: , - ряд сходится.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)