Диссертация (1104845), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

(2.18)µ′µ0Введение функции T + (x,p,µ0 ,µ,φ) позволяет перейти к более компактной записи:∂R (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λ∂τˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1000′ ′′ ′′T + (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) ·0· T + (τ,p,µ′′ ,µ,φ − φ′ − φ′′ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ . (2.19)µ′µРисунок 2.5 — Процессы, приводящие к изменению функции отражения R (τ,p,µ0 ,µ,φ) припоявлении полоски толщиной dx под слоем. Иллюстрация формулы (2.19)Уравнение (2.17) для полубесконечной среды впервые было представлено для случая электронного рассеяния в работе [64].40Система уравнений (2.12)-(2.19) представляет собой точное решение граничной задачи (2.8),(2.10) уравнения переноса (2.8).

Отметим, что существенными здесь, как и в работе [19] являютсячетыре уравнения.2.3Метод инвариантного погружения в задачах многократного рассеяния свнутренними источниками электроновОбщий формализм количественного РФЭС анализа был установлен в 70-е годы в работах[74, 9, 2]. Этот формализм базируется на следующих семи допущениях:1. поверхность исследуемого образца представляет собой плоскость;2.

образец аморфный или поликристаллический, не имеет выраженной анизотропии;3. композиция образца однородна в пределах информационной глубины;4. отражением и преломлением рентгеновских лучей пренебрегается;5. облучаемая рентгеном площадь образца значительно превышает область, которую визирует энергоанализатор;6. средняя длина свободного пробега рентгеновских фотонов на несколько порядков превышает среднюю длину как неупругого, так и транспортного пробега фотоэлектронов, авозбужденные излучением атомы расположены равномерно по глубине образца;7.

упругим рассеянием рентгеновских фотонов в образце пренебрегается.В дальнейшем была продемонстрирована несостоятельность 1, 3, 7 и 8 утверждений [9]. В настоящей работе показано значительное влияние процесса упругого рассеяния на поток фотоэлектронов. Ограничения пункта 3 будут сняты путем рассмотрения образца в предположении слоистонеоднородной структуры слоя. Решение задачи об учете 3 и 7 допущений строится на основе аналитических методов инвариантного погружения. Впервые решение задачи о распределении фотоэлектронов по длинам пробега в мишени на основе методов инвариантного погружения выполнилБородянский [66]. Ему удалось получить точные результаты [66], но для чрезвычайно простого вида сечений упругого рассеяния.

Методы инвариантного погружения для РФЭС приложенийиспользовал Виканек [75], но записал уравнение упругого рассеяния фотоэлектронов в предположении о физически необоснованном и не соответствующем действительности дельта-образномхарактере излучения.Представленный в настоящей работе подход, основанный на принципах инвариантности,позволит выполнить анализ влияния процессов упругого рассеяния на формирование РФЭС сигнала более детально, чем созданные Тугаардом традиционные подходы [24, 76]. Также в работе будет продемонстрировано влияние фактора обратного рассеяния на РФЭС спектр. Впервыев рамках аналитического подхода будет рассмотрено фоторождение электронов слоем конечнойтолщины.Рассмотрим стандартную задачу, в которой предполагается однородное распределение возбужденных рентгеновским излучением атомов.

Это обстоятельство (допущение 6) следует из то-41го факта, что длина свободного пробега рентгеновского фотона примерно на три порядка большесредней длины неупругого пробега электрона lin . Именно приповерхностный слой размером порядка lin формирует сигнал РФЭС.Введем обозначения: Q (τ,∆,µ0 ,µ,φ) – поток фотоэлектронов, вылетающих из мишени подуглом arccos µ к оси z, направленной нормально к мишени в вакуум;F (µ0 ,µ,φ) – индикатриса фоторождения (вероятность возбужденного атома мишени излучить фотоэлектрон с заданной оболочки в направлении µ, если рентгеновское излучение зондировало мишень под углом arccos µ0´1к нормали −1 F (µ0 ,µ,φ) dµ = 1 так что угол между направлением рентгеновского излучения и√√рожденным электроном определяется выражением cos Ψ = µ0 µ + 1 − µ20 1 − µ2 cos φ); n –концентрация атомов мишени; σγ – интегральное сечение фоторождения для заданной оболочки;γ– альбедо фоторождения.λγ = σσtotДля описания процесса фотовозбуждения не поляризованным и поляризованным рентгеновским излучением соответственно справедливы выражения [23, 37]:[])) (γ 21β(2F (Ψ) =1−3 cos Ψ − 1 +sin Ψ + δ cos Ψ ,242[]) ()1β(22F (Ψ) =1+3 cos Ψ − 1 + γ cos Ψ + δ sin Ψ cos φ ,22(2.20)(2.21)где β – дипольный параметр, γ и δ – дополнительные не дипольные параметры асимметрии.Часто третьим слагаемым, описывающим асимметрию сечения фоторождения, пренебрегают, в таком случае функция фоторождения, проинтегрированная по азимуту может быть представлена в виде:[]1βF (µ0 ,µ) =1 − P2 (µ0 ) P2 (µ) ,22(2.22)где Pi (x) – i-ый полином Лежандра.В общем случае, следуя [23, 37], будем записывать функцию F (θ) в виде:F (Ψ) =3∑Bn Pn (cos Ψ) .n=0Рассмотрим слой однородного материала толщиной τ .

Добавим полоску из того же материала толщиной dτ ≪ 1 (настолько тонкую, что двукратными рассеяниями в слое можно пренебречь).Пусть слой освещается потоком рентгеновского излучения сверху, под углом arccos µ0 к нормали.Дополнительные процессы, возникающие в результате добавления слоя dτ над поверхностью мишени, представлены на 2.6. После Лаплас-преобразования по потерям энергии уравнение42Рисунок 2.6 — Процессы, приводящие к изменению потока фотоэлектронов в результатепоявления тонкой полоски dτ над слоем τ . Полые круги – фоторождение в добавленном слоеF (µ0 ,µ,φ), закрашенные круги – процесс упругого рассеяния в добавленном слое, «звезды» –фоторождение в массиве мишени.для функции Q (τ,p,µ0 ,µ,φ) имеет следующий вид:∂1 − (1 − λ) xin (p)Q (τ,p,µ0 ,µ,φ) +Q (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λγ F (µ0 ,µ,φ) +∂τµˆ2π ˆ1dµ′+ λγF (µ0 ,µ′ ,φ) R (τ,p,µ′ ,µ,φ − φ′ ) ′ dφ′ +µ00ˆ2π ˆ1+λ0ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ000′′Q (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x+el (µ ,µ,φ − φ )dµ′ ′dφ +µ′0′ ′′ ′′′′′′′Q (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) R (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ , (2.23)µ′µ0граничное условие для уравнения (2.25):Q (0,p,µ0 ,µ,φ) = 0.(2.24)43При добавлении слоя dτ снизу, возникающие процессы преобразуют уравнение дляQ (τ,p,µ0 ,µ,φ) к виду:[]∂τQ (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λγ F (µ0 ,µ,φ) exp − (1 − (1 − λ) xin (p))+∂τµˆ2π ˆ1dµ′+ λγF (µ0 ,µ,φ) T (τ,p,µ′ ,µ,φ − φ′ ) ′ dφ′ +µ0ˆ2π ˆ1+λ′Q (τ,p,µ0 ,µ ,φ0 02πˆ ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ0′) x−el′Q (τ,p,µ0 ,µ ,φ000′][dµ′ ′τ(µ ,µ,φ − φ ) ′ dφ exp − (1 − (1 − λ) xin (p))+µµ′) x−el′dµ′ ′ dµ′′ ′′(µ ,µ ,φ ) T (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ ) ′ dφ ′′ dφ .

(2.25)µµ′′′′′′′′′′0Рисунок 2.7 — Процессы, приводящие к изменению потока фотоэлектронов в результатепоявления тонкой полоски dτ под слоем τ . Полые круги – фоторождение в добавленном слое(F (µ0 ,µ,φ)), закрашенные круги – процесс упругого рассеяния в добавленном слое, «звезды» –фоторождение в массиве мишени, прямые линии, исходящие из образца – вылет без упругихрассеяний, кривые линии – прохождение слоя с рассеяниями, описывающееся функциейпропускания T (τ,p,µ0 ,µ,φ).Если в соответствии с (2.13) ввести функцию T + (τ,p,µ0 ,µ,φ), которая в отличие от функции пропускания включает и те электроны, которые прошли слой не испытав никаких упругихрассеяний, то уравнение (2.25) примет вид:44∂Q (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λγ∂τˆ2π ˆ10ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ000F (µ0 ,µ,φ) T + (τ,p,µ′ ,µ,φ − φ′ )dµ′ ′dφ +µ′0′ ′′ ′′+′′′′′Q (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) T (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ . (2.26)µ′µ0Уравнения и их решения, полученные для задач фотоэлектронной эмиссии, могут быть распространены на описание поведения Оже-электронов в твердом теле, с той разницей, что рождение Оже-электрона можно считать сферически симметричным т.е.

F (µ0 ,µ,φ) = 0.5. Функциюплотности потока фотоэмитированных Оже-электронов будем обозначать A (τ,p,µ0 ,µ,φ).2.4Разложение по кратностям неупругого рассеяния и азимутальнымгармоникамПри решении прикладных задач нас будут интересовать энергетические спектры электронов, фиксируемые энергоанализатором. Функции, описывающие эти спектры, допускают представление в виде рядов по кратностям неупругого рассеяния:F (τ,∆,µ0 ,µ,φ) =∞∑F k (τ,µ0 ,µ,φ) xkin (∆) ,k=0R (τ,∆,µ0 ,µ,φ) T (τ,∆,µ0 ,µ,φ)F (τ,∆,µ0 ,µ,φ) =  Q (τ,∆,µ ,µ,φ) ,0A (τ,∆,µ0 ,µ,φ)(2.27)´∆10где xkin (∆) = 0 xk−1in (ε) xin (∆ − ε) dε, xin (∆) = xin (∆), xin (∆) = δ (∆) – k-кратная линейная свертка индикатрисы неупругого рассеяния самой с собой.

Таким образом xkin (∆) описываетэнергетическое распределение частиц после k неупругих рассеяний, F (τ,∆,µ0 ,µ,φ) – обобщенная функция, вместо которой могут выступать функции отражения, пропускания, а также функцииплотности потоков фотоэлектронов и Оже-электронов. Важным индексом в при таком подходе является k = 0, F0 (τ,µ0 ,µ,φ), описывающая угловое распределение частиц, которые не испытали ниодного неупругого рассеяния. Такие частицы в экспериментальных спектрах формируют упругийпик, и их анализ представляет особый класс задач.Рассмотрим решение Ландау (2.11), разложим экспоненту в Лаплас-образе в ряд Тейлора,тогда:45TL (s,∆) = e−(1−λ) l stot12πi+i∞ˆdp · ep∆∞ [∑(1 − λ) xin (p)k=0−i∞sltot]k1,k!и, т.к.

оригинал произведения двух функций есть их свертка, обратное Лаплас-преобразованиеможет быть взято аналитически:TL (s,∆) = e−(1−λ) l s∞ [∑tot(1 −λ) xkins(∆)]kltotk=01.k!(2.28)Часто решение (2.28) записывают в более компактном виде:−lsTL (s,∆) = e∞ [∑ink=0xkins(∆)lin]k1.k!Преобразование Лапласа – удобный инструмент аналитического аппарата физикатеоретика, но совершенно не пригодный к использованию с точки зрения вычислительной физики.Не существует приемлемого способа численного выполнения прямого и обратного преобразования Лапласа. Тем не менее формулы, записанные в данной работе через Лаплас-образ сечениянеупругого рассеяния в ряде случаев, могут быть вычислены на компьютере. Преобразования Лапласа или более общее Z-преобразование в вычислениях выполняются для того, чтобы перейти отсверток по энергии оригиналов функций к произведению их образов.

Получив решение для образаискомой функции, можно разложить ее в ряд по степеням образа индикатрисы неупругого рассеяния xin (p) и выполнить аналитически обратное преобразование Лапласа, заменив произведенияна многократные свертки исходного сечения.С вычислительной точки зрения xin = xin (∆i ) – вектор-дискретизация сечения. Сформируем матрицу Тёплица xT = Toeplitz (xin ) из вектора индикатрисы неупругого рассеяния. Важнымсвойством такой матрицы является xT 2 x0 = conv (xin ,xin ), где x0 = [1,0, . . . ,0]T .

Характеристики

Список файлов диссертации