Общий зачет 2008-2009 2 курс (1111211), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найдите12.n +1∞(−1). Указание: сначала разложите в степенной ряд производную∑n =1 2n − 1f (x ) = arctg x , а потом примените почленное интегрирование.сумму ряда13.Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = x n 1 − xсходится в каждой точке и в среднем на сегменте [0;1] к функции f (x ) = 0 .14.Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = nx n 1 − xсходится в каждой точке сегмента [0;1] к функции f (x ) = 0 и не сходится в среднем насегменте [0;1] к этой функции.Тема 4. Несобственные интегралы.1.дуйте интегралы на сходимость:+∞ x 2 + 1•∫0 x 4 + 1 dx ;+∞ x 3 + 1•∫0 x 4 + 1 dx ;+∞ ln(1 + x 3 )•∫0 x 3 x dx ;+∞ ln(1 + x 3 )•∫0 x 4 x dx ;2. Докажите, что интеграл сходятся:••3.∫∫+∞0+∞0Иссле•+∞∫ (1x + 1 − x − 1 )dx;•∫ (+∞1•)x 3 + 1 − x 3 − 1 dx ;∫+∞0x sin(x 3 )dx .x 2e −xdx ;x ne −xdx , n ∈ Z , n > −1 .Докажите, что интеграл сходится, и вычислите его:••4.+∞2∫∫ x ln xdx ;010xe −x dx ;••∫∫+∞00+∞e −x sin xdx ;e −x cos xdx .Исследуйте интеграл на сходимость и вычислите в случае сходимости.+∞+∞ sin(ln x )•sin(lnx)dxdx•∫1∫1x2;.+∞ sin(ln x )dx•∫1x;Найдите, при каких значениях параметра p сходится интеграл:1 dx•∫0 x p ;+∞ dx•∫1 x p ;5.••dx;2x (ln x )p+∞arctg(ax ) dx∫∫0+∞xp,a > 06.Найдите, при каких значениях параметра pинтеграл сходится абсолютно и при каких − условно:+∞ sin x•∫0 x p dx ;+∞ cos x•∫1 x p dx .Тема 5.

Интегралы, зависящие от параметра.1.Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежуткеизменения параметра p, используя определение равномерной сходимостинесобственного интеграла.+∞1dxdx• ∫ p , p ∈ (1; +∞) . ∫ p , p ∈ (0;1) ;xx01+∞•∫pe −pxdx , а) p ∈ [a;b ] , 0 < a < b , б) p ∈ [0;b ] , b > 0 ;0+∞•∫e− px∫e−pxsin xdx , а) p ∈ (0; +∞) , б) p ∈ [a; +∞) , a > 0 ;0+∞•dx а) p ∈ (0; +∞) ; б) p ∈ [a; +∞) , a > 0 .02.Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежуткеизменения параметра p, используя признаки равномерной сходимости интеграла.+∞sin xdx ,•∫xp1p ∈ [a; +∞) , a > 0 ;1xp∫ 1 − x dx ,0p ∈ [0; +∞) :•+∞cos x −pxe dx ,x1p ∈ [0; +∞) ;•∫Докажите, что функция f (p) =3.∫+∞−∞cos(px )dx непрерывна на промежутке1 + x2p ∈ (−∞; +∞) .Для каких значений p сходится интеграл4.∫102x p (ln x ) dx ? Вычислите его,1дифференцируя по параметру интеграл∫ x dx .pОбоснуйте возможность применения0этого метода.5.Вычислите:−∞12π•12π+∞∫•∫+∞−∞2x 2e −x dx , дифференцируя по параметру интеграл∫+∞−∞x2−42xedx ,дваждыдифференцируяпо∫+∞−∞2e −px dx ;параметруинтеграл2e −px dx .sin x −pxe dx , p > 0 , дифференцируя по параметру.xУкажите область сходимости интеграла и выразите его через интегралы∫•+∞06.Эйлера .+∞∫∫∫•0•+∞01•0∫•∫p+∞x p−1dx ;(1 + x )q+∞x p−1dx (q > 0 ) ;1 + xq0∫•10pe −x dx ;(− ln t ) dt ;0•2t p−1e −t dt ;⎛⎜ −1⎞⎟⎜ ⎟⎟p ⎝⎜ p ⎠⎟(1 − x )dx , p > 0 .Тема 7.

Ряды Фурье1.Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (−π; π ] потригонометрической системе функций и нарисуйте график его суммы на отрезке[−2π;2π ] .2.Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x ∈ (0; π ) , по системе{}функций sin nx , n ≥ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x ∈ (0; π ) , по системе3.{}функций cos nx , n ≥ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (0; π ) , по системе4.{}функций sin nx , n ≥ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x ∈ (0; π ) , по системе5.{}функций cos nx , n ≥ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [−2π;2π ] .Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции⎧⎪0, −π ≤ x < 0f (x ) = ⎪⎨. Найдите S (π) .xx≤≤,0π⎪⎪⎩7.Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x ,6.0 ≤ x < 2π , продолженной на всю числовую ось с периодом 2π .

Найдите S (0) .8.Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции⎧⎪1, 0 ≤ x < πf (x ) = ⎪⎨, продолженной на всю числовую ось с периодом 2π . Найдитеx⎪≤<2,π2π⎪⎩S (0) .9.Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x 2 ,0 ≤ x < 2π , продолженной на всю числовую ось с периодом 2π . Найдите S (0) .Тема 8. Интеграл Фурье.1.следующие функции:⎧⎪cos x , x ≤⎪⎪⎪f (x ) = ⎨•⎪⎪x ≥0,⎪⎪⎩2.ƒ f (x ) = e −p x ,p > 0;3.Представьте в виде интеграла Фурьеπ;2π;2•⎧sgn x ,⎪f (x ) = ⎪⎨0,⎪⎪⎩x < 1;x > 1.Найдите образ Фурье следующих функций:ƒ f (x ) = e−x22;ƒ f (x ) = e −p x sin βx , p > 0 ;ƒ f (x ) = 1 , x ∈ [−p; p ] f (x ) = 0 , x ∉ [−p; p ] .Найдите косинус - образ Фурье четной функции f (x ) .⎧⎪1, x < p,ƒ f (x ) = ⎪⎨ x ≥ p. , p > 0 .

Чему равно значение интеграла Фурье в0,⎪⎪⎩pточках x = 0, x = , x = −p ?2cos qxƒ f (x ) = e −p x ,,ƒ f (x ) = 2p + x2p > 0;p > 0, q > 0;ƒ f (x ) = x 2e −p x ,p > 0;ƒ f (x ) = e −p x cos qx, p > 0, q > 0;1ƒ f (x ) = 2,p + x2p > 0;x2ƒ f (x ) =, σ > 0.− 21e 2σ2πσНайдите синус - образ Фурье нечетной функции f (x ) .⎧1, 0 < x < p,⎪ƒ f (x ) = ⎪, f (−x ) = −f (x ) , p > 0 . Чему равно значение⎨ x ≥ p,0,⎪⎪⎩pинтеграла Фурье в точках x = 0, x = , x = −p ?2−p xxƒ f (x ) = sign x ⋅ eƒ f (x ) = 2,p + x2, p > 0;p > 0;ƒ f (x ) = xe −p x ,x sin qxp > 0;ƒ f (x ) = 2,p + x2ƒ f (x ) = e −p x sin qxp > 0, q > 0;, p > 0, q > 0;4.x2− 2xƒ f (x ) =e 2σ , σ > 0 . При решении этой задачи можно2πσиспользовать дифференцирование по параметру образа Фурье четнойx2− 21функции f (x ) =e 2σ .2πσ5.Приведите пример отличной от нуля функции, которая совпадает со своимобразом Фурье.6.Восстановите функцию f (x ) по её образу Фурье fˆ(λ) .p•, p > 0;fˆc (λ) = 2λ + p2λ•fˆs (λ) = 2, p > 0;λ + p2•λ2−fˆ(λ) = e 2 ..

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)