Диссертация (1104845), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Столь простой случай выбран для наглядности демонстрации математического эффекта и в точности повторяется для более сложных задач. Запишем тривиальноевыражение для однократно R1 (µ0 ,µ) и двукратно R2 (µ0 ,µ) упруго рассеянных частиц.R1 (µ0 ,µ) =(µ0 µλx− (µ0 ,µ) ,µ0 + µ el)ˆ1ˆ1′1dµdµ′1+′1′1′′+R2 (µ0 ,µ) = λ x+(µ,µ)R(µ,µ)+λR(µ,µ)x(µ,µ).00elelµ0 µµ′µ′00Подставляя R1 в R2 получаем:()ˆ111µ22′′′+R (µ0 ,µ) = λx+x−el (µ0 ,µ ) ′el (µ ,µ) dµ +µ0 µµ +µ0ˆ1+λ2µ0′′x− (µ0 ,µ′ ) x+el (µ ,µ) dµ .µ0 + µ′ el0Методами малоуглового приближения предлагается заменить интегралы на произведениекоэффициентов разложения индикатрисы упругого рассеяния по полиномам Лежандра, расширив пределы интегрирования.
Однако такое расширение неверно: при увеличении пределов мы−′′′переходим от частей индикатрисы x+el (µ0 ,µ ) и xel (µ0 ,µ ) к самой индикатрисе xel (µ0 ,µ ), и инте´1грал преобразуется в −1 xel (µ0 ,µ′ ) xel (µ′ ,µ) dµ′ . Под интегралом стоят симметричные функции,так чтоˆ1ˆ0xel (µ0 ,µ′ ) xel (µ0 ,µ) dµ′ = xel (µ0 ,µ′ ) xel (µ0 ,µ) dµ′ .−10Таким образом, расширение пределов интегрирования требует дополнительного нормировочного коэффициента:ˆ11 2−′′′x+el (µ0 ,µ ) xel (µ ,µ) dµ ≈ xl .20На каждом шаге интегрирования кратности n при расширении пределов интегрирования вобласть (−1,0) будет возникать нормировочный множитель:111= .1 ·n1 + n−1 n − 1Таким образом, для53ˆ1 ˆ1ˆ1...00( (n−1)′ ) ′ ′′1+−′′ ′′x+,µ dµ dµ .
. . dµ(n−1)′ ≈ xnl .el (µ0 ,µ ) xel (µ ,µ ) . . . xel µn(3.18)0Ошибка, связанная с расширением пределов интегрирования, тянется сквозь множество работ, посвященных описанию отраженных электронов в малоугловом приближении, и, хотя онане ведет к катастрофической погрешности результата, ошибка описания отражения электроновв малоугловом приближении преувеличена в несколько раз. Как будет показано ниже, именноматематическая неточность расширения пределов интегрирования приводит к нормировочномукоэффициенту, а не причины, предложенные в работах [86, 88].Для вывода функции отражения в малоугловом приближении воспользуемся пробеговымраспределением. Запишем уравнение для пробегового распределения отраженных частиц в МИПдля слоя полубесконечной толщины, для этого рассмотрим потери энергии в уравнении (2.17) вприближении непрерывного замедления, тогда xin (p) = p, и в малоугловом приближении получим:(11+µ0 µ)∂R (s,µ0 ,µ) + λ∂s()11+R (s,µ0 ,µ) = λx−el (µ0 ,µ) +µ0 µˆ1ˆ1dµ′dµ′+′′′′+ λ R (s,µ0 ,µ ) xel (µ ,µ) ′ + λ x+.el (µ0 ,µ ) R (s,µ ,µ)µµ′00Выполним преобразование Лапласа по пробегу s → p, тогда((p + λ)11+µ0 µ)R (p,µ0 ,µ) = λx−el (µ0 ,µ) +ˆ1+λ′R (p,µ0 ,µ′ ) x+el (µ ,µ)dµ′+µ′0ˆ1+λ0′′x+el (µ0 ,µ ) R (p,µ ,µ)dµ′,µ′54построим итерационное решение уравнения:R (p,µ0 ,µ) =µ0 µ1λx−(µ0 ,µ) +µ0 + µ (p + λ) elµ0 µ ∑ λn+µ0 + µ n=2 (p + λ)n∞ˆ1′′xnel (µ0 ,µ′ ) x−el (µ ,µ) dµ0ˆ1xnel(µ0 ,µ) =′′xn−1(µ0 ,µ′ ) x+elel (µ ,µ) dµ , (3.19)0выполним обратное преобразование Лапласа:ˆ∞∑µ0 µλn sn−1′′xnel (µ0 ,µ′ ) x−R (s,µ0 ,µ) =exp (−λs)el (µ ,µ) dµ .µ0 + µ(n−1)!n=11(3.20)0Используя 3.18, запишем выражение 3.20 в виде разложения по полиномам Лежандра∞∑µ0 µλn sn−1 nRl (s) =exp (−λs)xl ;µ0 + µn(n−1)!n=1R (s,µ0 ,µ) =∞∑2l + 1l=02Rl (s) Pl (µ0 ) Pl (µ) .(3.21)(3.22)Выражение (3.21) совпадает с точностью до обозначений с формулой (11) работы [88].
Важно отметить, что в представленном выводе дается математическое обоснование возникновенияпараметра n1 .Выражение (3.21) может быть также записано в виде:Rl (s) =µ0 µ 1[exp (−λs (1 − xl )) − exp (−λs)] .µ0 + µ s(3.23)Для получения энергетического распределения необходимо свернуть выражения (3.21),(3.23) с формулой Ландау (2.28):ˆ∞R (∆,µ0 ,µ) =R (s,µ0 ,µ) TL (sltot ,∆) ds.0Рассмотрим упруго отраженные частицы, для этого свернем выражение (3.21) с первым членом выражения (2.28):µ0 µ ∑=µ0 + µ n=1∞R0,lˆ∞0λn sn−1 nx exp (− (1 − λ) s) ds,exp (−λs)n (n − 1)! l55R0,l = −µ0 µlog (1 − λxl ) .µ0 + µ(3.24)Впервые выражение (3.24) было представлено в работе [86]. Предложенная авторами схема позволяла получить только упруго отраженные частицы и только для слоя полубесконечнойтолщины.
Представленный в данной работе подход, как будет показано ниже, не имеет этих ограничений.Рассмотрим отраженные от полубесконечного слоя частицы, испытавшие k > 0 неупругихрассеяний. В данном случае удобней воспользоваться выражением (3.23) и свернуть его с k-ымчленом ряда формулы (2.28):µ0 µ ∑ 1(1 − λ)k sk=[exp (−λs (1 − xl )) − exp (−λs)] ·exp (− (1 − λ) s) ds,µ0 + µ n=1 sk!∞Rk,lRk,lµ0 µ (1 − λ)k=µ0 + µk[1(1 − λxl )k]−1 .(3.25)Выражение (3.25) получено впервые и позволяет применить малоугловое приближение кописанию энергетических спектров отраженных частиц [89].В малоугловом приближении пробег частицы однозначно связан с глубиной, на которой произошел акт отражения выражением (3.9), что позволяет распространить предложенный метод наслои конечной толщины, перейдя в свертках пробеговых (распределений(3.21), (3.23) с функцией)11Ландау (2.28) к определенным интегралам с пределом τ µ0 + µ .
Тогда для упруго отраженнойчастицы от слоя конечной толщины получается выражение:) )) )]}((((1111− log (1 − λxl ) − E1 (1 − λxl )+τ − E1+τ,µ0 µµ0 µ(3.26)´ ∞ −1 −xгде E1 (x) = x t e dx – интегральная экспонента. Очевидно, что при τ → ∞ второе и третьеслагаемое обращаются в ноль, что доказывает асимптотическую сходимость выражения (3.26) к(3.24) для слоя полубесконечной толщины.Аналогичным образом получается выражение для коэффициентов Rk,l (τ ):µ0 µR0,l (τ ) =µ0 + µ{[() ) (11( () )γk,(1−λx)+τlµ0µ1µ0 µ (1 − λ) 1+Rk,l (τ ) =− γ k,τ ,kµ0 + µk!µ0 µ(1 − λxl )k(3.27)где γ (k,x) – нижняя неполная Гамма-функция. Аналогично можно показать, что выражение (3.27)асимптотически сходится к выражению (3.25) при τ → ∞.Выражения (3.26) и (3.27) получены и представлены впервые [89].Если необходимо рассчитать энергетический спектр отраженных частиц от слоя полубесконечной толщины, а угловые распределения по кратностям неупругого рассеяния в рамках задачине интересуют, численный результат можно получить напрямую.
Свернем выражение (3.21) с решением Ландау, записанным в Лаплас-образе:56µ0 µ ∑Rl (p) =µ0 + µ n=1∞ˆ∞exp (−λs)0λn sn−1 nx exp (− (1 − λ) (1 − xin (p)) s) ds,n (n − 1)! l()µ0 µλxlRl (p) = −log 1 −,µ0 + µ1 − (1 − λ) xin (p)или с использованием матрицы Тёплица от индикатрисы неупругого рассеяния:()µ0 µλxlRl (∆) = −logm E −,µ0 + µE − (E − λE) xT(3.28)где logm (A) – матричный логарифм, E – единичная матрица.3.2.3Плотность потока рентгеновских фотоэлектронов и Оже-электроновНаиболее часто используемым приближением для описания потока фотоэлектронов является SLA, которое полностью игнорирует процесс упругого рассеяния частицы при движении кповерхности, но позволяет приходить к простым аналитическим выражениям.
Учет упругого рассеяния частиц приведет к эффекту поворота тела яркости, хорошо известному в оптике, где целыйряд явлений объясняется этим эффектом. Например, явление «сумерки», связанное с поглощениемсвета в атмосфере Земли; режим освещенности на морских глубинах; режимы, которые опредеel, и инляются альбедо однократного рассеяния (в случае электронного рассеяния это λ = σelσ+σinдикатрисой однократного упругого рассеяния xel (µ0 ,µ,φ). Параллельный пучок лучей, освещающий на закате морскую поверхность, с глубиной изотропизуется или приобретает форму (котораяимеет название «тело яркости»), в которой присутствуют лучи света различных направлений.
В«теле яркости» имеется направление, определяющее максимум интенсивности. С глубиной этонаправление максимума интенсивности поворачивается к нормали к поверхности, а распределение интенсивности по углам стремится к определяемому законом Ламберта косинусоидальномураспределению.В РФЭС на различных глубинах рождаются электронные «тела яркости», определяемыеформулами (2.20), (2.21).
Двигаясь к поверхности мишени, частицы изотропизуются и происходитповорот направления, определяющего максимум интенсивности.Запишем уравнение (2.23) в малоугловом приближении для коэффициентов разложенияфункции плотности потока фотоэлектронов по полиномам Лежандра Ql (τ,p):∂Q∂τ l(τ,p) +1−(1−λ)xin (p)Qlµl(τ,p) = λγ Fl + λ Ql (τ,p)xµ(3.29)В малоугловом приближении уравнение (2.23) переходит из интегро-дифференциальногоуравнения в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с граничным условиям57(2.24) [90]. Уравнение (3.29) имеет аналитическое решение:[()]λγ Fl1 − λxl − (1 − λ) xin (p)Ql (τ,p) = µ1 − exp −τ,1 − λxl − (1 − λ) xin (p)µ(3.30)или в виде ряда по кратностям неупругого рассеяния:[]k {() k []n }1−λ1 − λxl ∑ 1 − λxlλγ F l1Qk,l (τ ) = µ1 − exp −ττ.(1 − λxl ) 1 − λxlµµn!n=0(3.31)3.3 Численное решение уравнения переносаОдной из нерешенных на сегодняшний день являлась задача точного решения уравнения переноса методом инвариантного погружения для наиболее полных случаев, описываемых уравнениями (2.17), (2.12), (2.23).
Из представленной тройки уравнений видно, что уравнение для функции отражения при добавлении слоя сверху самосогласованно, в то время, как для определенияфункции пропускания и функции фоторождения необходимо сначала определить функцию отражения. Будем искать решение уравнений в виде разложения (2.30) в цикле по азимутальным гармоникам, число которых определяется углом зондирования, растет с его отклонением от нормалии, в рамках данной работы, определялось по следующей полуимпирической формуле:()M = floor 0.41θ − 6 × 10−3 θ2 + 1.75 × 10−10 θ6 + 0.8 .На практике индикатриса упругого рассеяния xel (θ) и индикатриса фоторождения F (θ) задаются как функции угла рассеяния θ, в то время как в расчетах используется их трех парамет√√рическое представление xel (µ0 ,µ,φ), F (µ0 ,µ,φ), где cos θ = µ0 µ + 1 − µ20 1 − µ2 cos φ.
Дляполучения m-ого коэффициента разложения индикатрис применяется следующая формула:ˆ1xel (cos θ) Pl0 (cos θ) d cos θ,xl =1xm,+(µ0 ,µ) =elxm,−(µ0 ,µ) =elL∑2l + 1l=0L∑l=02xl Plm (µ0 ) Plm (µ) ,2l + 1(−1)l xl Plm (µ0 ) Plm (µ) ,2где Plm (µ0 ) – присоединенный полином Лежандра, xl – коэффициенты разложения индикатрисыпо полиномам Лежандра.Для краткости индекс текущей гармоники m в последующих матричных выкладках опустим.58Введем обозначения:– введем сетку по углу M = diag ([µi ]) из N элементов, в узлах которых будем искать решение интересующих нас уравнений, для использования квадратурных формул наивысшегопорядка удобно выбрать в качестве узлов – узлы N -ого полинома Лежандра;– обозначим s = diag ([si ]) вектор весов квадратурного метода;– обозначим w = s · M −1 диагональную матрицу отношений весов к узлам, которая характерна для использующихся интегралов– введем сетку по потерям энергии ∆ = [∆i ];– E – единичная матрица размером N × N– введем сетку по глубине t = [τi ], τ0 = 0, при расчете слоев конечной толщины;[]– зададим квадратную симметричную матрицу упругого сечения xp = xm,+(µi ,µj ) , xm =el[ m,−]xel (µi ,µj ) , верхний индекс m – номер азимутальной гармоники, нижний индекс указывает на часть сечения, о которой идет речь;– обозначим Rk (τn ) = Rkm (τn ,µ0i ,µj ) матрацу размером N × N дискретного аналоги функции отражения, где k – число неупругих рассеяний.3.3.1 Функция отражения от слоя полубесконечной толщиныЗапишем уравнение переноса методом инвариантного погружения для функции упруго отраженных электронов от однородного слоя конечной толщины.(R0m)11(τ,µ0 ,µ)+= λxm,−(µ0 ,µ)elµ0 µˆ1ˆ1′dµdµ′m,+′+ λ xel (µ0 ,µ′ ) R0m (τ,µ′ ,µ) ′ + λ R0m (τ,µ0 ,µ) xm,+(µ,µ)+elµµ′00ˆ1ˆ100+λR0m (τ,µ0 ,µ) xm,−(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)eldµ′′ dµ′.
(3.32)µ′′ µ′Заменим интегралы в уравнении (3.32) на квадратурные формулыˆ1(µ′ ,µ)R0m (τn ,µ0 ,µ) xm,+eldµ′≈ R0 (τn ) × w × xpµ′0и запишем дискретный аналог уравнения 3.32m−1 R0 (τn ) + R0 (τn ) m−1 = λxm + λxp wR0 (τn ) + λR0 (τn ) wxp + λR0 (τn ) wxm wR0 (τn ) .59Перенесем в левую часть все слагаемые с R0 , тогда, с учетом симметрии матриц xp , xmAR0 + R0 A′ = C + R0 DR0(3.33)A = m−1 − λxp wC = λxmD = λwxm wУравнение (3.33) называется алгебраическим уравнением Риккати [91] с постоянными коэффициентами (CARE). Данное уравнение может быть решено стандартными средствами математического пакета MATLAB, но для повышения производительности в этой работе был примененитерационный метод Ньютона.Алгоритм 3.1 Решение уравнения Риккати итерационным методом Ньютонаfunction R = CARE_Newton(A, C, D, eps, max_iter_count)R= zeros(size(A));R_old = ones(size(A));i= 1;while norm(R - R_old)/norm(R) > eps && i < max_iter_countCkR_oldRi====C - A*R - R*A’ + R*D*R;R;R + lyap(A-R*D, A’-D*R, -Ck);i + 1;end;Здесь lyap - стандартная функция решения уравнения Ляпунова, встроенная в математический пакет MATLAB в рамках Control System Toolbox.В результате получается матрица угловых распределений R0 , соответствующих гармоникис текущим индексом m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
