Диссертация (1104845), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. . , ± k) и µ−i = µi , мы можем заменить интегральное уравнение переноса(2.6) системой 2 линейных уравненийµi∑∂N (τel ,µi ) = −N (τel ,µi ) +aj N (τel ,µj ) ,∂τelj(2.7)где aj – веса квадратурной формулы (2.7), основанной на делении интервала (−1,1) точками µi .Фундамент современной теории переноса частиц и излучений был заложен работами В.А.Амбарцумяна, С. Чандрасекара, В.В. Соболева, в которых были найдены аналитические решенияуравнения (2.6) с граничными условиями (2.2, 2.3) [18, 19, 63], которое строилось на основе методаинвариантного погружения, впервые разработанного Амбарцумяном. Ниже представлено решение граничной задачи (2.2, 2.3), полученное методом инвариантного погружения для уравнения(2.1) в наиболее общем виде.Выполним Лаплас-преобразование по потерям энергии в уравнении (2.1), перейдем к безtelразмерной толщине τ = ltot, используя альбедо однократного рассеяния λ = σelσ+σ, уравнениеin(2.1) и граничные условия (2.2), (2.3) преобразуется к виду:34µ∂N (t,p,µ,φ) = − (1 − (1 − λ) xin (p)) N (t,p,µ,φ) +∂τˆ2π ˆ1+λN (t,p,µ′ ,φ′ ) xel (µ′ ,µ,φ − φ′ ) dµ′ dφ′ , (2.8)0 −1N (0,p,µ,φ) = N δ (µ − µ ) δ (φ − φ ) ,0 ≤ µ ≤ 1000,N (d,p,µ,φ) = 0,−1≤µ≤0R (d,p,µ µ,φ) = µ N (0,p,µ,φ)0,0.T (d,p,µ µ,φ) = µ N (d,p,µ,φ)0,(2.9)(2.10)0Зависимость альбедо однократного рассеяния от энергии электрона представлена на 1.3.Видно, что сечения упругого и неупругого рассеяния одного порядка и ни одним из процессовнельзя пренебречь, как предлагают в ряде работ [9].Ландау в своей работе [70] показал, что в односкоростном приближении энергетическийспектр частиц, прошедших пусть длиной s, может быть представлен в виде:1TL (s,∆) =2πi+i∞ˆ[dp · exp p∆ − (1 − (1 − λ) (1 − xin (p)))−i∞sltot].(2.11)Решение граничной задачи (2.9), (2.10) для уравнения (2.8) методом Соболева [63] впервыеполучено в работе [71].

В работах [72, 73] аналогичные задачи решались методом Амбарцумяна.В настоящей работе будет получен наиболее общий вид решения граничной задачи для случаев: 1.рассеяния электронов, легких ионов и фотонов в плоском слое; 2. выхода из плоского слоя частиц,возникающих в результате радиационного воздействия на слой (на примере выхода электронов впроцессе рентгеновской фотоэлектронной эмиссии).2.2Метод инвариантного погруженияРешение граничной задачи для уравнения переноса методом инвариантного погруженияприводит к системе нелинейных уравнений для функций отражения и пропускания, уравненийАмбарцумяна-Чандрасекара [18, 19, 63]. Аналитическое решение этой системы уравнений удается получить в рамках так называемого модифицированного малоуглового приближения.

В настоящей работе малоугловыми мы будем называть приближенные вычисления интегралов от произведения плавных функций на функцию, имеющие очень резкий максимум при нулевых углах рассеяния (каковой будет являться индикатриса сечения упругого рассеяния xel (E0 ,µ0 ,µ,φ)). Подобныйвид интегралов позволяет использовать подходы, известные в математике как «метод перевала»,35а также выполнять аналитические продолжения в области, где подынтегральное выражение пренебрежимо мало по сравнению со значениями, достигаемыми в подынтегральном выражении принулевых углах рассеяния в сечении упругого рассеяния.Уравнение (2.8) аналогично уравнению переноса излучения, которое подробно описано в работах В.А. Амбарцумяна, В.В.

Соболева, С. Чандрасекара [18, 19, 63]. Оно создает все необходимые предпосылки для решения граничной задачи (2.9), (2.10) методами инвариантного погружения. Общее решение приводит нас к системе из четырех уравненийдля функций пропускания T (τ,∆,µ0 ,µ,φ) и отражения R (τ,∆,µ0 ,µ,φ) [19]. При рассмотрении удобно ввести следующее обозначение [8]: x+el (µ0 ,µ,φ) = xel (µ0 ,µ,φ) , sign (µ0 · µ) = 1– часть сечения упругого рассеяния, не приводящая в переводу нисходящего потока в восходящий и наоборот, т.е.

описывающая лишь небольшую коррекцию движения, а не разворот;x−el (µ0 ,µ,φ) = xel (±µ0 , ∓ µ,φ) , sign (µ0 · µ) = −1 , часть сечения упругого рассеяния, описывающая отражение. Рассмотрим изменение функций также при добавлении тонкого слоя толщиной dτ ≪ 1 такого, что двукратными рассеяниями в нем можно пренебречь. Выполнив указанныевыше выкладки, приходим к системе уравнений, которая является обобщением системы, впервыеполученной С. Чандрасекаром [19].∂1 − (1 − λ) xin (p)T (τ,p,µ0 ,µ,φ) +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) =∂τµ0[]1 − (1 − λ) xin (p)+= λxel (µ0 ,µ,φ) exp −τ +µˆ2π ˆ1′′ ′′′ dµ+λx+(µ,µ,φ)T(τ,p,µ,µ,φ−φ)dφ′ +0elµ′0ˆ2π ˆ1+λx−el0 02πˆ ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ0000[]dµ′ ′1 − (1 − λ) xin (p)(µ0 ,µ ,φ ) R (τ,p,µ0 ,µ ,φ − φ ) ′ dφ exp −τ +µµ′′′′′ ′′ ′′′′′′′R (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) T (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ . (2.12)µ′µ0Формулу (2.12) можно проиллюстрировать схемой представленной на 2.1.

Правая частьформулы (2.12) – это математическая запись процессов, которые возникли за счет добавлениясверху к слою тонкой полоски dτ , и заставляют частицу, изначально двигавшуюся в направленииΩ0 = (µ0 ,0), изменить свое направление на Ω (µ,φ).Представим функцию пропускания T в виде суммы из частиц, прошедших слой, не испытав упругих рассеяний, описывающихся сингулярной функцией, и всех остальных. Выделение нерассеянных частиц снимает ряд сложностей в численных расчетах, связанных с дискретизациейуравнения.36Рисунок 2.1 — Процессы, приводящие к изменению функции пропускания T (x,p,µ0 ,µ,φ) припоявлении полоски толщиной dx над слоем, со стороны падающего на слой потока. Белые круги– упругие рассеяния, характеризуемые индикатрисой xel (µ0 ,µ,φ), волнистые линии – функцииT [(x,p,µ0 ,µ,φ), ]прямые линии – движение частицы без рассеяния, описываемое функцийin (p)τexp − (1−λ)x, кривые линии – переход нисходящего движения электрона в восходящее,µ0соответствующий функциям отражения R (x,p,µ0 ,µ,φ).Для полного описания процесса движения частиц через слой вещества необходимо ввестифункцию[]1 − (1 − λ) xin (p)T (x,p,µ0 ,µ,φ) = T (x,p,µ0 ,µ,φ) + exp −τ δ (µ − µ0 ) δ (φ) ,µ0+(2.13)включающую в себя также частицы, прошедшие слой, не испытав упругих рассеяний и описывающиеся сингулярным выражением.

Такое явное выделение не рассеянных частиц снимает рядсложностей в численных расчетах, связанных с дискретизацией уравнения. Уравнение (2.12) дляфункции (2.13) может быть записано более компактно:∂ +1 − (1 − λ) xin (p) +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) =∂τµ0ˆ2π ˆ1′′ ′+′′ dµ+λx+(µ,µ,φ)T(τ,p,µ,µ,φ−φ)dφ′ +0elµ′0ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ00000−(µ′ ,µ′′ ,φ′′ ) T + (τ,p,µ′′ ,µ,φ − φ′ − φ′′ )R (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) xeldµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ . (2.14)µ′µ37Рисунок 2.2 — Процессы, приводящие к изменению функции пропускания T + (x,p,µ0 ,µ,φ) припоявлении полоски толщиной dx над слоем со стороны падающего потока. Волнистая линия,пронзенная прямой, – функция T + (x,p,µ0 ,µ,φ).Если добавить к нижней стороне слоя полоску толщиной dτ , выполненную из того же материала, то придем ко второму уравнению для функции пропускания:∂1 − (1 − λ) xin (p)T (τ,p,µ0 ,µ,φ) +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) =∂τµ][1 − (1 − λ) xin (p)τ x+= λ exp −el (µ0 ,µ,φ) +µ0ˆ2π ˆ1′+′ ′′′ dµ+λT (τ,p,µ0 ,µ ,φ ) xel (µ ,µ,φ − φ ) ′ dφ′ +µ00[1 − (1 − λ) xin (p)+ λ exp −τµ0] ˆ2π ˆ10ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ000′ ′′′x−el (µ0 ,µ ,φ ) R (τ,p,µ ,µ,φ − φ )dµ′ ′dφ +µ′0′ ′′ ′′′′′′′T (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) · R (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ .

(2.15)µ′µ0Слагаемые правой части формулы (2.15) проиллюстрированы на 2.3. Правая часть формулы(2.15) – это математическая запись процессов, которые возникли за счет добавления снизу кслою тонкой полоски из того же вещества. Введение функции (2.13) дает возможность записать(2.15) более компактно:1 − (1 − λ) xin (p) +∂ +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) +T (τ,p,µ0 ,µ,φ) =∂τµˆ2π ˆ1′′′ dµ(µ,µ,φ−φ)=λT + (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x+dφ′ +elµ′0ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ00000′ ′′ ′′′′′′′T + (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) · R (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ .

(2.16)µ′µ38Рисунок 2.3 — Процессы, приводящие к изменению функции пропускания T + (x,p,µ0 ,µ,φ) припоявлении полоски толщиной dx под слоем, со стороны прошедшего сквозь слой потока.Обозначения аналогичны 2.1 и 2.2.Проанализируем процессы, приводящие к изменению функции отражения R (τ,p,µ0 ,µ,φ) ,при добавлении к верхней границе слоя полоски толщиной dτ , сделанной из прежнего материала()1∂1R (τ,p,µ0 ,µ,φ) + (1 − (1 − λ) xin (p))+R (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λx−el (µ0 ,µ,φ) +∂τµ0 µˆ2π ˆ1′′′ dµ+λR (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x+dφ′ +el (µ ,µ,φ − φ )′µ00ˆ2π ˆ1x+el+λ0ˆ2π ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ000dµ′ ′(µ0 ,µ ,φ ) R (τ,p,µ ,µ,φ − φ ) ′ dφ +µ′′′′0′ ′′ ′′′′′′′R (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) R (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ . (2.17)µ′µ0Рисунок 2.4 — Процессы, приводящие к изменению функции отражения R (τ,p,µ0 ,µ,φ) припоявлении полоски толщиной dx над слоем, со стороны прошедшего сквозь слой потока.39Добавление полоски dτ к слою снизу приводит нас к уравнению:[() ]∂11R (τ,p,µ0 ,µ,φ) = λ exp − (1 − (1 − λ) xin (p))+τ x−el (µ0 ,µ,φ) +∂τµ0 µ[] ˆ2π ˆ1′1 − (1 − λ) xin (p)′ ′′′ dµ+ λ exp −dφ′ +τx−(µ,µ,φ)T(τ,p,µ,µ,φ−φ)0elµ0µ′0ˆ2π ˆ1+λT (τ,p,µ0 ,µ ,φ0 02πˆ ˆ1 ˆ2π ˆ1+λ00′0′) x−el0[]dµ′ ′1 − (1 − λ) xin (p)(µ ,µ,φ − φ ) ′ dφ exp −τ +µµ′′′ ′′ ′′′′′′′T (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x−el (µ ,µ ,φ ) T (τ,p,µ ,µ,φ − φ − φ )dµ′ ′ dµ′′ ′′dφ ′′ dφ .

Характеристики

Список файлов диссертации