В.Г. Абрамов, Н.П. Трифонов, Г.Н. Трифонова - Введение в язык Паскаль (1107618), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Известно, что этот процесс сходится при любом начальномприближении у ( ° \ При этом практически можно считать, что требуемаяточность достигнута, когда очередная учтенная поправка v~ ^ по абсолютной величине оказалась меньше значения е.Ясно, что этот процесс носит циклический характер: после задания начального приближенияв качестве которого можно, например, принятьединицу, дальнейшие вычисления сводятся к многократному вычислениюочередной поправки и очередного приближения к искомому результату:у: = 1; и: =(х/у - у)/2; у:=у + и; и: = (х/у - у)/2; у:=у+ и; ...Этот процесс должен закончиться в тот момент, когда окажется, чтодля получения очередного приближения (значения у) использоваласьпоправка и такая, что | v | < е.Очевидно, что в общем случае число повторений этого цикла заранеенеизвестно, а его определение равносильно решению поставленной задачи.В подобного рода случаях мы можем лишь сформулировать условие,при выполнении которого этот циклический процесс должен завершиться.Для задания таких вычислительных процессов в паскале и служит оператор цикла с постусловием.
Этот оператор цикла имеет видrepeats, S; .. . ; S untU Вгде repeat (повторять) и until (до) — служебные слова, через S обозначенлюбой оператор, а через В — логическое выражение.При выполнении этого оператора цикла последовательность операторов,находящаяся между символами repeat и until, выполняется один или болеераз. Этот процесс завершается, когда после очередного выполнения задан75ной последовательности операторов логическое выражение В примет (впервые) значение true. Таким образом, с помощью логического выражения Взадается условие завершения выполнения оператора цикла. Посколькув данном случае проверка условия производится после выполенения заданной последовательности операторов, этот оператор цикла и называетсяоператором цикла с постусловием.С использованием этого вида оператора цикла метод Ньютона извлеченияквадратного корня можно реализовать по следующему алгоритму (eps имя константы, представляющей заданную точность) :у:=1;repeat v:=(х/у-у)/2;у:=y+v untilabs(v)<epsЗаметим, что оператор цикла с постусловием является более общим,чем оператор цикла с параметром — любой циклический процесс, задаваемый с помощью оператора цикла с параметром, можно задать и с использованием оператора цикла с постусловием.
Действительно, оператор циклавидаfor V: = Е 1 to Е2 do Sэквивалентен следующей последовательности операторов:if Е 2 > Е 1 thenbegin V: =Е1;repeat S; V: = succ(V) until V > E2endВ частности, алгоритм решения рассматривавшейся ранее задачи суммирования гармонического ряда можно сформулировать и с использованиемоператора цикла с постусловием:у:=0;i:=1;repeat у:=у+1/i;i:=i+l untili>nОднако в ряде случаев оператор цикла с параметром обеспечивает болеекомпактную и наглядную запись алгоритма.4.5.3. Оператор цикла с предусловиемВ случае оператора цикла с постусловием входящая в него последовательность операторов заведомо будет выполняться хотя бы один раз. Междутем довольно часто встречаются такие циклические процессы, когда числоповторений цикла тоже неизвестно заранее, но при некоторых значенияхисходных данных предусмотренные в цикле действия вообще не должнывыполняться, и даже однократное выполнение этих действий может привести к неверным или неопределенным результатам.Пусть, например, дано вещественное число М.
Требуется найти наименьшее Целое неотрицательное число к, при котором 3 > М . Эту задачу можнорешить по следующему алгоритму: предварительно положить у = 1 и к = 0;затем в цикле домножать значение у на 3 и увеличивать значение к на единицу — до тех пор, пока текущее знамение у впервые окажется больше значения М. На первый взгляд, здесь можно воспользоваться оператором76цикла с постусловием:у: =1;к:=0;repeat у: =у*3;к:=к + 1 until у>МОднако нетрудно убедиться в том, что при М < 1 будет получен неправильный результат к = 1, тогда как должно быть получено к = 0: в этом случаепредварительно сформированное значение к = 0 является окончательнымрезультатом и действия, предусмотренные в цикле, выполняться недолжны.Для задания подобного рода вычислительных процессов, когда числоповторений цикла заранее неизвестно и действия, предусмотренные в цикле, могут вообще не выполняться, и служит оператор цикла с предусловием.
Этот оператор цикла имеет видwhile В do Sгде while (пока) , do (делать, выполнять) — служебные слова, В — логическое выражение, S — оператор. Здесь оператор S выполняется повторнонуль или более раз, но перед каждым очередным его выполнением вычисляется значение выражения В, и оператор S выполняется только в томслучае, когда выражение В принимает значение true. Выполнение операторацикла завершается, когда выражение В впервые примет значение false.Если это значение выражение В примет при первом же его вычислении,то оператор S не выполнится ни разу.
Поскольку здесь условие завершенияциклического процесса проверяется до выполнения оператора S, то оператор цикла данного вида и называется оператором цикла с предусловием.В рассматриваемой нами задаче правильное значение к при любом значении М может быть получено по следующему алгоритму, в котором используется оператор цикла с предусловием:у : = 15 к : = 0 ;while у<М do begin у: J»y*3; к: =к + 1 endЗаметим, что оператор цикла с предусловием является наиболее универсальным — с использованием таких операторов можно задать и циклические процессы, определяемые операторами цикла с параметром и постусловием. Например, оператор цикла с параметромfor V: = El to Е2 do Sэквивалентен следующей последовательности операторов:V: = Е 1 ;while V < Е2 do begin S; V: = succ(V) endОператор цикла с постусловием обычно также можно свести к оператору цикла с предусловием, соответствующим образом изменив логическоевыражение В.
Например, рассмотренную ранее задачу извлечения квадратного корня с заданной точностью можно решить и по такому алгоритмус использованием оператора цикла с предусловием:у: = 1 ; v • = 1;while abs<v)>epsdo begin v:«(x/y-y)/2;у:=y+vend77При использовании операторов цикла с предусловием и постусловиемнеобходимо быть осторожным в тех случаях, когда в условии фигурируютвещественные переменные. Необходимость такой осторожности проиллюстрируем на следующем примере.Пусть требуется подсчитать сумму значений некоторой функции f ( x )в узлах сетки, получаемой разбиением заданного отрезка [d, b\, где b>d,на п равных частей, включая границы отрезка:s=п2 /(*,•),i=огде Xj = d + ih,h = (b-d)/n(/=0,1n).Фрагмент программы (считая заданными значения вещественных переменных d, b и целочисленной переменной п ) , предназначенный для вычисления s, кажется довольно естественным записать следующим образом(взяв для определенности f ( x ) = х * х) :h : = (b -d ) /п; s:=0; x:=d-h;repeatx : =>: +h; в: =s+x*xuntil >:=bили, используя оператор цикла с предусловием, в видеh: = (b-d) /л; s:=0; x:=x-h;while x#b dobegin x : =>:+h; s: =s+x*x endОднако на самом деле оба эти алгоритма некорректны, хотя с математической точки зрения они совершенно правильны В чем же состоит этанекорректность?Вспомним, что вещественные числа представляются в машине, вообщеговоря, неточно.
Например, вещественное число 1.0 может быть представлено как число 0.999999 или как число 1.000001. Поэтому машинные представления значений d u b могут несколько отличаться от их заданныхзначений. Кроме того, и арифметические операции над вещественнымичислами выполняются не точно, а по правилам действий над приближенными числами (т.е. результат округляется по тому или иному принятомув машине правилу). По этой причине значение х, полученное в результатеи-кратного прибавления значения h к значению d, может быть чуть большеили чуть меньше значения Ь, а точное совпадение этих значений являетсяслучайностью.Таким образом, условие х - Ъ, фигурирующее в приведенных вышеоператорах цикла, скорее всего никогда не будет выполняться, в результате чего произойдет "зацикливание" программы - цикл будет выполняться неопределенно долго, пока какое-либо из вычисляемых значений не окажется больше максимального допустимого в машине числа, и по этойпричине выполнение программы будет принудительно прекращено операционной системой.78Для избежания такого зацикливания условие окончания цикла следовало бы сформулировать несколько иначе, например:repeatх: =x+h; s: =s+x*xuntil x>bВ этом случае зацикливания программы не произойдет, но может возникнуть более коварная ошибка.
Действительно, если последнее подлежащее учету значение х случайно окажется чуть меньше значения Ъ, то циклповторится один лишний раз. Это, естественно, внесет ошибку в значение sза счет учета лишнего слагаемого. Особенно неприятно то, что влияниеэтой ошибки на окончательный результат зависит от характера поведенияфункции на заданном отрезке, так что при не очень удачно подобраннойфункции, на которой будет производиться проверка программы, эту ошибку можно и не заметить. При последующем же использовании этой программы для некоторых конкретных функций может получаться совершеннонеправдоподобный результат.Так что во всех случаях, когда для получения правильного результатанеобходимо обеспечить совершенно определенное число повторений цикла,следует избегать использования вещественных значений для целей управления циклом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
