Общий зачет 2008-2009 2 курс (1111211)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫИ ОБЩЕГО ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ(2 КУРС, ЗИМА 2008-2009)Тема 1. Поверхностные интегралы.1. Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости кповерхности S в заданной точке М:• S : z = x 2 + y 2 ; M (3, 4,25) ;• S : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 2 , M (1,1, 0) ;• S : x = 2uv , y = u + v , z = u 2 + v 2 ,M (x (u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 ), z (u 0 , v 0 )), где u 0 = 1, v 0 = −1.2.1.1Найдите площадь поверхности с помощью двойного интеграла:z = 3x + 4y , x 2 + y 2 ≤ 1 ;• z = x 2 + y2 , x 2 + y2 ≤ 1 ;• 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 ;• z = xy , x 2 + y 2 ≤ a 2 ;1;2• x = u cos v,y = u sin v,z = v,0 ≤ u ≤ a,0 ≤ v ≤ 2π.• x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤3.Вычислите поверхностный интеграл I рода.• ∫∫ dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] ;S∫∫ (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] ;• ∫∫ (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 ∩ z ≥ 0 ;• ∫∫ (x + y )ds , где S – граница тела V ={(x,y,z ): x + y ≤ z ≤ 1} ;•S222S2222S1+ y 2 + z − )ds , где S – часть параболоида 2z = 2 − x 2 − y 2 , z ≥ 0 .2S4.

Найдите координаты центра масс части однородной сферы2x + y 2 + z 2 = R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 с помощью поверхностного интеграла.•∫∫ (x25. Вычислите поверхностный интеграл второго рода, не пользуясь формулойОстроградского-Гаусса:• ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , где S – верхняя сторона плоскости x + y + z = 1 ,Sx ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] , то есть нормаль к плоскости составляет острый угол с осью Oz ;•∫∫ (y2+ z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны цилиндрической поверхностиS2z = a − x2 , 0 ≤ y ≤ b ;•∫∫ (x2+ y 2 + z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны конической поверхностиS2z = x + y 2 , 0 ≤ z ≤ c (внешняя нормаль образует тупой угол с осью Oz );•∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , где S222- часть внутренней стороны гиперболоидаS22x + y − z 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 3 ;•6.∫∫Sx 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , где S – внешняя сторона сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите интеграл:yzx•∫∫ (x + e )dydz + (y − e )dxdz + (z + e )dxdy , где S – внешняяSсторона сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;⎛⎛ ∂R ∂Q ⎞⎞⎟⎛ ∂Q ∂ P ⎞⎛ ∂ P ∂R ⎞•∫∫ ⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎠⎟⎟ cos α + ⎜⎜⎝ ∂z − ∂x ⎠⎟⎟⎟ cos β + ⎝⎜⎜⎜ ∂x − ∂y ⎠⎟⎟⎟ cos γ ⎠⎟⎟⎟ds , гдеSS –гладкая поверхность, ограничивающая область D, cosα, cosβ, cosγ –направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S, P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют в D непрерывные частные производные второгопорядка.•∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , где S - внутренняя сторона эллипсоида22S2xyz+ 2 + 2 = 1;2abc222•∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , где S - внешняя сторонаSповерхности тела•7.∫∫S{x2}+ y2 ≤ z ≤ H ;x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , где S – внешняя сторона поверхностикуба x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] , z ∈ [−1;1] .Используя формулу Стокса, вычислите интеграл:222•∫ (x − yz )dx + (y − xz )dy + (z − xy )dz , где AB есть отрезок винтовойABhϕ от точки A (a, 0, 0) до точки B (a, 0, h ) .2π∮ y 2dx + xydy + (x 2 + y 2 )dz , где L – замкнутый контур, образованный прилинии x = a cos ϕ , y = a sin ϕ , z =•Lпересечении трех плоскостей x = 0 , y = 0 , z = a с эллиптическим параболоидомx 2 + y 2 = az , причем x ≥ 0 , y ≥ 0 ( a > 0 ).

Обход контура совершается противчасовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0,2a ) .∮ xdx + xdy + zdz , где L – окружность, образованная при пересечении•L2сферы x + y 2 + z 2 = 8 и плоскости x = z . Обход окружности совершается противчасовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 5) .•∮ (y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz , где L – эллипс, образованный приLx z+ =1a h( a > 0 , h > 0 ), пробегаемый против часовой стрелки, если смотреть из точки(2a, 0, 0) .пересечении цилиндрической поверхности x 2 + y 2 = a 2 и плоскости8.

Найдите поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешнейнормали к S:•F = {−x 3 , −y 3 , −z 3 } , S — поверхность куба{0 ≤ x ≤ a,•}0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a ;F = {0, y 3 , z } , S — часть параболоида z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2.Докажите, что объём V тела, ограниченного гладкой поверхностью S, выражается1формулой V = ∫∫ (x cos α + y cos β + z cos γ )ds , где cosα, cosβ, cosγ – направляющие3 S9.косинусы внешней нормали к поверхности S.10. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, сведите к тройному интегралу⎛ ∂u⎞∂u∂uповерхностный интеграл ∫∫ ⎜⎜ cos α +cos β +cos γ ⎟⎟⎟ds , где S — гладкая⎜⎝ ∂x∂y∂z⎠Sповерхность, ограничивающая конечную область D, cosα, cosβ, cosγ – направляющиекосинусы внешней нормали к поверхности S, u(x,y,z) имеет в D непрерывные частныепроизводные второго порядка.11. Найдите момент инерции относительно оси Oz части конической поверхностиz = x 2 + y 2 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x .

Поверхностная плотность ρ = x .12. Найдите момент инерции относительно оси Oz части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 , y ≥ 0 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x . Поверхностная плотность ρ = zy .13. Пользуясь формулой Стокса, найдите циркуляцию векторного поляF = {z 3 , x 3, y 3 } вдоль контура, образованного при пересечении гиперболоида2x 2 + z 2 − y 2 = a 2 и плоскости x + y = 0 . Обход контура совершается против часовойстрелки, если смотреть из точки (0,2a, 0) .14.

Найдите работу силового поля F = {x + 3y + 2z,2x + z , x − y } вдоль замкнутогоконтура MNPM, где MNP — треугольник с вершинами в точках M (1, 0, 0) , N (0,1, 0) ,P (0, 0,1) . Обход контура совершается против часовой стрелки, если смотреть из точки(5, 5, 5) .Тема 2. Скалярные и векторные поля.1.Найдите угол между:• Градиентами функций u = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) иv = xy + yz + zx − 18x − 6z − y в точке M (3, 5, 4).y• Градиентами скалярного поля u = 2в точкахx + y2 + z 2M 1(1,2,2) и M 2 (−3,1, 0).2.Вычислите, если r = x 2 + y 2 + z 2 , r = xi + yj + zk ,b = b1i + b2 j + b3k , c = c1i + c2 j + c3k – постоянные векторы:⎛1⎞• grad ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝r ⎠• divr , div(rr ) , div(r 2r ) , div(r −1r ) , div(r −2r ) ;• grad(c , r ) ;• div(rc ) , div(b (r , c )) ;⎛r ⎞• rotr , rot(rr ) , rot ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ;⎜⎝ r ⎠• div [c × r ] ;• rot [c × r ] .3.Вычислите grad(uv ) , grad(u 2 ) , grad f (u ) , grad(sin u ) , grad1, где u , vu– дифференцируемые скалярные поля.4.Применяя оператор Гамильтона, докажите следующие соотношения, еслиu – дифференцируемое скалярное поле, a и b – дифференцируемые векторные поля:• div(ua ) = (grad u ⋅ a ) + u div a ;• rot(ua ) = [grad u ⋅ a ] + u rot a ;• div[a , b ] = b rot a − a rot b .5.Используя оператор Гамильтона ∇ , докажите следующие соотношения,если u и v – дважды дифференцируемые скалярные поля, a и b - дваждыдифференцируемые векторные поля, Δ - оператор Лапласа:• div(u grad v ) = (grad u ⋅ grad v ) + u Δv ;• rot(rot a ) = grad div a − Δa ;()2• rot ⎡⎢a × b ⎤⎥ = b , ∇ a − (a , ∇)b + a div b − b div a ;⎣⎦• grad a , b = (a , ∇)b + b , ∇ a + ⎡⎢a × rot b ⎤⎥ + ⎡⎢b × rot a ⎤⎥ .⎣⎦ ⎣⎦Вычислите rot grad u , где u – дважды дифференцируемое скалярное поле.3Вычислите div rot a , где a – дважды дифференцируемое векторное поле.( )()4Вычислите дивергенцию электрического поля E точечного заряда e,помещенного в точку (x 0 , y 0 , z 0 ) .yzj− 2k в точках, где5Вычислите ротор векторного поля a = xi + 22y +zy + z2y 2 + z 2 ≠ 0 , и циркуляцию этого поля вдоль окружности L : {y 2 + z 2 = 1 , x = x 0 } .6Найдите поток векторного поля r = xi + yj + zk : а) через внешнюю сторонубоковой поверхности конуса x 2 + y 2 ≤ z 2 ( 0 ≤ z ≤ h ); б) через внутреннюю сторонуоснования этого конуса.7Найдите поток векторного поля a = yzi + xzj + xyk в направлении внешнейнормали к поверхности: а) через боковую поверхность цилиндра x 2 + y 2 ≤ a 2 ( 0 ≤ z ≤ h );б) через полную поверхность этого цилиндра.8Найдите поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 3 k через сферу x 2 + y 2 + z 2 = xв направлении внешней нормали к поверхности.9.Проверьте, что векторное поле a является потенциальным и найдите егоскалярный потенциал:• a = 2xyzi + x 2zj + x 2yk ;xyi+ 2j ( x 2 + y 2 ≠ 0 );22x +yx +y• a = yz (2x + y + z ) i + xz (x + 2y + z ) j + xy (x + y + 2z ) k .2xy10.Убедитесь, что векторное поле a =1 i−3 j−3 k(y + z ) 2(y + z ) 2(y + z ) 2является потенциальным и найдите работу этого поля вдоль пути, соединяющего точки•a =()(2)M 1, 1, 3 и N 2, 4, 5 и расположенного в октанте x > 0,y > 0, z > 0 .11.(22)Проверьте, что векторное поле a = ye x i + 2yzj − 2xyze x + z 2 k являетсясоленоидальным.Тема 3.

Функциональные последовательности и ряды.1.Найдите предел и исследуйте на равномерную сходимостьфункциональную последовательность на заданном промежутке:ƒ fn (x ) = x n , x ∈ (0,1) ;• fn (x ) = arcsin (x n ) , x ∈ ( 0,1) ;• fn (x ) = arctg (x n ) , x ∈ ( 0,1) ;• fn (x ) = n x , x ∈ ( 0,1) ;⎛1⎞• fn (x ) = arctg ⎜⎜ n ⎟⎟ , x ∈ ( 0,1) ;⎝x ⎠1• fn (x ) =, x ∈ (−∞; +∞) ;1 + (x − n )22• fn (x ) = e −nx , x ∈ (−∞; +∞) ;• fn (x ) = ln (1 − x n ) , x ∈ ( 0,1) ;• fn (x ) = arctg (nx ) , x ∈ (−∞; +∞) ;• fn (x ) = e −nx а) x ∈ (0,1) ; б) x ∈ [1, ∞) ;2.• fn (x ) = x n − x n +1 , x ∈ [0;1] ;1, x ∈ (−∞; +∞) ;• fn (x ) =1 + n 2x 22nx• fn (x ) =, а) x ∈ [1; +∞) ;1 + n 2x 2• б) x ∈ [0;1] ;nx 2• fn (x ) =, x ∈ [0; +∞) ;1 + nxnx• fn (x ) =, x ∈ (−∞; +∞)1 + n 4x 4nДокажите, что последовательность fn (x ) = nx (1 − x ) сходится11неравномерно на сегменте [0;1], но lim ∫ fn (x )dx =n →∞3.Докажите,что(00последовательность)′равномерно на (−∞;+∞), но lim fn (x )n →∞∫ lim fx =1n →∞n(x )dxfn (x ) =⎛⎞≠ lim ⎜⎜ fn ′ (x ) ⎟⎟⎟ .n →∞ ⎝x =1 ⎠.1arctg (x n )nсходитсяДокажите, что последовательность fn (x ) = x 2 +4.1π⎞⎛sin n ⎜⎜x + ⎟⎟ сходится⎝2⎠n′равномерно на (−∞;+∞), но соотношение lim fn (x ) = lim fn ′ (x ) не имеет места.(n →∞)n →∞∞5.Определите область сходимости функционального рядаn∑xn =16.n.Определите область абсолютной и условной сходимости функциональногоряда:+∞• ∑ k =1sin kkx(−1)k.∑xkk =1 2k + (−1)+∞•;Исследуйте ряд на равномерную сходимость.7.+∞• ∑ e −kx , x ∈ (0; +∞) ;k =1+∞•∑k =1arctg(2kx ), x ∈ (−∞; +∞) ;k k∞kx, x ∈ (−∞; +∞) ;4 2k =1 1 + k x+∞(−1)k• ∑ k =1, x ∈ [0; +∞) ;k+ x∞sin kx•∑, x ∈ [ε,2π − ε ] , где ε > 0 , 0 < ε < π .kk =1Определите радиус и интервал сходимости степенного ряда:•∑8.k2+∞⎛1⎞• ∑ ⎜⎜1 + ⎟⎟ x k⎝k⎠k =1∞•∑n =1n(3 + (−1)n )nxn.;•+∞2(k !)∑ (2k )! xkk =1;9.Укажите область определения функции f (x ) и исследуйте функцию нанепрерывность:+∞+∞1sin k•f (x ) = ∑ x• f (x ) = ∑ x .k =1 kk =1 k,∞sin nxнепрерывна и имеет10.Докажите, что функция f (x ) = ∑n3n =1непрерывную производную на интервале (−∞; ∞) .11.Найдите сумму степенного ряда и укажите область сходимости:+∞∑xk ;•k =1+∞xk;∑k =0 k !+∞(−1)kx 2k +1∑k =0 (2k + 1)!•••(−1)k 2kx∑k =0 (2k )!•xk;∑k =1 k+∞;•+∞∞∑ nxnn =1;Получите разложение в степенной ряд функции f (x ) = arctg x .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)