Связь вида нормы и геометрии минимальных сетей (1104796), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Σ =x | ρ(x) = 1 . Напомним, что конормой ρ∗ , соответствующей норме ρ, называетсяследующая функция на ковекторах:ρ∗ (ξ) = max ξ(ν) | ν ∈ Σ .Отметим, что конорма также является нормой на линейном пространстве ковекторов.Обозначим через Σ∗ единичную сферу в (Rn , ρ∗ ). Введем в Rn евклидову норму со стандартным скалярным произведением. При стандартном отождествлениипространств Tx∗ Rn и Tx Rn (используя скалярное произведение), субградиентное26множество SF (x) функции F в точке x, т.е.
множество всех субградиентов функции F в точке x, является непустым выпуклым ограниченным подмножествомнормального конуса в точке x к поверхности уровня этой функции, проходящейчерез x. При этом, функиця F дифференцируема в x, если и только если множество SF (x) состоит из одного элемента, совпадающего в этом случае с градиентомфункции F . Градиент функции F в точке x будем обозначать через ∇F (x) длякомпактности выражений с ним. Если F = ρ — норма, то легко доказываетсяследующий результат.Предложение 2.1 Субградиентное множество Sρ (x) в точке x 6= 0 совпадаетсо множеством всех внешних нормалей единичной конормы к поверхности уровнянормы ρ, проходящей через x.Будем рассматривать выпуклую дифференцируемую норму, обозначаемую через k · k или ρ.Введем следующие обозначения.
Рассмотрим отрезок [x1 , x2 ]. Пусть ni = (−1)i (x2 −x1 )/kx2 − x1 k — внешняя нормаль к отрезку [x1 , x2 ] в точке xi . Введем обозначениеpi = ∇ρ(ni ).Следующая теорема в более общем случае доказана в [4, следствие 3.1].Теорема 2.1 (первая вариация длины отрезка) Пусть ρ — некоторая строго выпуклая, заданная на Rn , x1 и x2 — произвольные точки в Rn такие, чтоρ дифференцируема в точке x1 − x2 , а ηi , i = 1, 2, — произвольный вектор изTxi Rn ≈ Rn . Рассмотрим деформацию [x1 , x2 ]t = [x1 + tη1 , x2 + tη2 ], t ≥ 0, отрезка [x1 , x2 ].
Пусть `(t) — длина отрезка [x1 , x2 ]t в нормированном пространстве.Тогда функции `(t) дифференцируема в начальный момент t = 0. Если при этомx1 = x2 , тоd `(t) = ρ(η1 − η2 ),dt t=0+а если x1 6= x2 , то d `(t) = p1 , η1 − η2 = p2 , η2 − η1 .dt t=0+27Следующая теорема доказана в [4, следствие 4.4].Теорема 2.2 Пусть (Rn , ρ) — нормированное пространство. Пусть также единичная сфера Σ в норме ρ является гладкой. Тогда регулярная линейная сетьΓ : G → Rn с данной границей является экстремалью функционала нормированной длины по отношению к деформациям, сохраняющим топологию, если и только если для каждой подвижной вершины x сети Γ имеет место равенство:Xpx (γ) = 0,γгде сумма берется по всем ребрам γ, инцидентным вершине x.
Для каждого ребраγ = xy, px (γ) — это ∇ρ(x − y).Лемма 2.1 (лемма о сумме градиентов) Пусть дано нормированное пространство (Rn , ρ). Пусть на каждом открытом луче некоторого тройника с центромв O выбрано по точке, обозначим их через A1 , A2 , A3 , и норма ρ дифференцируемав A1 , A2 , A3 . Тогда ∇ρ(OA1 ) + ∇ρ(OA2 ) + ∇ρ(OA3 ) = 0.Будем называть единичным котройником данного тройника тройку единичныхковекторов — градиентов из условия выше (в случае существования упомянутыхградиентов). Можно перефразировать условие леммы в новых терминах, а именно— для любого тройника сумма ковекторов из его единичного котройника равнанулю.Доказательство. Рассмотрим деформации отрезков OAi , i ∈ {1, 2, 3} : [O, Ai ]t =[O + tη, Ai ], t ≥ 0.
Пусть `i (t) — длина отрезка [O, Ai ]t в норме ρ. По теореме опервой вариации нормы отрезка с подвижными концами (теорема 2.1), функция(`1 + `2 + `3 )(t) дифференцируема в начальный момент t = 0, иd (`1 + `2 + `3 )(t) = ∇ρ(OA1 ) + ∇ρ(OA2 ) + ∇ρ(OA3 ), −η .dt t=0+Если при каком-либо η значение последнего выражения не равно 0, то при маломсдвиге точки O в направлении η либо в направлении −η произойдет уменьшение28суммы длин отрезков (`1 + `2 + `3 )(t), получаем противоречие с тем, что O — точкаФерма для A1 , A2 , A3 . Значит, ∇ρ(OA1 ) + ∇ρ(OA2 ) + ∇ρ(OA3 ) = 0.Лемма 2.2 (лемма о единичной конорме ковектора градиента) Пусть дана двумерная нормированная плоскость с дифференцируемой нормой (R2 , ρ).
ПустьΣ — единичная окружность в норме ρ, а ξ — ковектор градиента нормы ρ в произвольной точке s ∈ Σ. Тогда ρ∗ (ξ) = 1.Доказательство. Приведем элементарное геометрическое доказательство. Введем евклидову норму с единичной окружностью, задаваемой формулой x2 +y 2 = 1.Проведем касательную ` к Σ в некоторой точке s ∈ Σ. Заметим, что в функция ρ впервом порядке совпадает в точке s с линейной функцией ρ0 , равной нулю в началекоординат и равную 1 на прямой ` (график этой линейной функции — плоскость— является касательной плоскостью к конусу — графику нормы ρ). Поэтому градиент ξ также является градиентом ρ0 в точке s. Пусть евклидово расстояние отначала координат до прямой ` равно r.
Тогда евклидова длина ковектора ξ равна1.rМодуль значения ξ(v), v ∈ Σ, равен произведению1rна евклидову длину про-екции вектора v на нормаль к прямой `. Таким образом, максимальное значениеξ(v), v ∈ Σ достигается в точке s (и других точках из пересечения ` и Σ, а такжецентрально симметричных им относительно начала координат), и ρ∗ (ξ) = 1.Лемма 2.3 (лемма о свойствах отображения градиента) Пусть дана двумерная нормированная плоскость со строго выпуклой дифференцируемой нормой (R2 , ρ).Пусть Σ — единичная окружность в норме ρ, а Σ∗ — единичная окружность всоответствующей конорме ρ∗ . Тогда отображение градиента нормы ∇ρ : Σ → Σ∗является сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом, переводящим полуокружности Σ в полуокружности Σ∗ .
Также это отображение симметрично, ∇ρ :∇ρ(−p) = −∇ρ(p).Доказательство. В данном пространстве R2 введем евклидовы координаты (x, y).Пусть x0 = max x | (x, y) ∈ Σ . Рассмотрим область U = x ∈ (−x0 + ε, x0 − ε); y ∈29(−∞; ∞) для малого ε > 0. Часть Σ, лежащая в области U , можно представить ввиде несвязного объединения двух центрально симметричных друг другу графиков функций. Действительно, локальное представление в виде графика напрямуюследует из теоремы о неявной функции; представление же в виде двух графиковследует из теоремы о неявной функции и того факта, что из-за строгой выпуклости нормы прямые, параллельные оси OY , пересекают сферу ровно в двух точках.По теореме о неявной функции имеем также C 1 -гладкость функций, задающихграфики.
Рассмотрим тот график, который пересекает ось y на луче y > 0, и запишем в виде y = f (x). Норма ρ строго выпукла и дифференцируема, поэтомуf 0 (x) монотонно убывает при росте x. Введем также полярные координаты (r, φ)в данном пространстве с центром в нуле нормы ρ с ориентацией, согласованнойс координатами (x, y).
Координата φ точек графика непрерывна как функция отx; также она монотонно убывает как функция от x (она убывает по x в окрестности пересечения с осью OY ; если же найдутся две точки графика с одинаковойкоординатой φ0 , то луч φ = φ0 пересечет график как минимум в двух точках, азначит, прямая, содержащая этот луч, пересечет Σ более, чем в двух точках, противоречие со строгой выпуклостью Σ, из которого следует монотонное убывание).При этом, вектор градиента нормы ∇ρ(p) ортогонален касательной к Σ в точкахΣ. Значит, угол ψ — угол наклона вектора ∇ρ(p) — также монотонно и непрерывноубывает как функция от x. Координата r вектора ∇ρ(p) непрерывно зависит отq∂ρ 2∂ρ 2x, поскольку выражается как ( ∂x) + ( ∂y) в точке p = (x, f (x)).
Покажем биективность отображения ∇ρ (p). Действительно, в произвольной точке Σ градиентединственен. Для любого данного вектора существует ровно две точки Σ, имеющие касательные, нормальные к данному вектору. Ровно для одной из этих точекверно, что данный вектор сонаправлен вектору внешней нормали к единичномукругу в точке.Таким образом имеем, что ∇ρ(p) — это сохраняющая ориентацию непрерывная биекция на рассмотренном подмножестве Σ.
Пусть y0 = max y | (x, y) ∈ Σ .Рассмотрим область V = x ∈ (−∞; ∞); y ∈ (−y0 + ε, y0 − ε) для малого ε > 0.30Для глобальности, аналогично разбору выше, рассмотрим оставшуюся часть Σ вобласти U («нижний» график), а также обе компоненты связности Σ из областиV . Отображение ∇ρ(p) непрерывно и биективно переводит компакт в компакт, азначит, является гомеоморфизмом.
Воспользовавшись симметрией нормы ρ, имеемсимметрию отображения ∇ρ : ∇ρ(−p) = −∇ρ(p), а также то, что образ полуокружности Σ — это полуокружность Σ∗ .Лемма 2.4 Пусть дана двумерная нормированная плоскость со строго выпуклойдифференцируемой нормой (R2 , ρ). Тогда для любого тройника не существует полуплоскости, содержащей этот тройник.Доказательство.
От противного. Разберем два случая:1) Два из трех лучей тройника противонаправлены. Тогда получаем противоречие с леммой 2.1, поскольку сумма ковекторов, соответствующих противонаправленным лучам, равна нулю в силу центральной симметричности нормы, а конорматретьего ковектора больше нуля.2) Среди лучей тройника нет противонаправленных, и все они лежат в одной полуплоскости. Тогда найдется прямая, пересекающая все три луча тройника,обозначим точки пересечения за A1 , A2 , A3 в порядке их расположения на прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
