Диссертация (1104939), страница 5
Текст из файла (страница 5)
− µS a†σ,n aσ,nn≥1,σ]∑[ † †−∆a↑,n a↓,n + h.c. ,(1.3)n()HI = γ a†σ,0 aσ,1 + h.c. ,21(1.4)где a†σ,n (aσ,n ) - оператор рождения (уничтожения) электрона со спином σ на узле сномером n, ∆ - потенциал спаривания, t′ (t) и µS (µN ) параметр хоппинга и химический потенциал в нормальном металле (сверхпроводнике) соответственно. Параметрхоппинга на N/S границе обозначен как γ. HN , HS и HI - гамильтониан в нормальномметалле (N), в сверхпроводнике (S) и на границе соответственно.
Гамильтониан (1.1)может быть диагонализован посредством следующего канонического преобразования:aσ,n =]∑[†∗αν,−σuν,n αν,σ + sgn(σ)vν,n,(1.5)νкоторое является обобщением преобразования Боголюбова [36] для случая дискретной†решетки. В уравнении (1.5) αν,−σ(αν,σ ) - операторы рождения (уничтожения) квазича-стиц, удовлетворяющие перестановочным соотношениям для ферми-операторов, и uν,n ,vν,n - волновые функции в уравнениях Боголюбова-де-Жена. Уравнения Боголюбоваде-Жена для случая дискретной решетки для волновых функций uν,n , vν,n имеют следующий вид:tn uν,n+1 + tn−1 uν,n−1 − µn uν,n + ∆n vν,n = εν uν,n ,tn vν,n+1 + tn−1 vν,n−1 − µn vν,n − ∆∗ u = −ε v ,ν ν,nn ν,n(1.6)где µn = µN (µS ) для n ≤ 0 (n ≥ 1), и tn = t′ , γ и t для n ≤ −1, n = 0 и n ≥ 1 соответственно.
Уравнения (1.6) совместно с соответствующим уравнением самосогласования для потенциала спаривания ∆n описывают любую пространственно-неоднороднуюструктуру с произвольным набором параметров хоппинга между узлами решетки tn .Однако, решены данные уравнения для произвольной неоднородной структуры могутбыть лишь численно. С целью формулировки важной упрощенной модели N/S перехода, которая допускает аналитическое решение, предположим, что потенциал спаривания сверхпроводника S является однородным. Это значит, что ∆n = ∆ для n ≥ 1 и∆n = 0 для n ≤ 0.
Рассматриваемая структура изображена на рисунке 1.1.Рассмотрим проводимость контакта нормальный металл/нормальный металл,считая, что ∆ = 0 в сверхпроводящем регионе. Электрон с энергией E(= εν ) испущенс левой стороны и рассеивается на границе. Тогда волновые функции uν,n для левойчасти волновой функции Φn (= uν,n ) с n ≤ 0 и правой части волновой функции Ψn (=22Рис. 1.1. Схематическое изображение одномерной модели. Левая область (красные′круги) соответствует нормальному металлу с параметром хоппинга t , правая область(синие окружности) соответствует сверхпроводнику с параметром хоппинга t. Параметр хоппинга на N/S границе задан как γ.uν,n ) с n ≥ 1 задаются следующим образом: Φn = exp(iqnl) + b exp(−iqnl), Ψ = c exp(iknl),n(1.7)где l - постоянная решетки в нормальном металле и сверхпроводнике (для упрощениямы предполагаем, что они равны, однако данное допущение не является необходимым [37]).
Первый и второй члены Φn представляют собой падающую и нормальноотраженную волны соответственно. Ψn соответствует прошедшей волне. Здесь волновые числа q и k определяются уравнениями 2t′ cos(ql) = µN + E и 2t cos(kl) = µS + Eс положительной групповой скоростью −2t′ sin(ql), −2t sin(kl) ≥ 0 соответственно. Коэффициенты b и c определяются граничными условиями. Данные граничные условиябыли предложены Zhu, Kroemer [37]. Их метод не ограничен предположением о параболичном спектре одноэлектронных возбуждений, основанном на приближении эффективных масс.
Согласно их идее, граничные условия могут быть получены посредствомсдвига положения границы. При сдвиге границы вправо получаем уравнение ШредингераEΦ0 = −µN Φ0 + t′ Φ−1 + t′ Φ1 .(1.8)Уравнение Шредингера без сдвига границы выглядит следующим образом:EΦ0 = −µN Φ0 + t′ Φ−1 + γΨ1 .23(1.9)Подстановкой уравнения (1.8) в уравнение (1.9) получаем граничное условиеt′ Φ1 = γΨ1 .(1.10)Подобным образом, если сдвинем границу влево, то получим граничное условиеγΦ0 = tΨ0 .(1.11)Используя граничные условия (1.10) и (1.11) и волновые функции (1.7), можно получить коэффициенты b, c, входящие в уравнение (1.7):b=σ1 exp(iql) − exp(ikl),exp(ikl) − σ1 exp(−iql)c = γ(1 + b)/t,(1.12)где σ1 = tt′ /γ 2 , и прозрачность границы σN задается следующим образом:σN (k, q) = 1− | b |2 =2σ1 [cos[(q − k)l] − cos[(q + k)l]].1 + σ12 − 2σ1 cos[(q + k)l](1.13)Граничные условия (1.10) и (1.11) обеспечивают сохранение потока вероятностиJ через границу:Jn≤−1 =2t′2tIm(Φ∗n+1 Φn ) = Jn>1 = Im(Ψ∗n+1 Ψn ).ℏℏ(1.14)После подстановки производных в следующей форме: ψ1′ = (Ψ1 − Ψ0 )/l, ψ2′ =(Φ1 − Φ0 )/l, из граничных условий (1.10) и (1.11) могут быть получены обычные граничные условия [38] в континуальном пределе.
Необходимо отметить, что граничныеусловия, написанные в форме конечных разностей, совпадают с наиболее широко используемыми граничными условиями Харрисона [39] только для случаяe σ1 = 1. Данная особенность дискретных граничных условий (1.10) и (1.11) была также отмеченав [37].Обобщив метод [37] на случай сверхпроводящих переходов, можно получить изуравнений (1.6) следующие граничные условия для контакта нормального металла иs-wave сверхпроводника с синглетным спариванием (см. рис.
1.1):24t′ Φ1 = γΨ1 , ′t Φ̄1 = γ Ψ̄1 ,γΦ0 = tΨ0 , γ Φ̄ = tΨ̄ ,00(1.15)где Ψn (Φn ) и Ψ̄n (Φ̄n ) - волновые функции uν,n и vν,n для электрона и дырки в S (N)соответственно. Волновые функции задаются следующим образом:Φn = exp(iqnl) + b exp(−iqnl), Φ̄n = a exp(ieq nl),Ψn = c u exp(iknl) + d v exp(−ieknl), Ψ̄ = c v exp(iknl) + d u exp(−ieknl).n(1.16)Волновые функции нормального металла и сверхпроводника содержат четыренеизвестные величины a, b, c, d, описывающие андреевски и нормально отраженныеволны в нормальном металле (a и b) и две прошедшие в сверхпроводник волны (c иd), где c (d) соответствует амплитуде вероятности прохождения электрон-подобной(дырочно-подобной) квазичастицы.
Данные четыре неизвестные величины (a, b, c,d) единственным образом определяются граничными условиями (1.15). В уравнении(1.16), q, qe (k, ek) - волновые вектора в нормальном металле (сверхпроводнике), соответствующие энергии E. Хотя q и qe - реальные числа, k и k̃ становятся комплекснымичислами при условии | E |< |∆|.Используя граничные условия (1.15) можно показать, что полученные волновыефункции обеспечивают сохранение потока вероятности. Выражение для потока вероятности на дискретной решетке (рис. 1.1) следует из уравнений Боголюбова-де-Женана узлах дискретной решетки (1.6):Js =2Im(tΨ∗n+1 Ψn − tΨ̄∗n+1 Ψ̄n ).ℏ(1.17)Необходимо отметить, что условие сохранения потока вероятности через границу между нормальным металлом и сверхпроводником, записанное в виде дискретныхсумм (разностей) на решетке (1.14), (1.17), может быть записано в квадратичной форме в терминах вероятностей занять состояние с волновыми векторами q, −q, qe, k, −ek,умноженных на групповые скорости в этих состояниях :25∂εn∂εn∂εn∂εs|p=q − |a|2|p=eq + |b|2|p=−q = |c|2|p=k∂p∂p∂p∂p∂εs+|d|2| e.∂p p=−k(1.18)Уравнение (1.18) имеет такой же вид, как подобное выражение в теории БТК [40].Описанная выше модель сильной связи соответствует равновесной ситуации снулевым напряжением V на границе.
Данная модель может быть обобщена на случайконечного напряжения V ̸= 0 в микросужении с размером много меньшим упругой lelи неупругой lin длины свободного пробега, где транспорт заряда переносится независимыми поперечными модами. Ток, переносимый каждой модой, определяется разностью между входящим f → (E) и исходящим f ← (E) потоком электронов в нормальномметалле [40]:∫I(V ) = η1{f → (E) − f ← (E)}dE,(1.19)где f → (E) = f0 (E − eV ), f0 (E) - равновесные Ферми распределения, η1 = e/(πℏ), иf ← (E) = A(E)(1 − f → (−E)) + B(E)f → (E)+(C(E) + D(E))f0 (E).(1.20)В уравнении (1.20) A(E), B(E), C(E) и D(E) - вероятности андреевского отражения,нормального отражения и прохождения как электрон-подобная квазичастица и какдырочно-подобная квазичастица, соответственно.
Вероятности A, B, C, D в уравнении(1.20) вычисляются из граничных условий (1.15) и выражений для потоков вероятностей (1.14), (1.17). При вычислении вероятностей A, B, C, D падающие квазичастичныесостояния должны быть нормированы так, чтобы потоки вероятностей в данных состояниях, описываемые уравнениями (1.14), (1.17), были равны единицы. Такая нормировка обеспечивает термодинамическое равновесие при отсутствии напряжения V = 0на N/S переходе.Для большинства сверхпроводников ∆ по порядку величины много меньше t иt′ , поэтому выполняются следующие условия:|∆/t| ≪ 1, |∆/t′ | ≪ 1,26(1.21)то есть так называемое квазиклассическое приближение.
Тогда можно считать выполненными и условия q ≃ qe ≃ q0 и k ≃ ek ≃ k0 , где k0 и q0 - волновые вектора наповерхности Ферми, такие, что 2t′ cos(q0 l) = µN и 2t cos(k0 l) = µS . Результирующиеамплитуды a и b определяются следующим образом:a=гдеΓ = ∆/(E +2σ1 Γ(cos[(q0 − k0 )l] − cos[(q0 + k0 )l]),Λ(1 − δσδ̃ 1 )(1 − σδδ̃1 )b=,Λ(1.22)√E 2 − ∆2 ), exp(iq0 l) = δ, exp(ik0 l) = δ̃иΛ = −(1 − σ1 δ δ̃)(1 − σ11)[1 − (1 − σN (k0 , q0 )Γ2 )],δ δ̃где σN (k0 , q0 ) определяется уравнением (1.13).В рамках данных приближений в модели сильной связи можно получить результат теории БТК [40]∫I(V ) = η1{f0 (E − eV ) − f0 (E)}σ(E)dE(1.23)сσ(E) = 1+ | a |2 − | b |2σN [1 + σN | Γ |2 +(σN − 1) | Γ |4 ]=.| 1 − (1 − σN )Γ2 |2(1.24)Это хорошо известная формула [40] с обобщенным определением прозрачности σN(уравнение (1.13)) на N/S границе.Используем предложенную модель для случая контакта нормального металла снеобычным однозонным сверхпроводником с d-типом сверхпроводящего спаривания.Рассмотрим простейшую двумерную модель решетки необычного сверхпроводника.Уравнения Боголюбова-де-Жена на узлах такой решетки для d-типа сверхпроводникав x − y плоскости имеют следующий вид:27t1 (Ψn+1,m + Ψn−1,m )+ t2 (Ψn,m+1 + Ψn,m−1 ) − µS Ψn,m+ ∆0 (Ψ̄n+1,m + Ψ̄n−1,m − Ψ̄n,m+1 − Ψ̄n,m−1 ) = εΨn,m ,t1 (Ψ̄n+1,m + Ψ̄n−1,m )+ t2 (Ψ̄n,m+1 + Ψ̄n,m−1 ) − µS Ψ̄n,m− ∆0 (Ψn+1,m + Ψn−1,m − Ψn,m+1 − Ψn,m−1 ) = −εΨ̄ ,n,m(1.25)где t1 , t2 - параметры хоппинга между орбиталями на соседних узлах, n, m - номераузлов в x- и y-направлении, соответственно, ∆0 - амплитуда анизотропного параметрапорядка, соответствующего рассматриваемой d-модели сверхпроводящего спаривания:∆(k) = 2∆0 (cos kx −cos ky ), где kx и ky - квазиимпульс перпендикулярный и параллельный границе, соответственно.Граничные условия для контакта нормального метала и сверхпроводника dтипа, описываемого уравнениями (1.25), в квазиклассическом приближении (1.21) задаются выражениями (1.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
